Transformée de Fourier
Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa.
Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
Décomposition en série de Fourier. Signaux Analyse de Fourier de signaux analogiques ... signal périodique ou non (détermination de la période).
Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique
Fourier d'un signal périodique. 1-1) Décomposition en séries de Fourier: Une fonction périodique f(t) de période T peut sous certaines conditions
GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier
La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre
Décomposition en séries de Fourier. Filtrage
de Parseval. II. Application en électronique. 1. Action d'un filtre sur un signal périodique. 2. Exemple. Décomposition en séries de Fourier. Filtrage.
Décomposition dun signal en série de Fourier
Décomposition d'un signal en série de. FOURIER. 1 Les signaux périodiques. DEFINITION 1. 1 Signal périodique. Un signal est dit périodique s'il existe un
GELE3333 - Chapitre 4
faut décomposer l'entrée en une série de Fourier. Le premier coefficient obtenu av
GELE2511 - Chapitre 3
série de Fourier permet de transformer n'importe quel signal périodique en une somme de sinuso?des. faut décomposer l'entrée en une série de Fourier.
SÉRIES DE FOURIER par J. Monnier professeur INSA Toulouse
En ingénierie elles sont utiles dans la décomposition de signaux périodiques tels que des courants électriques des ondes cérébrales
Traitement du signal
3.1 Rappels sur la décomposition en série de Fourier de signaux périodiques . Figure 16 – Spectre en fréquence d'un signal périodique suivant l'axe des ...
GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier - UMoncton
Ce chapitre pr esente une nouvelle m ethode d’analyse de signaux et de circuits : la s erie de Fourier On verra qu’on peut d ecomposer n’importe quel signal p eriodique en une somme de sinuso des Cette d ecomposition du signal permet d’analyser le contenu equentiel d’un signal et d eterminer son spectre
UV Traitement du signal - F2School
Le but de ce module est d’étudier et exploiter la décomposition de signaux périodiques en séries de Fourier Ce module est à mener en liaison étroite avec les enseignements des autres disciplines : les séries de Fourier sont un outil indispensable pour l'étude des phénomènes vibratoires en électricité en optique et en mécanique
1 Signaux périodiques et signaux sinusoïdaux - ResearchGate
Les signaux sinusoïdaux sont des signaux périodiques qui jouent un rôle fondamental puisque que tout signal périodique peut se décomposer comme la superposition de signaux sinusoïdaux
Décomposition en séries de Fourier d’un signal périodique
I-1) Décomposition en séries de Fourier : Une fonction périodique f(t) de période T peut sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées dans la pratique en physique se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de la forme : (décomposition en séries de Fourier) f t a (an n t bn n t) n ( ) = + cos + sin
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décomposition en Série de Fourier (DSF) pour les signaux périodiques ou la Transformée de Fourier (TF) pour les signaux non périodiques II Les signaux périodiques II 1 Définitions Un signal x(t) est périodique s’il existe une durée T telle que x(t + T) = x(t) Exemples : Signal carré Signal en dents de scie Un signal périodique
Qu'est-ce que la décomposition en série de Fourier?
- • Pour les signaux périodiques, la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle. • Pour les signaux non périodiques, il s'agit de la Transformée de Fourier (TF). 0 5 10 15 20 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Signal 1 Signal 2
Quel est le coefficient de la série de Fourier?
- ( ) exp 2? où x(t) est un signal périodique de période T0et xnreprésente les coefficients de la série de Fourier. Ces coefficients donnent une représentation en fréquence ou spectrale du signal.
Qu'est-ce que l'étude des fonctions périodiques par séries de Fourier ?
- L’étude des fonctions périodiques par séries de Fourier est divisée en deux parties : L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ; La synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suite de ses coefficients.
Qu'est-ce que la théorie des séries de Fourier ?
- Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques.
