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La idea básica de la transformada de Fourier en lo referente a las EDPs es la misma que en el caso de la de Laplace esto es transformar un problema complicado en otro más fácil de resolver y luego obtener la solución del problema original como la transformada

¿Qué es la transformada de Fourier?

Algo así. Esto es la transformada de Fourier. Es un separador de series temporales en ondas simples. Ahora te explico mejor que quiero decir con ondas simples. La gracias del sistema separador de ondas de Fourier es que la serie temporal se expresa en forma de ondas muy simples.

¿Por qué los métodos de Fourier son tan importantes?

Especialmente en Física son hoy más válidas que nunca las palabras de Lord Kelvin: “Los métodos de Fourier no son solamente uno de los resultados más hermosos del Análisis moderno, sino que puede decirse además que proporcionan un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la Física actual, por recónditas que sean”.

¿Cuáles son los problemas de desarrollo de Fourier?

Otros problemas conducen a la posibilidad de desarrollos de Fourier distintos de los mencionados. Por ejemplo, si se estudian las vibraciones pequeñas de una cuerda, estando libres los extremos de la misma, tendremos en lugar de (1.1), el problema @2u.x;t/ @t2 D @2u.x;t/ @x2

¿Cómo converge la serie de Fourier?

k/ n.x/ deben converger uniformemente a f;f0; ;fk/respectivamente (por el ejercicio 14). En el ejercicio anterior se demuestra que si fes su?cientemente regular entonces no sólo la serie de Fourier de fconverge uniformemente a fsino que también la serie de Fourier de f0converge uniformemente a f0.

Universidad de Santiago de ChileAutores: Miguel Martínez Concha

Facultad de CienciaCarlos Silva Cornejo

Departamento de Matemática y CCEmilio Villalobos Marín

1 Ejercicios Resueltos

(ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los es- tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus- car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi...cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá...cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.

1.1 Problema 1.

i)Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período2.Representar gra...camente y estudiar la convergencia de la serie enR: f(x) =0six0 xsi0x

Solución:

i)Calculo de los coe...cientes de Fourier. a 0=12 R f(x)dx=12" 0R f(x)dx+R

0f(x)dx#

12 R 0xdx a 0=12h x22 i 0=4 a n=1 R f(x)cos(nx)dx=1 R

0xcos(nx)dx

Usando el método de integración por partes se tiene: a n=1 h xcos(nx)n +cos(nx)n 2i 0=1 h

00 +(1)nn

21n
2i a n=(1)n1n

2=0paranpar

2paranimpar

así: a

2n= 08n

2n1=2(2n1)28n:

b n=1 R f(x)sin(nx)dx=1 R

0xsin(nx)dx

1 h xcos(nx)n +sin(nx)n 2i

0=cos(n)n

luego el coe...ciente es: b n=(1)n+1n 1

Por lo tanto, la serie de Fourier será:

4 +1X n=1"

2(2n1)2cos((2n1)x) +(1)n+1n

sin(nx)# En todos los puntos de continuidad la serie converge af(x)y en los puntos de discontinuidad del tipox=+ 2nconn2Z, la serie converge a2 ii)A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X n=11(2n1)2

Solución.(ii)

Evaluando enx= 0se tiene

0 = 4 2 11 2+13 2+15 2+::: de donde 4 =2 11 2+13 2+15 2+::: y de aquí 1X n=11(2n1)2=28

1.2 Problema 2

i)Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período2, de...nida por: f(x) =x2;x ii)A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X n=11n 2 iiI)Determine la convergencia de la serie1X n=11n 4

Solución:

i)La funciónfes par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma: a 0+1X n=1a ncos(nx) 2 a 0=1 R

0f(x)dx=1

0x2dx=1

h x33 i 0=23 a n=2 R

0f(x)cos(nx)dx=2

0x2cos(nx)dx

a n=hx2sin(nx)n +2xcos(nx)n 2i

0=4cos(n)n

2=4(1)nn

Luego, la serie es:

23
+ 41X n=1(1)nn

2cos(nx)

Como la función es continua enR,entonces:

x 2=23 + 41X n=1(1)nn

2cos(nx);todoxreal.

