Trigonalisation des matrices carrées
Toute matrice trigonalisable de Mn(K) admet toujours n valeurs propres distincres ou confondues. Une grande partie de ce chapitre est destinée `a étudier la
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Nous présentons deux applications immédiates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :.
Trigonalisation dune matrice 3x3 On note Soit la matrice : 1
Trigonalisation d'une matrice 3x3. On note. Soit la matrice : 1) Déterminer le polynôme caractéristique de et en déduire qu'il est scindé avec une racine
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Nous allons montrer que toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
x1 +x2 +3x3 = b1. 2x1 +x3. = b2 x1 +x2 +2x3 = b3. Page 55. CHAPITRE 2. LES Exercice 14.— Diagonaliser ou trigonaliser dans Mn(C) en donnant la matrice de pas ...
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
Calcul Matriciel et Applications
2.6 Trigonalisation de matrices . = −3I − 3A − A2. En appliquant directement la formule on a det(A) = −1 χA(x) = −(x3 + 3x3 + 3x + 1)
Sommaire
Diagonalisation délicate d'une matrice 3x3 Trigonalisation « facile » d'une matrice .............................................................. 41.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Diagonalisation trigonalisation. Diagonalisation de matrices. • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces
Trigonalisation des matrices carrées
Toute matrice trigonalisable de Mn(K) admet toujours n valeurs propres distincres ou confondues. Une grande partie de ce chapitre est destinée `a étudier la
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Nous présentons deux applications immédiates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure il suffit de compléter la famille.
TD 4. Diagonalisation et trigonalisation
Écrire la matrice A de chacun de ces endomorphismes dans la base B. e. f5(x) = ?(4x1 + 2x3)e1 + x2e2 + (5x1 + x2 + 3x3)e3.
R´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES
2.1 Matrices diagonales – endomorphismes diagonalisables 3.3 Méthode de trigonalisation – Exemple ... x2(t)=4x1(t) ? 2x2(t) ? 3x3(t) ? 3x4(t).
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire. 23. 1. Les espaces vectoriels Trigonalisation des matrices . ... x1 +x2 +3x3 = b1.
fic00056.pdf
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
Walanta
Diagonalisation et trigonalisation. Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres vecteurs propres. ... matrice 3x3 (règle de Sarrus).
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Fonctions de matrice - LibreOffice Help
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure Exercice 11 : [énoncé] a) u admet une valeur propre ? et le sous-espace propre associé est stable par v Cela assure que u et v ont un vecteur propre en commun e 1 On complète celui-ci en une base (e 1e 2 en) Les matrices de u et v
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1
La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation On va donc en donner les grandes lignes Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence On suppose donc que l’on sait d´emontrer le th´eor`eme a l’ordre n ? 1 Puis on cherche une valeur propre ? et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´e (ou ce qui est
Comment calculer une matrice de 3x3?
Sélectionnez une plage de 3x3 cellules sur une autre zone de la feuille de calcul, saisissez la formule =10*A1:C3 et confirmez cette saisie en utilisant la combinaison de touches Ctrl+Maj+Entrée. Le résultat est une matrice de 3x3 dans laquelle les valeurs individuelles de la plage de cellules (A1:C3) sont multipliées par un facteur de 10.
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment résoudre une matrice triangulaire?
La méthode directe LU Pour résoudre , on cherche à écrire où ? L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale, ? U est une matrice triangulaire supérieure. La résolution de est alors ramenée aux résolutions successives des systèmes échelonnés et . V.3. La méthode de Gauss
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Diagonalisation, trigonalisation.
Diagonalisation de matrices.
· Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de
la matrice et en déterminer des bases.· Sauf théorème préliminaire (polynôme annulateur scindé à racines simples, matrice symétrique
réelle, etc...), la diagonalisabilité d"une matrice en pratique s"obtient après le calcul des valeurs
propres et des sous-espaces propres et le constat fait sur la dimension de ces espaces.· Pour un confort de vocabulaire (et de compréhension), il peut être utile d"avoir une vision
vectorielle du problème et d"évoquer l"endomorphisme canoniquement associé à la matrice (dans :E = n, ou n suivant le cas).
