[PDF] SIMILITUDES DANS LE PLAN 1 Transformations du plan :

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SIMILITUDES DANS LE PLAN

Jean Chanzy

Université de Paris-Sud

1 Transformations du plan :

Dans tout le chapitre, on désigne parPle plan habituel "R2» en tant qu"ensemble de pointsM dont les coordonnées dans un repère orthonormé?

O;?i,?j?

sont des réels(x;y).

Définition 1 :

1. UneTransformationT

du planPest une fonction qui à tout pointMdu planPassocie un unique pointM?notéM?=T(M), et à tout pointN?du planPassocie un unique pointNtel queT(N) =N?,

2. UneTransformation

du planPest une bijection dePdans lui-même.

Propriétés :

1. Une transformationTadmet une transformation réciproque notéeT-1, définie par :

N=T-1(M)?M=T(N),?M? P,

2. la composée de deux transformations du plan,T1suivie deT2, est une transformation du plan,

notéeT2◦T1.Attention! : en général,T2◦T1?=T1◦T2,

3. la composition des transformations est associative. En effet, siT1,T2etT3sont trois transforma-

tions du plan, alors(T1◦T2)◦T3=T1◦(T2◦T3).

Exemples :

1. Lestranslations

, leshomothéties, lesrotationset lessymétries (axiales et centrale)sont des transformations du plan,

2. latranslation

de vecteur?ua pour transformation réciproque latranslationde vecteur-?u,

3. l"homothétie

de centreΩet de rapportka pour transformation réciproque l"homothétiede même centre et de rapport1/k,

4. larotation

de centreΩet d"angleθa pour transformation réciproque larotationde même centre et d"angle-θ,

5. lessymétries (axiales et centrale)

ont elles-mêmes pour transformations réciproques. ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 1

2 Définition géométrique d"une similitude plane :

2.1 Triangles semblables :

Définition 2 :

1. Deux triangles sont semblables ou ont la même forme si les angles de l"un sont respectivement

égaux aux angles de l"autre,

2. deux triangles sont semblables ou ont la même forme si les côtés de l"un sont respectivement

proportionnels aux côtés de l"autre.

2.2 Similitudes planes :

Définition 3 :

1. On appelle similitude plane toute transformationTdu planPqui conserve les rapports des dis-

tances, c"est-à-dire que pour tous pointsA,B,C,D(?=C), d"images respectivesA?,B?,C?, D ?(?=C?)parT, on aAB

CD=A?B?C?D?,

2. une transformationTdu planPest une similitude s"il existe un réelk >0tel que pour tous points

MetNdu planP, d"images respectivesM?etN?, on aitM?N?=kMN. Le réelkest appelé le rapport de la similitude. Définition 4 :On appelle isométrie toute similitude de rapport1.

Propriétés :

1. L"image d"un triangle par une similitude est un triangle semblable,

2. la transformation réciproque d"une similitude de rapportkest une similitude de rapport1/k,

3. la composée de deux similitudes de rapports respectifsk1etk2est une similitude de rapportk1×k2,

4. la composée dans un ordre quelconque d"une isométrie et d"une homothétie de rapportkest une

similitude de rapport|k|,

5. une similitude conserve les angles géométriques.

6.Effet d"une similitude sur les configurations :

Toute similitudesde rapportk >0:

- multiplie les distances parket les aires park2, - conserve les angles géométriques, donc le paralléllisme et l"orthogonalité, - conserve les alignements, les milieux, les intersections, les barycentres, - transforme une droite en une droite et un segment en un segment, - transforme un cercle de centreIet de rayonRen un cercle de centreI?=s(I)et de rayonkR.

3 Classification des similitudes planes :

Il existe deux sortes de similitudes :

1. celles qui conservent les angles orientés-ce sont lessimilitudes directes

- en particulier, elles trans-

forment un triangle en un triangle directement semblable, c"est-à-dire que les angles du triangle et

ceux du triangle-image sont dans le même sens,

2. celles qui transforment les angles orientés en des anglesopposés-ce sont lessimilitudes indirectes

ousimilitudes inverses- en particulier, elles transforment un triangle en un triangle inversement

semblable, c"est-à-dire que les angles du triangle et ceux du triangle-image sont en sens contraire.

2 Propriété caractéristique des similitudes planes :

1. Une transformationsdu plan est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe

est de la formes(z) =az+b, oùa?C?,b?C, etzest l"affixe dans le plan complexe d"un point Mquelconque du plan, ets(z)celui de l"image deMdans la similitude,

2. une transformationsdu plan est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe

est de la formes(z) =a z+b, oùa?C?,b?C, etzest l"affixe dans le plan complexe d"un point Mquelconque du plan, ets(z)celui de l"image deMdans la similitude. Dans les deux cas,|a|est appelé le rapport de la similitude.

