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Les similitudes

Table des matières

1 Rappels sur les nombres complexes

3

1.1 Expression d"un nombre complexe

3

1.2 Représentation d"un nombre complexe

3

1.3 Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

4

1.4 Application des complexes en géométrie

4

2 Transformations élémentaires

5

2.1 Définition

5

2.2 Isométrie

5

2.3 La translation

6

2.3.1 Définition et propriétés

6

2.3.2 Fonction complexe associée

7

2.4 La rotation

7

2.4.1 Définition et propriétés

7

2.4.2 Fonction complexe associée

8

2.4.3 Exemple

8

2.5 La réflexion

9

2.5.1 Définition et propriétés

9

2.5.2 Fonction complexe associée

10

2.6 L"homothétie

10

2.6.1 Définition et propriétés

10

2.6.2 Fonction complexe associée

11

2.6.3 Exemple

11

3 Similitude

12

3.1 Définition

12

3.2 Conséquences

12

3.3 Propriétés

13

3.3.1 Le produit scalaire

13

3.3.2 Les angles géométriques

13

3.3.3 Repère orthogonal

13

3.3.4 Conséquences

13

4 Écriture complexe d"une similitude

13

4.1 Similitude et triangle

13

4.2 Écriture complexe d"une similitude

14 1 2

5 Similitudes directes et indirectes

15

5.1 Définitions

15

5.2 Théorème

16

6 Similitudes directes

17

6.1 Propriétés d"une similitude directe

17

6.2 Comment définir une similitude directe?

18

6.2.1 Théorème

18

6.3 Figures clés de la similitude

19

7 Configuration de cercles sécants

20

7.1 Théorème

20

7.2 Application

21 PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

3 1

Rappels sur les nombres complexes

1.1

Expression d"un nombre complexe

êForme algébrique :

z=a+ib aveca=<(z)partie réelle dezetb==(z)partie imaginaire dez.

êForme trigonométrique :

z=r eiq=r(cosq+isinq) =r eiq avecr=jzjmodule dezetq=arg(z)argument dez êFormules de passage d"une ériture à l"autre : r=pa

2+b2et cosq=ar

et sinq=br êComplexe conjuguéz=aibouz=r eiqon a alorszz=jzj2 1.2 Représentation d"un nombre complexe êLe plan muni du repère ortho- gonal direct(O,!u,!v)est ap- pelé leplan complexe.

êz=a+ibest représenté par le

pointMde coordonnées carté- siennes(a,b)

êz=r eiqest représenté par

le pointMde coordonnées po- laires(r,q)

êOn dit queMest l"image dez,

et quezestl"affixedu pointM.

On note alorsM(z).

ConséquenceLe pointM0d"affixe le complexe conjugué dez,zest alors de

symétrique par rapport à l"axe des abscisses du pointM.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

41 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES1.3Opérations sur les conjugués, les modules et les arguments

Propriété 1 :Opérations sur les conjugués, modules et arguments. êLe conjugué de la somme et du produit ne pose pas de problème.

En effet, on a :z+z0=z+z

0,zz=zz

0 zz 0 =z z

0(z06=0),z

n=(z)n êLe module du produit est le produit des modules mais pour l"addition, on ne peut rien dire.

On a :

jzz0j=jzj jz0j,jznj=jzjn zz

0=jzjjz0j,jzj=jzj

Attention :jz+z0j6jzj+jz0j

êL"argument du produit est la somme des argument. De même le quotient des arguments est la différence des arguments. argzz0=argz+argz0(mod 2p), argzn=nargz(mod 2p) arg zz 0 =argzargz0(mod 2p), argz=argz(mod 2p)1.4Application des complexes en géométrie êSoit 2 pointsAetBd"affixes respectiveszAetzB. On a alors : z !AB=zBzAetAB=jzBzAj êSoit 2 vecteurs!uet!vd"affixes respectiveszetz0. On a alors :

1)(!u,!v) =argz0z

(mod 2p) 2) !uet!vsontcolinéairessi :z0z est réel 3) !uet!vsontperpendiculairessi :z0z est imaginaire pur. êSoit quatre pointsA(zA),B(zB),A0(zA0)etB0(zB0). On a alors : !AB,!A0B0) =argzB0zA0z BzA (mod 2p)PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ 5 Remarque :Nous pouvons résumer par un schéma l"intervention des nombres complexes en géométrie.

Propriétés géométriques!Traduction!Relations entre affixesCalculs dansC!Traduction!Nouvelle prop.géométriques2Les transformations élémentaires et les fonctions

complexes associées 2.1 Définition Définition 1 :Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. À tout pointM, on associe un unique pointM0, et tout pointM0a un unique antécédent. SiTest la transformation, on noteT1la transformation réciproque. M T!