Dans les exemples ci-dessous, la matrice sera notéeA et l"endomorphisme canoniquement
associé u. exemple 1 : diagonaliser : 9 99200011011
A Les valeurs propres de A sont données par son polynôme caractéristiqueAc, qui vaut :
2)2.()(-=xxxAc.
Donc :
==)()(ASpuSp { 2,0 }, avec 2 valeur propre double.Puis :
9 999 99
011
0VectAE, et :
9 999 99
9 99
100
011
2VectAE, et A est diagonalisable.
· diagonalisation vectorielle :
Dans la base :
B = (321,,eee), de 3, avec : )0,1,1(1-=e, )0,1,1(2=e, )1,0,0(3=e, la matrice représentative de u est diagonale et vaut : matB))) 9 99200020000
)(Du : u est aussi diagonalisable.Si on note :
9 99100011011
P, alors la formule de changement de base donne : PAPD..1-=.On a donc bien diagonalisé
A.Remarque :
P est ici clairement une matrice de passage, les bases utilisées (et l"espace de référence 3) étant
bien identifiées.· diagonalisation matricielle directe :
On pose :
9 99100011011
P, et : PAPD..
2000200001-=
9 99PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 2 -
P peut ici être interprétée comme la matrice de passage de la base canonique de M3,1(), à la
base 9 999 99
9 99
9 99
100
011 011
Remarques :
la nouvelle base de 3 (ou la matrice P) permettant de diagonaliser u n"est pas unique.· la similarité des objets manipulés fait qu"on identifiera couramment les espaces M3,1() avec
3, tout comme les deux bases évoquées au dessus, et enfin A et u.
Trigonalisation de matrices.
· Pour trigonaliser une matrice, il n"y a pas de méthode globale à connaître a priori.· La trigonalisabilité d"une matrice s"obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le
constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice.· Si la matrice est considérée comme matrice complexe, elle est donc toujours trigonalisable.
· On verra les différentes situations pouvant se présenter pour une matrice 3´3. Dans les exemples ci-dessous, on continuera à noterA la matrice étudiée et u l"endomorphisme
canoniquement associé à A (en pratique, il peut être nécessaire de préciser s"il s"agit de l"endomorphisme de :E = n, ou de n canoniquement associé à A).
exemple 2 : A a deux valeurs propres, l"une simple, l"autre double et A n"est pas diagonalisable.Trigonaliser la matrice :
9 99023021113
AOn trouve (et on factorise)
Ac en ajoutant toutes les colonnes à la première :2)2).(1()(--=xxxAc.
Les espaces propres de
A sont :
9 999 99
111
1VectAE, et :
9 999 99
-=110
2VectAE.
A n"est pas diagonalisable.
· Trigonalisation " standard » de A :
Si on choisit :
)1,1,1(1=e, )1,1,0(2-=e, et 3e formant avec les deux premiers une base de 3, alors l"endomorphisme u a pour matrice dans cette nouvelle base : 9 99200*20*01
"A, puisque la trace de "A étant égale à celle de A, elle vaut 5.On choisit par exemple : )0,1,1(
3=e, de telle sorte que : B = (321,,eee) soit une base de 3, et :
233.2)1,1,2()(eeeu-==.
PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 3 -On en déduit que : matBTu=
9 99200120001
, et avec : 9 99011111101
P , on a : PAPT..1-=. · Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux premiers vecteurs (propres deA) dans cet ordre, et il est possible
de trouver3"e dans 3 de telle sorte que :
B" = (321",,eee), soit une base de 3, et : matB"))) 9 99200120001
)(uLe vecteur : ),,("
3zyxe=, s"obtient en résolvant : 323".2)"(eeeu+=, soit en traduction
matricielle dans la base canonique, en résolvant le système : 9 999 99
9 99
1 10 .2. zyx z yx A
On trouve alors : 1,1
-=+-=zyx, ce qui laisse encore le choix.On peut proposer alors : )0,1,1("
3--=e, la famille : B" = (321",,eee), est bien libre et :
matB""200120001
)(Tu= 9 99, soit avec : 9 99
011111101
"P , alors : "".."1TPAP=-. exemple 3 : A a une valeur propre triple, et un espace propre associé de dimension 2.Trigonaliser la matrice :
9 99210100001
AEn développant, on trouve :
3)1()(-=xxAc, puis on détermine l"espace propre associé à cette
valeur propre triple et on trouve : 9 999 99
9 99
110
001
1VectAE.
