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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2015 du sujet du PG1

Denis Vekemans

Première partie : problème

A. Calcul de l"aire d"un polygone de Pick sur un exemple A()désigne l"aire en unités d"aires de l"objet.

Ainsi,

A() =A() +A() +A()

5×4

2+ 5×5 +5×52

95
2 B. Utilisation de la formule de Pick sur un exemple

1. Pour le polygone,= 23et= 37(par comptage), et la formuleA() =+

2-1 donneA() = 37 +23

2-1 =952.

2. Pour le polygone,= 18et= 27, et la formuleA() =+

2-1donneA() =

27 +
18

2-1 = 35.

Pour le polygone,= 15et= 6, et la formuleA() =+

2-1donneA() =

6 + 15

2-1 =252.

On vérifie aisément queA() =A() +A().

C. Quelques conséquences de la formule de Pick

1. Siest pair, on peut trouver un entier natureltel que= 2×. Par suite, l"aire donnée par la

formule de Pick devient+

2-1 =+2×2-1 =+-1et est entier naturel.

Conclusion : il n"est donc pas possible, lorsqueest pair, que l"aire d"un polygone de Pick soit75car

75n"est pas entier naturel.

2. D"après la formule de Pick,A() =+

2-1 =152pour un polygone de Pick dont l"aire vaut152.

Cependant,≥0car?N, donc

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG12015

Voici un exemple d"un tel polygone pour lequel= 17et= 0, parmi tant d"autres ...

3. D"après la formule de Pick,A() =+2-1 =152pour un polygonede Pick dont l"aire vaut152.

Cependant,= 1, donc1 +

Voici un exemple d"un tel polygone, parmi tant d"autres ...

4. D"après la formule de Pick,A=A() =+2-1pour un polygonede Pick.

Cependant,≥0car?N, donc

D. Démonstration de la formule de Pick dans le cas d"un rectangle 1. ?1 ?2 ? ? ? ? ? ?-1 ?2 1 ? ? ? ? ? ? ?2 ?1 2 ?2? ? ? ? ? ? ? ?1 ?2 ??1 ?1 = 2×(+)et= (-1)×(-1).

2. L"aireAdu rectangle est×et

2-1 = (-1)×(-1) +2×(+)2-1

=×--+ 1 ++-1 =×=A

Denis Vekemans -2/10-Mathématiques

CRPEPG12015

Deuxième partie : exercices

Exercice 1?Net?N.

Traitement de l"information :111est multiple de. Les diviseurs de111sont1,3,37et111. Ainsi, ? {1337111}.

On traite les différents cas ...

- Si= 1, comme-≥0on déduit que soit= 0, soit= 1. Mais, comme-est divisible par10, on déduit= 1(= 0est exclu car1-0n"est pas divisible par10).

Enfin, comme= 1est le cube de1,== 1

est solution du problème. - Si= 3, comme-≥0on déduit que soit= 0, soit= 1, soit= 2, soit= 3. Mais, comme-est divisible par10, on déduit= 3(= 0,= 1et= 2sont exclus car

3-0,3-1, et3-2ne sont pas divisibles par10).

Comme= 3n"est pas le cube d"un entier, ce cas ne fournit pas de solution au problème. - Si= 37, comme-≥0on déduit que soit= 0, soit= 1, soit ..., soit= 37. Mais, comme-est divisible par10, on déduit= 7ou= 17ou= 27ou enfin= 37(les autres cas sont exclus car37-0,37-1, ... et37-36ne sont pas divisibles par10).

Comme= 27est le cube de3,= 37et= 27

est solution du problème. Et, comme= 7, = 17et= 37ne sont cubes d"un entier, ce cas ne fournit pas d"autre solution au problème. - Si= 111, comme-≥0on déduit que soit= 0, soit= 1, soit ..., soit= 111. Mais, comme-est divisible par10, on déduit= 1ou= 11ou= 21ou= 31ou= 41 ou= 51ou= 61ou= 71ou= 81ou= 91ou= 101ou enfin= 111(les autres cas sont exclus car111-0,111-2, ... et111-110ne sont pas divisibles par10).

Comme= 1est le cube de1,= 111et= 1

est solution du problème. Et, comme= 11, = 21,= 31,= 41,= 51,= 61,= 71,= 81,= 91,= 101et= 111ne sont cubes d"un entier, ce cas ne fournit pas d"autre solution au problème.

Exercice 2

1. Avec7litres d"eau, on obtient environ75litres de glace (lecture graphique).

2. Avec environ83litres d"eau (lecture graphique), on obtient9litres de glace.

3. Le volume de glace semble proportionnel au volume d"eau au vu de la représentation graphique : une

droite passant par l"origine (absence d"eau correspond à absence de glace).

4. Si10d"eau donnent108de glace, on déduit que100d"eau donnent108de glace. Cela représente

une augmentation de volume de8%(i.e. de8pour les100de départ).