3.1 Similitudes planes directes :

Soitsune similitude plane directe, dont l"expression dans le plan complexe(O;?u,?v)ests(z) =az+b, aveca?C?etb?C.

Définition 5 :

1. On appellerapport

de la similitudesle réel strictement positifk=|a|, etanglede la similitude sle réelθ=Arg(a) [2π]. SiAetBsont deux points distincts du plan, d"images respectivesA?etB?pars, alors pour tout

pointMdu plan, d"imageM?pars, on a(--→AM,---→A?M?) = (--→AB,---→A?B?) [2π], et l"angle(--→AB,---→A?B?)

est l"angle de la similitudes.

2. Toute similitude plane directe autre que la translation (a?= 1) admet un unique point fixeΩappelé

centre de la similitude, dont l"affixeωest tel queω=aω+b, et doncω=b1-a.

Remarques

1. Sia= 1, la similitudesest unetranslation

2. si|a|= 1, la similitudesest unerotation

d"angleArg(a) [2π],

3. siθ= 0 [2π], la similitudesest unehomothétie

de rapporta?R,

4. toute similitude plane directe de rapport1est appelée undéplacement

. Tout déplacement est soit une translation, soit une rotation, soit l"identité.

Théorème 1Toute similitude plane directesde rapportket d"angleθest soit une translation, sik= 1

etθ= 0, soit la composée dans n"importe quel ordre d"une rotation decentreΩet d"angleθet d"une

homothétie de même centreΩet de rapportk.

Elle admet une écriture complexe de la formes(z) =ω+ke◦ıθ(z-ω),ωétant l"affixe deΩ.

Théorème 2 :Étant donnés quatre pointsA,B,A?etB?, tels queA?=BetA??=B?, il existe une unique similitude directestransformantAenA?etBenB?. Elle a pour rapportA?B?

ABet pour angle

AB,---→A?B?).

Démonstration

: Si la similitude existe, on peut l"exprimer en complexe pars(z) =pz+q. Soienta, b,a?etb?les affixes respectifs deA,B,A?etB?. On aa?=beta??=b?. Les conditionsA?=s(A)et B ?=s(B)se traduisent par le système : ?pa+q=a? pb+q=b?. 3

On en déduit quep=b?-a?b-a,q=ab?-ba?a-b, et donc|p|=|b?-a?||b-a|=A?B?ABetarg(p) = (--→AB,---→A?B?) [2π].

3.2 Similitudes planes indirectes :

Soitsune similitude plane indirecte, dont l"expression dans le plan complexe(O;?u,?v)ests(z) = a z+b, aveca?C?etb?C.

Théorème 3 :Étant donné une droiteΔ, toute similitude indirectesest la composée de la symétrieσ

d"axeΔet d"une similitude directes1.

Démonstration

: Soitσla symétrie d"axeΔ. On poses1=s◦σ.s1est la composée de deux similitudes,

donc c"est une similitude. Commesetσsont des similitudes indirectes, elles transforment les angles

orientés en leurs opposés, ets1conserve donc les angles orientés.s1est donc une similitude directe. Par

ailleurs, on as1◦σ= (s◦σ)◦σ=s◦(σ◦σ). Orσ◦σ= IdP, doncs1◦σ=s.?

Théorème 4 :Toute similitude ayant deux points fixes est soit l"identité, soit une symétrie axiale.

Démonstration

: Soitsune similitude, d"expression complexes(z) =az+bous(z) =az+b,a?C? etb?C, ayant deux points fixesIetJ(?=I), d"affixes respectifszIetzJ.

Sisest une similitude directe,

zI=azI+b z

J=azJ+b,

donczI-zJ=a(zI-zJ), et commezI?=zJ,a= 1et par suitezI=zI+b, doncb= 0.sest donc l"identité deP.

Sisest une similitude indirecte, d"après le théorème3,sest la composée de la symétrieσd"axe

(IJ)et d"une similitude directes1, doncs=s1◦σ. D"oùs◦σ= (s1◦σ)◦σ=s1◦(σ◦σ) =s1. Alors

s

1(I) = (s◦σ)(I) =s(σ(I)) =s(I) =Iets1(J) = (s◦σ)(J) =s(σ(J)) =s(J) =J. Par suites1est

une similitude directe ayant deux points fixes, doncs1est l"identité du plan. Ainsis=σetsest une

symétrie axiale.?

Proposition (admise) :Toute symétrieσd"axe(Δ)a pour expression complexeσ(z) =e◦ıθ

z+b, où

2est l"angle polairede(Δ)(ou " inclinaison » de(Δ)par rapport à l"axe des réels, voir figure

ci-dessous), et b

2est l"affixe du piedHde la perpendiculaire(D)menée de l"origineOdu repère sur la

droite(Δ). 4 O?u?v xy axe des imaginaires axe des réels H ?b 2? 2 (D) 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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