![Transformée de Fourier Transformée de Fourier](https://pdfprof.com/Listes/38/10601-38cours2et3.pdf.pdf.jpg)
1 TdSUV Traitement du signal
Cours 2 et 3
Représentation fréquentielle des signaux
Transformation de Fourier
ASI 32 TdSContenu du cours
Introduction Notion de fréquence Pourquoi la représentation fréquentielle ? Décomposition en série de Fourier Définition Quelques propriétés Transformée de Fourier des signaux à énergie finie Définition, conditions d'existence Propriétés de la TF Notion de densité spectrale d'énergie TF au sens des distributions Définition Transformée de l'impulsion de Dirac Transformée de Fourier des signaux périodiques3 TdSIntroduction
Notion de fréquence Qu'est ce qu'une fréquence ? HLa fréquence est le nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit pendant une durée déterminéeHC'est donc l'inverse de la période f = 1/T
HLa fréquence est mesurée en hertz (= 1/seconde) Dans un sonHSons graves = basses fréquences
HSons aigus = hautes fréquences
=> La fréquence permet de caractériser un certain type d'information4 TdSIntroduction
Notion de fréquence Dans une imageHSurfaces =
basses fréquencesHContours =
hautes fréquences Dans une onde lumineuseHLes couleurs dépendent
de la longeur d'onde = la fréquence Image provenant de http://web.ujf-grenoble.fr/ujf/5 TdSIntroduction
La notion de fréquence est également présente dans : La voix, un téléphone portable, la radio, l'ADSL, les horaires de passage d'un train, la musique electronique, un equaliser, un radar, etc. Toute ces applications véhiculent ou analysent le contenu fréquentiel de l'information Une représentation fréquentielle de l'information est souvent + facile à interpréter que la représentation temporelleRep. temporelleRep. frequentielle
6 TdSIntroduction
Autre exemple : Analyse d'ondes cérébralesQuestion : Comment obtenir la représentation fréquentielle d'un signal ? Ondes Alpha: engendrées lorsque le
sujet change son niveau d'attention (f modérées, amplitude importante)Ondes Bêta: produites par une activité
mentale intense (fréquences. élevées, faibles amplitudes)Ondes Thêta: accompagnent des
sentiments de stress émotionnel (fréquences faibles)Rep. temporelleRep. frequentielle7 TdSVers une représentation fréquentielle ...
La notion de fréquence est intéressante, mais comment connaitre les fréquences que contient un signal ? Exemple d'un signal sinusoïdal :Exemple d'une onde lumineuse :xt=cos2πf0t+φf0 est la fréquence du signal
TempsFréquences variables au cours du temps
(du rouge au violet). Comment caractériser les informations fréquentielles contenues dans ce signal ?Analyse fréquentielle des signauxTemps
Onde lumineuse=> Pour un cosinus, c'est facile ... => ici, c'est plus difficile ... idem pour un signal porte, une exponentielle, etc.8 TdSVers une représentation fréquentielle ...
Petite expérience : mélangeons quelques sinus ... • Il est donc possible d'obtenir des signaux périodiques complexes par une simple combinaison linéaire de signaux élémentaires • C'est le principe inverse de la décomposition en série de Fourier% Code matlab f0 = 0.51; A0 = 1; f1 = 0.11; A1 = 2; f2 = 0.21; A2 = 2; % déclaration de signaux de base x0 = A0*sin(2*pi*f0*t); x1 = A1*sin(2*pi*f1*t); x2 = A2*sin(2*pi*f2*t); % affichage des signaux + combinaison plot(t, x0, 'y'); hold on; plot(t, x1, 'g'); plot(t, x2, 'c'); plot(t, x0+x1+x2, 'k.');9 TdSDécomposition en Série de Fourier
