[PDF] Résumé : Nombres complexes Niveau : Bac sciences techniques

1/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Définition : Remarque : Soit un nombre complexe donné sous forme cartésienne. - Si -, est réel. - Si -, est dit imaginaire pur. Conséquences : Définition : Il existe un ensemble noté , appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : . complexes et les règles de calcul restent les mêmes. Il existe un nombre complexe noté tel que . Tout nombre complexe : avec et sont des réels. avec et réels est appelée forme algébrique ou forme cartésienne du nombre complexe . est la partie réelle de , notée . est la partie imaginaire de notée . . Soit un point du plan. - On appelle affixe de , le nombre complexe noté ou tel que : . Le nombre complexe , on le note ou . - est le point image du nombre complexe . Soit et deux nombres complexes. - est réel ssi -. - est imaginaire pur ssi -. - - ssi -. - et . Résumé : Nombres complexes Niveau : Bac sciences techniques Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Email : saberbjd2003@yahoo.fr 1/6

2/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Propriétés : Définition : "" Propriétés : Théorème : Définition : "" Propriétés : Propriété : Soit un nombre complexe donné sous forme cartésienne. On appelle module de et on note , le réel positif défini par Soit un nombre complexe donné sous forme cartésienne. On appelle conjugué de et on note , le nombre complexe défini par . Soient et deux nombres complexes donnés sous forme cartésienne. 1) 2) 3) , 4) , - 5) - 6) - 7) Soit un nombre complexe. est réel est imaginaire pur Soient et deux nombres complexes. 1) 2) 3) 4) , 5) , - 6) et et . et sont deux vecteurs. 1) 2) pour tous réels et . et . Alors : 2/6

3/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Définition : "" Propriétés : Théorème : Définition : " Propriétés : Soit et un argument de . Alors : et ou encore : et On a alors : Soit un nombre complexe non nul. de sous la forme ou où désigne un argument de est appelée écriture trigonométrique ou forme trigonométrique de . et sont les coordonnées polaires du point . . ( et sont des réels) est un nombre . On appelle argument de et on note , . --, Soient et deux nombres complexes non nuls avec , , et . 1) 2) 3) Soient et deux nombres complexes non nuls. 1) -, 2) -, 3) -, 4) -, , 5) -, 6) -, 4) 5) 3/6

4/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Définition : " Propriétés : : Formule de Moivre : Propriétés : Définition : " Théorème : Pour tout , on pose . Soit est la forme exponentielle de . Soient et deux nombres complexes non nuls avec , , et . 1) 2) 3) , 4) 5) Pour tout réel on a : et Pour tout et pour tout on a : . et et . 1) -, . En particulier, si , , et , , et , alors : -, . 2) et sont colinéaires est réel. 3) et sont orthogonaux est imaginaire pur. Soit un nombre complexe. On appelle racine carrée de tout nombre complexe vérifiant : . et sont deux nombres complexes donnés sous forme cartésienne. - 4/6

5/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Remarques : Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées. pour exprimer une racine carré, car il . Théorème : Définition : "Equation du second degré à coefficients complexes" Théorème : Théorème : Théorème : Soit - une équation du second degré à coefficients complexes. Si et sont les solutions de , alors : Soit une équation du second degré à coefficients complexes. On pose . 1) Si , alors admet dans une solution double : 2) Si , alors admet dans deux solutions distinctes : et avec est une racine carrée de . 3) Si et sont les solutions de , alors : 4/6 Soit un nombre complexe non nul donné sous forme exponentielle. Les racines carrées de sont : et Soient , et trois nombres complexes donnés tels que -. : complexes. Soit une équation du second degré à coefficients complexes. On pose . 1) Si , alors admet dans une solution double : 2) Si , alors admet dans deux solutions distinctes : et avec est une racine carrée de . 3) Si et sont les solutions de , alors : 5/6

6/4 Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Techniques Résumé : Nombres complexes Théorème : Définition : "Racines nièmes Théorème : Soient et un nombre complexe non nul donné sous forme exponentielle. Les racines nièmes de (les solutions de équation ) sont les nombres complexes : avec . Les images des nombres complexes sont les côtés inscrits dans le cercle de centre et de rayon . Soient et deux nombres complexes donnés. Les nombres complexes et tels que : sont les solutions dans de : . Soient et . On appelle racine de , tout nombre complexe vérifiant : . Si , alors on dit que est une racine nième . 6/6