A n"est bien sûr pas diagonalisable car elle aurait été semblable à 3I : 313..IPIPA==-, donc
égale à
3I, ce qui n"est pas le cas.
· Trigonalisation " standard » de
A : On choisit de même une base de vecteurs propres : )0,0,1(1=e, et : )1,1,0(2-=e, et un troisième vecteur de3, pour qu"avec les deux premiers, on obtienne une base : B = (321,,eee), de 3, et
on peut prendre : )1,1,0( 3=e.Alors :
323.2)3,1,0()(eeeu+=-=, ce qui conduit à poser :
9 99010110001
P, et :
9 99100210001
T, et on a l"égalité : TPAP= -"..1.On peut remarquer que : 0)(
23=-IT, donc qu"également : 0)(2
3=-IA, et : 0)(2=-Eidu.
· Trigonalisation de
A en réduite de Jordan :
On peut trouver une base :
B" = (321",","eee), de 3 telle que : matB")))
9 99100110001
")(Tu. PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 4 - Ce résultat est un théorème, mais on va le vérifier en pratique ci-dessous.Pour obtenir
B", on commence par chercher 3"e, en remarquant qu"on doit avoir :323"")"(eeeu+=, soit : 23")")((eeiduE=- Î )(1uE, car : 0)"()()")((32
2=-=-eidueiduEE,
1"e Î )(1uE, avec (21","ee) libre.
On choisit pour ce faire
3"e hors de )(1uE, par exemple : )0,1,0("3=e.
On pose alors :
En effet ici, on a bien :
)0,0,0()1,1,0()0,1,0()1,0,0("2¹-=-=e, et : 2"e Î )(1uE.On complète alors
2"e avec 1"e en une base de )(1uE, par exemple : )0,0,1("1=e.
On peut montrer dans le cas général (ou vérifier à la main) que la famille :B" = (321",","eee),
est toujours libre donc forme une base de3, et par construction : matB")))
9 99100110001
")(TuSi enfin, on pose :
9 99010110001
"P , on a bien finalement : "".."1TPAP=-. exemple 4 : A a une valeur propre triple, et un espace propre associé de dimension 1.Trigonaliser la matrice :
9 99211111110
AOn trouve (et on factorise
Ac) en ajoutant à la première colonne la troisième : 3)1()(-=xxAc.Le seul espace propre de
A vaut :
9 999 99
101
1VectAE, et A n"est pas diagonalisable, ce qui était
encore prévisible pour la même raison que dans l"exemple précédent. On peut alors procéder par analyse-synthèse pour trigonaliserA, mais le plus simple est
d"appliquer systématiquement la technique qui suit.· Trigonalisation en réduite de Jordan :
On cherche :
B" = (321",","eee), base de 3, telle que :
2"e tel que : 323"")"(eeeu+=, soit : 332")"("eeue-=,
1"e tel que : 212"")"(eeeu+=, soit 221")"("eeue-=,
et on veut que :Eidu-.
On calcule donc ))ker((
2Eidu-, et pour cela :
9 99101000101
2 3IA.Puis : =-))ker((
2Eidu {(zyx,,) Î 3, zx=}.
On choisit ainsi par exemple : )0,0,1("
Eidu-.
On pose ensuite : )1,1,1()0,0,1()1,1,0(")"("
332---=---=-=eeue,
(on constate qu"on a bien :Enfin :
(on constate à nouveau qu"on a toujours :1"e Î )(1uE).
PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 5 - Ce dernier point était prévisible car : 0)"()()")((331=-=-eidueiduEE,
résultat garanti par le théorème de Cayley-Hamilton.La famille :
B" = (321",","eee), est alors une base de 3 (ce qu"on peut montrer dans le cas général ou constater à la main dans ce cas particulier), et on a : matN"Tu= 9 99100110011
En posant :
9 99011010111
P , on a alors : PAPT..1-=.Remarques :
la matrice P (ou la nouvelle base de 3) permettant de trigonaliser A n"est pas unique,· dans les deux derniers exemples, si la matrice A admet pour valeur propre triple la valeur a, la
matrice T semblable à A sera égale à celle proposée, mais en changeant ses coefficients diagonaux en a.Puissance kième de matrice.
Utilisation de la diagonalisabilité ou de la trigonalisabilité.SiA est diagonalisable.
Si A est diagonalisable, alors : $ P Î Gln(K), $ D Î Mn(K), diagonale, PAPD..1-=.Dans ce cas :
" k Î , 1..-=PDPAkk. exemple 5 : calculer kA, avec : 9 99110123031
AA est diagonalisable, et en notant :
9 99113520331
P , on a : 9 99400030001
1DPAP.
D"où on en déduit :
" k Î , 11. )4(00030001 9 99==PPPDPA kkkk soit : " k Î , 9 99999
=kkkkkkkkkkkkkkkkkk k A )4.(3513.141
109)4.(713.71)4.(3533.143
103)4.(733.73)4.(3593.149
101Si
A est trigonalisable.
Si A est trigonalisable, alors : $ P Î Gln(K), $ T Î Mn(K), triangulaire supérieure, telles que :
PAPT..1-=.
PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 6 -Dans ce cas : " k Î , 1..-=PTPAkk.
Il est plus intéressant d"utiliser une réduite de Jordan. reprise de l"exemple 2 : calculer kA, avec : 9 99023021113
AA est trigonalisable et en notant :
9 99011111101
P , on a : 9 99200120001
1TPAP.
Puis : "
k Î , 1..-=PTPAkk.Pour calculer
kT, on peut procéder par récurrence, ou utiliser le binôme de Newton.En effet,
T s"écrit : NDT+=, avec :
9 99200020001
D , et : 9 99000100000
N D est diagonale, N nilpotente ( 02=N) et D et N commutent (c"est toujours le cas avec une réduite de Jordan).Donc :
" k Î , 9 9999
kkkkkk iiikk kNDkDNDikT
2002.20001
....11 0.On en déduit que :
9 99kkkkkkkA. reprise de l"exemple 4 : calculer kA, avec : 9 99
211111110
AA est trigonalisable, et en notant :
9 99011010111
P , on a : TPAP= 9 99100110011
1.On peut encore écrire : NDT
+=, avec : nID= 9 99100010001
, et : 9 99000100010
N D est évidemment diagonale, N nilpotente ( 03=N), et D et N commutent, et comme au-dessus : " k Î 9 99992)1.(12)1.(12)1.(
2)1.(1
)..2)1.(..(. 12 31kkkkkkkkkkkk
PNkkNkIPPTPA
kk. Utilisation d"un polynôme annulateur (polynôme caractéristique ou minimal). Cas 1 : les racines du polynôme annulateur dont on dispose sont simples (A est diagonalisable). PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 7 - reprise de l"exemple 5 :Pour :
9 99110123031
A , on dispose du polynôme caractéristique comme polynôme annulateur, soit : )4).(3).(1()(+--=xxxxAc.Pour :
k Î , $ (kkRQ, ) Î [X]2, kkAkRQX+=.c, avec : kkkkcXbXaR++=..2, et on détermine ces valeurs à l"aide des racines (simples) de Ac : kkkkcba++=1.1.12, kkkkcba++=3.3.32, kkkkcba+-+-=-)4.()4.()4(2, ce qui donne, après résolution du système :quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] trigonometry worksheet 4.1 chapter 4 answers
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