Principe : • Sous forme de signaux sinusoïdaux, les fréquences d'un signal apparaissent naturellement. • Pour les signaux périodiques, la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle. • Pour les signaux non périodiques, il s'agit de la Transformée de Fourier (TF).0 5 10 15 20 1.5
1 0.5 0 0.5 1 1.5Signal 1
Signal 2
x(t)= Signal 1 + signal 2 La Décomposition en Série de Fourrier consiste à exprimer un signal
périodique comme une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux10 TdSDécomposition en Série de Fourier
Principe Définition de la DSF : forme trigonométrique Un signal x(t) de période T, s'exprime sous certaines conditions comme xt=a0∑n=1 ancosn2πTt+bnsinn2π
Tt
a0=1T∫-T/2
T/2 xtdt an=2T∫-T/2
T/2 xtcosn2πTtdtbn=2
T∫-T/2
T/2 xtsinn2πTtdt
b0=0Exprimer un signal x(t) de période T comme une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de , dite fréquence fondamentaleTF1=Coefficients de la série
: valeur moyenne du signal ou composante continue 0a1³n(avec )=> Somme de sinus et de cosinus : facile à interpréter
11 TdSDécomposition en Série de Fourier
Définition de la DSF : forme trigonométrique Interprétation :xt=a0∑n=1 ancosn2πTt+bnsinn2π
Tt(Figure prise du site de Denis Auquebon)
12 TdSDécomposition en Série de Fourier
Définition de la DSF : forme complexe Rappels : formules de moivre et d'Eulerxt=∑n=-∞ cnexpjn2πTtOù
cn=1T∫-T/2
T/2 xtexp-jn2π TtdtLes "cn" sont appelés les coefficients de Fourier de x(t). Ils forment la représentation fréquentielle de x(t). Notation {}Znnctxή)(Posons la relation entre les coefficients c0=a0cn=an-jbn2sin>0
cn=an+jbn2sin<0
22Application à la DSF
xt=a0∑n=1 ancosn2πTt+bnsinn2π
Tt
xt=a012∑n=1
an-jbnexpjn2πTtOn a alorsy
y y13 TdSDécomposition en Série de Fourier
Remarques Posons . Les deux formes de la DSF s'écrivent alors Les coefficients cn sont complexes en général Dans la forme complexe de la DSF, interviennent des fréquences négatives et positives qui sont introduites par commodité de représentation Quelques propriétés Si le signal x(t) est réel, : les coefficients sont nécessairement complexes conjugués pour restituer x réel car est complexe Si le signal x(t) est réel et pair, Si le signal x(t) est réel et impair,Théorème de Parseval : la puissance du signal périodique est TF1=xt=a0∑n=1
ancos2πnFt+bnsin2πnFty xt=∑n=-∞ cnexpj2πnFty y F est la fréquence fondamentaley f = nF sont les harmoniques ))arg(exp(nnncjcc= *nncc=- )2exp(nFtj p0=Þ=-nnnbcc0=Þ-=-nnnacc
P=∑n=-∞
∣cn∣214 TdSDécomposition en Série de Fourier
Remarque : Pourquoi les nombres complexes ?Quand on a des phénomènes périodiques, les complexes sont plus faciles à manipuler.
Exemple : analyse de circuits électriques RLC : => remplacement d'équations différentielles par des équations algébriquesv=Riv=Ldi dti=Cdv dtEn réels :
En complexes :
avec V=ZI15 TdSExemple de DSF
Soit h(t) de période T tel que sur l'intervalle [0, T] :Décomposition en Série de Fourier de h(t)
16 TdSExemple de DSF
Donc la série de Fourier de h(t) s'écrit :
Approximation du signal créneau par la série de Fourier en limitant n à différentes valeurs :
n=10n=50n=250Phénomène de Gibbs = effet de bord aux
∞A nsinnt0Texpj2nt
T
cn=A nsinnt0TOn a trouvé que :
17 TdSExemple de DSF
Représentation des Cn:cn=A
nsinnt0Tc0=At0
TAutre exemple : essayer avec : x(t) = 1 si tå++=p
p18 TdSAutres exemples
Exemples :OK pour les signaux périodiques ...Attention à l'écriture alternative avec la pulsation=2f
