[PDF] [PDF] Résumé de cours : Nombres complexes - Ecole Numériquetn

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R´esum´e de cours :Nombres complexes.

Forme alg´ebrique d"un nombre complexe?Tout nombre complexe zs"´ecrit de fa¸con unique sous la forme ( dite alg´ebrique ) : z=a+ib o`u aet bsont des r´eels. ?Le r´eel aest appel´e partie r´eelle de zet est not´eRe (z) . Le r´eel best appel´e partie imaginaire de zet est not´eIm (z) zest r´eel ?b=0 zest imaginaire pur ?a=0 ?Le complexe 0 est `a la fois r´eel et imaginaire pur. Conjugu´e d"un nombre complexe?On appelle conjugu´e du complexe z=a+ib ,aet br´eels, le complexe not´e z et d´efini par : z=a-ib ?Les images de deux complexes conjugu´es sont sym´etriques par rap- port `a l"axe des abscisses (appel´e souvent axe des r´eels). z+ z=2 Re (z) ;z- z=2i Im (z) ;z=z et zz=x2+y2 , o`u z=x+iy avec x,y? R. ?z+z?= z+ z?;zz?= zz?;zn= zn et ?zz??= zz?. ?Si z=z?+iz?? avec z?,z???

Calors

z= z?-i z??

Module et arguments d"un nombre complexe non nul

?Soit zun nombre complexe non nul d"image M dans le plan muni d"un rep`ere orthonormal direct? O; #»u, #»v?, et soit (r,θ) un couple de coor- donn´ees polaires du point M dans (O; #»u) ?le r´eel rest appel´e module de zet not´e |z| ?le r´eel est appel´e argument de zet not´e arg(z) . On a donc : |z|=r=OM ;arg(z)≡ ?(#»u; # »OM)[2π] ?Le complexe 0 a pour module 0 mais n"a pas d"argument. ?Tout complexe non nul za une infinit´e d"arguments. Si

θest l"un

d"eux, tout autre argument de zest de la forme

θ+2kπ

,k? Z. Forme trigonom´etrique d"un nombre complexe non nul?Soit zun nombre complexe non nul de module ret dont un argument est l"´ecriture z=r( cosθ+isinθ) est appel´ee forme trigonom´etrique de z. ?Soit z=a+ib , avec aet br´eels, un complexe non nul. Si |z|=r et si arg(z)=θ[2π] alors a=rcosθ et b=rsinθ

Forme trigonométriquez=r(cosθ+isinθ),r>0

Forme algébriquez=a+ib,a,b?

R,r= a2+b2; cosθ=a r; sinθ=b r a=rcosθ;b=rsinθ Formes exponentielle d"un nombre complexe non nulPour tout r´eel

θon pose :

eiθ=cosθ+isinθ . Si zest un nombre com- plexe non nul de module ret dont un argument est

θ, on appelle forme

exponentielle de zl" ´ecriture : z=reiθ

RemarquesSi

ρet

θsont des r´eels quelconques et si

z=ρeiθ , la forme exponentielle de z n"est pas toujours

ρeiθ

?si

ρ>0

, la forme exponentielle de zest

ρeiθ

?si

ρ<0

, la forme exponentielle de zest -ρei(π+θ) ?si

ρ=0

,z=0 et la forme exponentielle de zn"existe pas.

Pour montrer qu"un nombre complexe est r´eel

?on peut : ?montrer que sa partie imaginaire est nulle; ?montrer qu"il est ´egal `a son conjugu´e; ?montrer qu"il est nul ou que son argument est kπ,k? Z. Pour montrer qu"un nombre complexe est imaginaire pur ?on peut : ?montrer que sa partie r´eelle est nulle; ?montrer qu"il est ´egal `a l"oppos´e de son conjugu´e; ?montrer qu"il est nul ou que son argument est

π2+kπ,k?

Z.

Formules d"Eulercosθ=eiθ+e-iθ

2 sinθ=eiθ-e-iθ 2i

Formule de MoivrePour tout r´eel

et pour tout entier naturel n :[cos(θ)+isin(θ)]n= cos (nθ)+isin(nθ)

Cons´equences?Pour ´ecrire

1+eiθ

et

1-eiθ

R) sous la forme

ρeiα

, avec R2, on peut factoriser par eiθ 2: eiθ+1=eiθ

2?eiθ

2+e-iθ

2?=2cos

?θ2?eiθ

2;eiθ-1=eiθ

2?eiθ

2-eiθ

2?=2sin

?θ2?ei?θ

2+π

2? i=eiπ

2;-1=eiπ;-i=e-iπ

2

Distances et angles orient´es?Soient

A,B et C trois points distincts du plan |zB-zA|=AB zC-zAzB-zA ?=AC AB ?Mesure de l"angle?#» u, # »AB est ´egale `a :??#» u, # »AB ?≡arg(zB-zA)[2π] ?Mesure de l"angle?# » AB, # »AC est ´egale `a :??# » AB, # »AC ?≡arg ?zC-zAzB-zA ?[2π]

Cons´equences?

A,B et C

´etant trois points distincts du plan :

A,B et C sont align´es ?zc-zA zB-zA? R ?det ?# »AB, # »AC ?=0? arg ?zc-zAzB-zA ?=kπ,k? Z. ?les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires ?zc-zA zB-zA?i R? # »AB. # »AC=0?arg ?zc-zAzB-zA ?=kπ+π 2,k? Z

Th´eor`eme :?L"´equation

zn=1 (n?

N?) admet dansC

nsolutions distinctes deux `a deux, appel´ees les racine ni`emede l"unit´e qui sont : e2ikπ n= ?e2iπ n?kavec k?{0,1,...,n-1}

Si on pose

zk=e2ikπ n alors on a : zn-k= zk=1 zk ,z0+z1+...zn-1=0 et z0×z1×...×zn-1=(-1)n-1

Th´eor`eme :?Soit

U=ρeiα

avec

ρ>0

. L"´equation zn=U (n?

N?) admet dansC

n solutions distinctes deux `a deux, appel´ees les racine ni`emede U qui sont : ei(α+2kπ) n avec k?{0,1,...,n-1} Equation du second degr´e `a coefficients complexes?Soit (E) l"´equation az2+bz+c=0 ,a?=0 . Soit

Δ=b2-4ac

le discri- minant de l"´equation, il existe un

δtel que

δ2=Δ

alors les solutions de (E) sont z?=-b+δ 2a ,z??=-b-δ 2a az2+bz+c=a(z-z?)(z-z??) z?+z??=-b a; z?z??=c a.

1est une solution de

(E)?a+b+c=0 -1 est une solution de (E)?a-b+c=0?Si a,bet csont r´eels alors les solutions de (E) sont conjugu´ees.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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