T1M0avecT(M) =M0etT1(M0) =MExemple :La translation, la rotation,la symétrie centrale, la réflexion ou

l"homothétie sont des transformations. Par contre la projection orthogonale n"est pas une transformation car une fois le point projeté, on ne peut plus revenir en arrière : l"antécédent n"est pas unique. Remarque :La transformation qui au pointMassocie lui-même s"appelle l"identité. Elle est notée :Id 2.2 Isométrie Définition 2 :Une isométrie est une transformation que conserve les distances. Soitiune isométrie : 8< :A i!A0 B i!B0on a alors :A0B0=ABRemarque : êLes isométries élémentaires sont : les translations, les rotations, les symé- tries centrales et les réflexions.

êOn distingue deux sortes d"isométrie :

1)Les déplacements: isomètries que conservent les angles orientés :

!O0A0,!O0B0) = (!OA,!OB)

On range dans cette catégorie : les translations et les rotationsPAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

62 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES2)Les antidaplacements: isométries qui changent les angles orientés en

leur opposé. (!O0A0,!O0B0) =(!OA,!OB) On range dans cette catégorie : les réflexions et les symétries glissées êL"image d"une droite par une isométrie est une droite. L"image d"un cercle par une isométrie est un cercle de même rayon.

Propriétés :Une isométrie conserve :

êLes distances :A0B0=AB

êLes aires :A=A0

êLe parallèlisme : si(D)//(D)alors(D0)//(D0)

êL"orthogonalité : si(D)?(D)alors(D0)?(D0)

êLes angles géométriques :[AOB=\A0O0B0

êLe milieu : siI=m[AB]alorsI0=m[A0B0]

êL"alignement : siA,BetCsont alignés alorsA0,B0etC0le sont aussi. êLe contact : siIest l"intersection des droites(D)et(D)alorsI0est l"inter- section de(D0)et(D0) 2.3

La translation

2.3.1

Définition et propriétés Définition 3 :Une translationtde vecteur!uest une transformation

définie par : M t!M0tel que!MM0=!uExemple :Image d"un trianglePropriétés :

êPour tous pointsAetB, on a :!A0B0=!AB

êLa translation n"admet pas de point fixe.

êLa translation réciproque est la translation de vecteur!u.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

2.4 LA ROTATION7êL"image(D0)d"une droite(D)par une translation est :

1.(D0)//(D)si la direction de(D)est différente de!u

2.(D0) = (D)si(D)et!uont même direction.

2.3.2

Fonction complexe associée

Si le vecteur

!u(b)de la translation a pour affixeb, alors l"imageM0(z0)du pointM(z)par la translationt, verifie : !MM0=!u z 0z=b z 0=z+b Conclusion :La fonction complexe associée à la tranlation est de la forme z 0=z+b 2.4

La rotation

2.4.1

Définition et propriétés Définition 4 :Une rotationrde centreWet d"angleqest une transforma-

tion définie par : M r!M0tel que(!WM,!WM0) =qetWM0=WMExemple :Image d"un triangle (q=p3 )Propriétés : êLa rotation possède un point invariant : son centre.

êUne rotation de centreWd"anglep2

correspond à un quart de tour direct notéQW.

êUnerotationdecentreWd"anglep2

correspondàunquartdetourindirect notéQ0W.PAUL MILAN7 février 2011 TERMINALESSPÉ

82 TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRESêUne rotation de centreWet d"anglepcorrespond à une symétrie centrale

de centreWnotéSW. êL"image(D0)d"une droite(D)est une droite telle que : (D0)et(D)forme un angleq. 2.4.2

Fonction complexe associée

Soit le centreW(w)et l"angleqde la rotation, alors l"imageM0(z0)du point

M(z)par la rotationr, verifie :

WM0=WMalorsjz0wj=jzwjdoncz0wzw

=1(1) !WM,!WM0) =qalors argz0wzw =q(2)

De(1)et(2)on en déduit que :

z

0wzw=eiq

z

0w=eiq(zw)

z

0=eiqz+weiqw

en posantb=weiqw, on obtient z

0=eiqz+b

Remarque :

êSiq=p2

alors on a :z0=iz+b.

êSiq=p2

alors on a :z0=iz+b.

êSiq=palors on a :z0=z+b.

2.4.3

Exemple

Soit la rotation de centreWdéfinie par :

z 0= 12 +p3 2 i! z+p3 2 +32
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