19 TdSEt pour les signaux non périodiques ?
La DSF n'est applicable qu'aux signaux périodiques Comment faire pour les signaux non périodiques ? Considérons que la période T est infinie (donc F tend vers 0) Et comme les harmoniques sont des multiples de F ... ... l'écart entre les raies du spectre va donc devenir infiniment petit On tend alors vers une représentation fréquentielle continue C'est la Transformée de Fourier, qui peut être vue comme une généralisation des séries de Fourier aux signaux non périodiques20 TdSSpectres de raie pour différentes périodes
Plus la période augmente,
plus l'écart entre les Cn diminue ...21 TdSTransformée de Fourier
Définition de la TF Transformée de Fourier inverse Notations X(f) et x(t) sont deux descriptions équivalentes (temporelle ou fréquentielle) du même signal. On écrit : x(t) " X(f) Soit signal x(t) un signal non périodique. La TF de x(t), si elle existe, estXf=∫-∞ xte-j2πftdt xt=∫-∞Xfej2πftdfX(f) indique la "quantité" de fréquence f présente dans le signal x(t) sur
l'intervalle . X(f) donne des informations fréquentielles sur x(t). [,]+¥¥-y X(f) : fonction complexe (de la variable réelle f) qui admet H Un spectre d'amplitude H un spectre de phasey )(fXAf= ())(arg)(fXf=fSi elle existe, la TF inverse est définie par ())()(txfXF=y ())()(1fXtx-=Fy22 TdSExemple de calcul de TFXf=∫0
T1.e-j2πftdt=-1
j2πf[e-j2πfT-1]Xf=e-jπfT
πfXf=Te-jπfTsincπfTAmplitude spectralePhase Spectralex(t)=1 pour 0 ∣Xf∣=∣X-f∣φf=-φ-fLe spectre d'amplitude est une Xf=-X-fy Si x(t) est un signal réel et pair alors X(f) est réelle et paire unité de fréquence, la densité spectrale d'énergie (DSE)2)()(fXfSxx=Théorème de Wiener-Kintchine Ce théorème permet de relier le support en fréquence d'un signal et la variation de ce signal ÉnoncéUn signal est dit "à support borné en fréquence" si 0)(,max=>"fXff borné càd Un signal présentant des discontinuités est un signal à support en fréquence non borné. Application : quelle est la TF d'une impulsion de Dirac ?Comment faire quand la TF d'un signal n'est pas définie ? 〈F[D],ϕ〉=〈D,F[ϕ]〉De même, grâce à la propriété de décalage temporel :La TF de l'impulsion de Dirac est une constante (décalage fréquentiel)Quelle est la TF de la distribution associée à 1 ?cos2πf0t=ej2πf0t+e-j2πf0t Toute fonction périodique f(t) de période T peut s'écrire comme une somme infinie de cos et sin. Conclusion : On retrouve bien le résultat de la DSF; la TF est bien une généralisation de la DSF23 TdSExemple de calcul de TF
A vous de jouer avec xt=exp-att(a>1) 24 TdSConditions d'existence de la TF
Questions
Quand est-ce que la TF de g(t) existe ?
Quand est-ce que g(t) = gf (t) ?avec dudfeeugtgftjfuj f pp22)()(òò=+¥ -Conditions d'existence Condition d'égalité Si
dttg2 )(alors 0)()(2 dttgtgf dttg)(Cas de certains signaux ne respectant pas ces conditions Si ce signal définit une distribution (exemple Impulsion de Dirac), on peut définir une transformée de Fourieret g(t) continue par morceaux et admet un nombre de discontinuités et d'extrema fini Si g(t) satisfait à la condition d'existence de la TF alors g(t)) et gf (t) ) sont égaux presque partout sauf aux discontinuitésOU dttg2 )(Il faut que : 25 TdSPropriétés de la TF
Linéarité Décalage temporel Décalage fréquentiel Changement d'échelle Dérivation ae"a fXaa tx1)(L'amplitude Af ne change pas. La phase est modifié de -j2 pft0 La contraction dans le domaine temporel (a ³ 1) correspond à la dilatation dans le domaine fréquentiel et inversement dxt dt↔j2πfXfSoit P[x(t)] la primitive de x(t) P[xt]↔1
j2πfXf!La TF et la TF inverse ne sont pas toujours définies*Îaxatarrow 26 TdSPropriétés de la TF