Solución(ii)

La serie numérica se puede obtener haciendox=yf() =2; 2=23 4 11 212
213
2::: de donde 1X n=11n 2=14 23
=26 iii)Como la funciónfes seccionalmente suave paraxyf() = f()se cumplen las condiciones de su...ciencia de la identidad de Parseval entonces 1 Z x22dx= 223 +1X n=1

4(1)nn

2 2 1 x55 =29 4+1X n=116n 4=) 1 X n=11n 2=490

1.3 Problema 3

Seaf(x) =x(sinx);si < x < ;entonces:

i)Determine la serie de esta función. 3 ii)Pruebe la convergencia de la serie: 1 X n=1(1)nn 21=14

Solución:

i)La funciónf(x)es par, es decirf(x) =f(x)8x2(;);entonces: b n= 0 a 0=1 R

0f(x)dx=1

0xsinxdx=1

[x(cosx)] 0+R

0cosxdx

= 1 a n=2 R

0f(x)cos(nx)dx=2

0xsinxcos(nx)dx

Paran6= 1

a n=1 R

0x[sin((n+ 1)x)sin((n1)x)]dx=2(1)n+1n

Paran= 1

a 1=2 R

0xsinxcosxdx=1

0xsin(2x)dx=12

Por lo tanto, la serie es:

xsinx= 112 cosx+ 21X n=2(1)n+1n

21cos(nx)

ii)Enx= 0hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie converge af(0) f(0) = 0 = 112 cos0 + 21X n=2(1)n+1n

21cos(0)

Finalmente

1 X n=2(1)n+1n 21=14

1.4 Problema 4

i)Paraf(x) =e[x],0x2obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica de período 4. ii)Del resultado determinar la convergencia de: 1 X n=1(1)n12n1 Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4 f(x) =8 :1si0x <1 e

1si1x <2

2six= 2

Con extensión parfp(x)def(x)se obtiene la serie: a 0+1X n=1a ncosnx2 a 0=12 1R

01dx+2R

1e1dx 12 1 +e1 a n= 1R

0cosnx2

dx+2R

1e1cosnx2

dx sinnx2n 2 j10+e1sinnx2n 2 j21 = 2 sinn2n + 2e1sinnsinn2n = 2sinn2n 1e1

Finalmente, la serie es:

1 +e12

+ 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosnx2 ii)Convergencia dex0= 2punto de discontinuidad con límites lateralese1 se tiene convergencia: e

1=1 +e12

+ 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosn e 112
= 2(1e1)1X n=1sin n2 n cosn 1 X n=112n1=4

1.5 Problema 5

Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica sin

3(x) =34

sin(x)14 sin(3x)

Solución:

Se calcula la serie de Fourier def(x) = sin3(x)en[;]:Comof(x)es impar la serie será: 1 X n=1b nsinnconbn=2 Z 0 sin

3(x)sin(nx)dx

5 En primer lugar, calculemos la integral paran6= 1R

0sin3xsinnxdx=sin3xcosnxn

j0+3n R

0sin2xcosxcosnxdx

Usando la identidad trigométrica:cosxcosnx=cos(n1)xcos(n+11)x2 32n
R

0sin2x[cos(n1)xcos(n+ 1)x]dx(1)

En segundo lugar, calculemos el valor del coe...cienteb1paran= 1en(1) b 1=1 32
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¿Qué es la transformada de Fourier?

¿Por qué los métodos de Fourier son tan importantes?

¿Cuáles son los problemas de desarrollo de Fourier?

¿Cómo converge la serie de Fourier?

Facultad de CienciaCarlos Silva Cornejo

1 Ejercicios Resueltos

1.1 Problema 1.

Solución:

0f(x)dx#

0xcos(nx)dx

00 +(1)nn

2=0paranpar

2paranimpar

2n= 08n

2n1=2(2n1)28n:

0xsin(nx)dx

0=cos(n)n

Por lo tanto, la serie de Fourier será:

2(2n1)2cos((2n1)x) +(1)n+1n

Solución.(ii)

Evaluando enx= 0se tiene

1.2 Problema 2

Solución:

0f(x)dx=1

0x2dx=1

0f(x)cos(nx)dx=2

0x2cos(nx)dx

0=4cos(n)n

2=4(1)nn

Luego, la serie es:

2cos(nx)

Como la función es continua enR,entonces:

2cos(nx);todoxreal.

Solución(ii)

4(1)nn

1.3 Problema 3

Seaf(x) =x(sinx);si < x < ;entonces:

Solución:

0f(x)dx=1

0xsinxdx=1

0cosxdx

0f(x)cos(nx)dx=2

0xsinxcos(nx)dx

Paran6= 1

0x[sin((n+ 1)x)sin((n1)x)]dx=2(1)n+1n

Paran= 1

0xsinxcosxdx=1

0xsin(2x)dx=12

Por lo tanto, la serie es:

21cos(nx)

21cos(0)

Finalmente

1.4 Problema 4

1si1x <2

2six= 2

01dx+2R

0cosnx2

1e1cosnx2

Finalmente, la serie es:

1 +e12

1=1 +e12

1.5 Problema 5

3(x) =34

Solución:

3(x)sin(nx)dx

0sin3xsinnxdx=sin3xcosnxn

0sin2xcosxcosnxdx

0sin2x[cos(n1)xcos(n+ 1)x]dx(1)