5. La ville fournit un volume de203d"eau par jour.

Remarque: on suppose qu"on conserve le coefficient de proportionnalité donnéà la question précédente

car une lecture graphique est impossible pour203d"eau (problème d"échelle graphique), mais cela

Denis Vekemans -3/10-Mathématiques

CRPEPG12015

méritait d"être indiqué. Cette production d"eau provient de108×203= 2163de glace par jour. Pour trente jours, cette production provient de30×2163= 6483= 648 000de glace.

Exercice 3

1. La figure demandée ...

3 14 99

2. On a+≥, d"après l"inégalité triangulaire.

Et, d"un autre côté, commeest un point du segment[], on a=+, ce qui permet de conclure que+≥+.

Denis Vekemans -4/10-Mathématiques

CRPEPG12015

Autrement dit,+est minimale lorsqueest un point du segment[](i.e. en), d"après le cas d"égalité de l"inégalité triangulaire. est milieu du segment[]caretsont symétriques par rapport au point. De plus, la droite ()est perpendiculaire à la droite(). Par conséquent, la droite()est médiatrice du segment [](comme droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu). Commeest un point de(), il est donc équidistant deet de(par définition de la médiatrice comme ensemble des points équidistants deet de) et=.

Au final,+=+est minimale lorsqueest en.

3. (a) En considérant les droites()et(), sécantes enet les parallèles()et()(ces deux

droites sont bien parallèles car toutes deux perpendiculaires à la droite()), le théorème de

Thalès dans la configuration dite du papillon, donne : On utilise ensuite+=(carest un point du segment[]) qui permet d"obtenir =-= 14-; puis,=(carest milieu du segment[]) qui donne = 9; et on remplace pour obtenir

14-=39

(b) Le produit en croix donne9×= 3×(14-) = 42-3×. Il s"ensuit que12×= 42 puis=42

12=72.

4. Il a déjà été vu que la valeur minimale de+est+.

Dans le trianglerectangle en, le théorème de Pythagore donne 2=2+2 = 3 2+?7 2? 2

4×9 + 49

4=854 et donc=⎷ 85
2. De même, dans le trianglerectangle en, le théorème de Pythagore donne 2=2+2 = 9 2+? 14-7 2? 2

4×81 + 441

4=7654

et donc=⎷ 765

2= 3×⎷

85
2.

Par somme,+=⎷

85

2+ 3×⎷

85

2= 4×⎷

85

2= 2×⎷85≈184.

Denis Vekemans -5/10-Mathématiques

CRPEPG12015

Troisième partie : didactique

SITUATION 1 : Extrait du manuel "Outils pour les maths" CM1 Magnard (édition 2011)

1. - Première différence :le format des nombres!

Dans la question 2, tous les nombres sont exprimés sous forme de fractions décimales, et de surcroît,

toutes ces fractions décimales ont le même dénominateur, ce qui n"est pas le cas de la question 3 (où

les écritures sont mélangées tantôt à virgule, tantôt sous forme de fraction; et où deux échelles sont

à traiter simultanément, celle des dixièmes et celle des centièmes).

On peut penser que le rôle de cette question 2 est de mettre en avant le fait que, quand les nombres

sont au même format, ils sont facilement identifiables sur la droite graduée et d"induire ainsi une

procédure de résolution de la question 3 via la "mise au format". Une alternative à cette procédure

est de gérer sur deux lignes différentes les deux échelles, celle des dixièmes et celle des centièmes et

ainsi renforcer les liens entre les formats de nombres.

- Deuxième différence :la tâche de l"élève "associer un placement ou réellement placer"!

Dans la question 2, les emplacements des nombres sont déjà proposés, ce qui n"est pas le cas dans la

question 3.

Un effet de ces deux différences portant sur le format des nombreset la tâche de l"élève est que, dans

la question 2, l"exercice peut se résumer à ceci : ranger des nombres entiers (les numérateurs des

fractions décimales) et il suffit bien de ranger car les emplacements sont déjà proposés par l"énoncé.

- Troisème différence :la tâche de l"élève "reproduire la droite graduée ou pas"!

Dans la question 3, on demande à l"élève de reproduire la graduation (sans doute parce que les

auteurs ont mal agi en positionnant sur une même ligne 30

10et400100donc des nombres de formats

différents, des dixièmes et des centièmes -voir alternative dans le format des nombres-), ce qui n"est

pas le cas dans la question 2. Cela induit donc des contraintes : bien prendre dix centimètres comme écart entre3et4et ne pas se tromper dans le comptage des centimètres. De plus, cela augmente le temps de traitement d"une

question et risque de décourager certains élèves (ceux dont on ditqu"ils veulent tout et tout de suite

et si possible sans effort).

- On aurait également pu parler du fait que la graduation de la question2 démarre comprend le zéro

(-→permet donc le comptage pour placer), ce qui n"est pas le cas dans laquestion 3 (-→ne permet

plus le comptage pour placer ou requiert le surcomptage).