Inversion temporelle Conjugaison complexe Symétrie dans le cas de signaux réels Symétrie dans le cas de signaux imaginaires purs ParitéSi x(t) est un signal réel alors donc et Si x(t) est un signal imaginaire pur alors)()(**fXtx-"()fXtx-"-)( Xf=X-f
27 TdSExemple d'application des propriétés de la TF
Xf=Tsincπf-foTPar la propriété de décalage en fréquence de la TFor Ce résultat est fondamental en modulation de signaux Les radios Longues Ondes utilisent ce principe pour transmettre un message m informatif dont le contenu fréquentiel est compris entre 0Hz et 20kHz f|M(f)| 0 tfj AMetmtm02)()(p´=|MAM(f)|
f0f0Même messageModule de X(f) France Inter f0= 195 kHz
28 TdSDualité de la TF
Les définitions symétriques de la TF et de la TF inverse permettent de mettre en avant une propriété de la TF appelée Dualité de la TF. Soit x(t) , une fonction quelconque dont la TF est bien définieò -=dtetxfXftjp2)()(etò =dfefXtxftjp2)()(On a donc -=-dfefXtxftjp2)()(En intervertissant les variables temporelles et fréquentielles, on obtient : ())()()(2tXdtetXfxtfjF==-ò -p )()(fXtx¾®¾F )()(fxtX-¾®¾FDonc si alors 29 TdSTF et énergie des signaux
Relation de Parseval Loi de conservation de l'énergie
Dans le cas où les intégrales existent, on aòò=+¥ dffXdttx22 )()(La Transformée de Fourier conserve l'énergie du signal Application
Montrer que l' énergie de vaut Fo FosincπtFo
30 TdSDensité spectrale d'énergie
Comme la TF conserve l'énergie, on peut définir une notion d'énergie par La densité spectrale Sxx(f) de x(t) est
la TF de sa fonction d'autocorrélation. Sxxf=∫-∞
Cxxτe-j2πfτdτCe théorème est valable aussi pour les signaux aléatoires Energie dans une bande de fréquence Df f|X(f)| 0 Df f0 EΔf=∫f0-Δf/2
f0+Δf/2 SxxfdfEnergie totaleòò
==dffSdffXExx)()(2Cas des signaux à puissance moyenne finie Ce sont des signaux à énergie infinie. On définit alors une densité spectrale de puissance La densité spectrale de puissance est la
TF de la fonction d'autocorrélation)()()(ttxtxTTP´= [])()(txfXTTF= xT(t) est le signal x(t) prélevé sur une fenêtre de largeur T T fXfPT Txx 2 )(lim)(¥® 31 TdSThéorème de Bernstein
Mtxt<")(,Alors
∣dxt Interprétation
Les variations d'un signal sont liées à la dérivée de ce signal. Comme cette dérivée est bornée, le signal ne peut pas varier arbitrairement vite. Conséquence :
32 TdSTF d'une distribution
Question Définition 0 on considère si possible le signal comme une distribution.
La transformée de Fourier d'une distribution D est une distribution notée F [D] telle que pour la fonction j(t) indéfiniment dérivable et à support borné F[δt-a]=e-j2πafor
F=∫-∞
te-j2ftdtdonc tdt=∫-∞ 1∗tdt=〈D1,〉Par définition :
FD=D1En notation " fonction » : F=1
33 TdSApplications de la TF d'une distribution
Question : Comment faire lorsque l'intégrale n'est pas définie car divergente ? Ex. : 1, cos, exp, etc.
0 application de la théorie des distributions
2F[cos2πf0t]=1
2∫-∞
e-j2πf-f0tdt+1 2∫-∞
e-j2πf+f0tdt e-j2πf-f0tdtest la TF de F[cos2πf0t]=1
2δf-f01
2jδf-f0-1
2jδf+f0
e-j2πftdt=δfTF d'un signal sinusoïdalTF inverse deprise en t=0 Donc finalement :
1⋅ej2πf0t↔δf-f0Une raie en f0 et une autre en -f0
Fdt=∫-∞
FD'où :résultat sans
surprise en vertu du principe de dualité ! FD1=D
F1=Notation "fonction" :
34 TdSTF d'un signal périodique
Décomposition en série de Fourier
En utilisant la propriété de
linéarité de la TF on obtient : F[ft]=a0δf∑n=1 ∞an-jbn 2δf-nF∑n=1
∞an+jbn 2δf+nFLe résultat correspond à un spectre de raies (non continu)
F[ft]=∑n=-∞
cnδf-nF c0=a0 cn=an-jbn 2n>0 cn=an+jbn 2n<0Remarque
ft=∑n=-∞ cnexpjn2π Ttpropriété de
linéarité de la TF 35 TdSTF d'un signal périodique
Idem DSF
36 TdSTF d'un Peigne de Dirac
quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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