[PDF] TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé

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TERMINALE S

Nombres complexes

Fiche de résumé

Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les propriétés suivantes : • L'ensemble C contient l'ensemble R des nombres réels ; • Il existe dans C une addition et une multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans R ; • Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i²= -1 ;

Forme algébrique z = a+ ib

• Le réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s'appelle la partie imaginaire

de z. • a = Re(z) et b = Im(z). • Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. • Un complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. • 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur. • a + ib = a' + ib' équivaut à a = a' et b = b'. • a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0

Affixe

A tout point M de coordonnées (x,y) on associe le complexe x + iy , noté z

M et appelé affixe

de M.

Pour tous points A et B, le vecteur

ABa pour affixe z

AB = zB - zA = (xB - xA) + i(yB - yA)

Conjugué

le conjugué de z = x + iy est le nombre complexe z = x - iy. • z est réel si et seulement si z = z • z est un imaginaire pur si et seulement si z = - z • z= z (-z)= - z • z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z) • z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z) • Re(z) = z + z2 Im(z) = z - z2i • z z = a² + b² zn= z n • z + z'= z+ z' z - z'= z- z' z × z'= z× z' z' z = z'z ((( 1 z= 1 z

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Nombres complexes

Fiche de résumé

Module

• | z | = | a + ib | =a² + b² • | |z=????z |-z | = |z | • |z × z'| = |z| × |z'| |zn| =|z|n z' z = | |z' | |z ??? 1 z = 1| |z • AB = | zB - zA| Résolution de az² + bz + c = 0, avec a ,b , c réels et a non nul.

Soit Δ = b² - 4ac,

si Δ = 0, une solution réelle est - b 2a si Δ > 0, deux solutions réelles -b +

2a et -b - Δ

2a si Δ < 0, deux solutions complexes conjuguées -b + i

2a et -b - i-Δ

2a

Argument d'un nombre complexe non nul

Dans le plan complexe (O,

u , v), soit le complexe z non nul, de point image M.

Arg(z) = mesure en radian de l'angle orienté (

u, OM)

Soit z un complexe non nul

• z est réel (z ? R ) si et seulement si arg(z) = 0 [π] • z est imaginaire pur (z ? iR) si et seulement si arg(z) = π

2 [π]

• arg( z) = - arg(z) [2π] arg(- z) = arg(z) + π [2π] • arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π • arg(z²) =arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π] arg(zn) = n arg(z) [2π] • arg ((( z1 z2 = arg (z1) - arg (z2) [2π] arg ((( 1 z

2 = - arg (z2) [2π]

Forme trigonométrique

Soit z = a + ib un nombre complexe de module ρ et d'argumentθ, alors z = ρ (cos θθθθ + i sin θθθθ),

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : cos θ = a| |z sin θ = b| |z d'où z = ρ(cos θ + i sin θ) Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique: • a = ρ cos θ et b = ρ sin θ

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Nombres complexes

Fiche de résumé

Angle orienté de vecteurs

A, B, C, D étant des points distincts d'affixes respectives a, b , c, d alors AB ,

CD) = arg (((

d - c b - a Notation exponentielle : cos θ + i sin θ = e iθ ( )eiθ = e - iθ - eiθ = ei(θ + π) | |eiθ= 1 arg(eiθ) = θ e iθ × eiθ' = ei(θ + θ') e iθ eiθ' = ei(θ - θ') ( )eiθn= einθ Formule de Moivre d'où (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ

Transformations

• L'écriture complexe de la translation de vecteur w d'affixe b est z' = z + b. • L'écriture complexe de la rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ est z' - ω = e iθ × (z - ω).

• L'écriture complexe de l'homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k réel non nul est

z' - ω = k × (z - ω).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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