Remarque. Pour la question 2b, la rédaction de la question est étrange : "Écrischaque fraction sous

la forme d"un nombre décimal" permet d"écrire les fractions sans les modifier car ces fractions sont

des nombres décimaux. On préfèrerait "Représente chaque fraction décimale en utilisant l"écriture à

virgule".

2. Il est impossible de définir un nombre décimal comme un nombre qui peut s"écrire avec un nombre fini

de chiffres dans son écriture à virgule car le caractère "fini" n"a aucunsens pour l"élève de CM.

Denis Vekemans -6/10-Mathématiques

CRPEPG12015

Tout au plus, on doit pouvoir donner quelques exemple comme 3 = 30

10????

=30=

300100????

=300=

3 0001 000????

=3000 69

10????

=6+ 9

10=69=

690

100????

=690=

6 9001 000????

=6900 421

100????

=4+ 2

10+1100=421=

4 210

1 000????

=4210

123 456 789

1 000????

=123 456+ 7

10+8100+91 000=123 456789

en espérant que par une multitude d"exemples l"élève de CM puisse avoirune idée de ce qu"est réellement

un nombre décimal.

Remarque. Il est aussi impossible de définir les nombres décimaux comme zéro et ceux possédant

exactement deux développements décimaux distincts (0999= 1et1possède exactement deux dé- veloppements décimaux donc1est décimal). SITUATION 2 : Extrait du manuel scolaire "Tribu des maths" CM2 Magnard (édi- tion 2010) Remarque. Quel pourrait être l"objectif visé?

Au vu des écritures des nombres, il semblerait que l"ambition soit de travailler sur les nombres décimaux

Cependant, au vu des objets étudiés (longueur d"un segment), onserait plutôt sur les nombres réels que

sur les nombres décimaux ...

Et enfin ce que dit Fatou porte sur la propriété d"intercalation, alors que la justification de Max porte

sur la comparaison!

Pour dire que Fatou a raison, il suffit que les longueurs données soient différentes pour que l"on puisse

trouver un segment d"une longueur comprise strictement entre lesdeux premières (entre deux réels, on peut

toujours intercaler un réel distinct des deux premiers; entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un

réel distinct des deux premiers; mais aussi, entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal

distinct des deux premiers). Ainsi, une façon de conclure que Fatoua raison, est de proposer une longueur

comprise strictement entre2 +5

10+2100et2 +610+1100, elle peut avoir un segment de2 +610= 26, par

exemple.

Toujours pour comparer les répliques de Fatou et de Max : Fatou parle de trouver une longueur entre

2 + 5

10+2100et2 +610+1100, ce qui induit que les nombres jouent un rôle symétrique (i.e. c"est la même

chose que de trouver une longueur entre2 +6

10+1100et2 +510+2100), alors que Max tente de répondre

négativement au fait que la première longueur puisse être plus petiteque la seconde, ce qui nie le fait que

ces nombres puissent jouer un rôle symétrique.

Denis Vekemans -7/10-Mathématiques

CRPEPG12015

Au vu de ce qui précède, je pense qu"il s"agit d"une situation a-didactique1, mais ceci ne facilite pas la

compréhension du sujet par le candidat.

1. Lara commetdeux erreurs d"écriture.

La première erreur tient dans le fait que2 +5

10+2100vaut252100et non pas2521 000(erreur répétée pour

2 + 6

10+1100). L"erreur peut être une étourderie (après les unité, les dixièmes, les centièmes, viennent

les millièmes) ...

Outre le fait que Lara soit maintenant en présence de millièmes au lieu de centièmes, la seconde erreur

vient de0252 = 252, ce qui est évidemment faux, mais on peut supposer que l"élève voulait exprimer

"0252 = 252millièmes" sans avoir trouvé la forme adéquate (erreur répétée pour0261). Cependant,

cette élève a mis en évidence par là que pour comparer deux nombresdécimaux au même format (en

millièmes), il suffit de comparer les nombres de millièmes (qui sont des nombres entiers).

2. Fatou associe correctement l"écriture à virgule d"un nombre décimal à l"écriture de ce nombre comme

addition de fractions décimales dont les numérateurs ne comportent qu"un seul chiffre : (10)où est le nombre d"unités,le chiffre des dixièmes etle chiffre des centièmes+

10+100.

3. La règle que Léonie utilise implicitement pour comparer deux décimaux est la suivante (ordre lexico-

graphique) :

Pour comparer deux décimaux, on regarde d"abord les unités, puis les dixièmes, puis les centièmes, puis

les millièmes, ...

- Si les parties entières sont différentes, le nombre le plus petit est celui qui a la plus petite partie

entière (par exemple,12

34567);

- si les parties entières sont égales, on considère le chiffre des dixièmes, ...

- si maintenant les chiffres des dixièmes sont différents, le nombre le plus petit est celui qui a le plus

petit chiffre des dixièmes (par exemple,05quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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