Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Diagonalisation trigonalisation. Diagonalisation de matrices. • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres
Trigonalisation des matrices carrées
Toute matrice trigonalisable de Mn(K) admet toujours n valeurs propres distincres ou confondues. Une grande partie de ce chapitre est destinée `a étudier la
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Nous présentons deux applications immédiates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :.
Trigonalisation dune matrice 3x3 On note Soit la matrice : 1
Trigonalisation d'une matrice 3x3. On note. Soit la matrice : 1) Déterminer le polynôme caractéristique de et en déduire qu'il est scindé avec une racine
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Nous allons montrer que toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
x1 +x2 +3x3 = b1. 2x1 +x3. = b2 x1 +x2 +2x3 = b3. Page 55. CHAPITRE 2. LES Exercice 14.— Diagonaliser ou trigonaliser dans Mn(C) en donnant la matrice de pas ...
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
Calcul Matriciel et Applications
2.6 Trigonalisation de matrices . = −3I − 3A − A2. En appliquant directement la formule on a det(A) = −1 χA(x) = −(x3 + 3x3 + 3x + 1)
Sommaire
Diagonalisation délicate d'une matrice 3x3 Trigonalisation « facile » d'une matrice .............................................................. 41.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Diagonalisation trigonalisation. Diagonalisation de matrices. • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces
Trigonalisation des matrices carrées
Toute matrice trigonalisable de Mn(K) admet toujours n valeurs propres distincres ou confondues. Une grande partie de ce chapitre est destinée `a étudier la
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Nous présentons deux applications immédiates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure il suffit de compléter la famille.
TD 4. Diagonalisation et trigonalisation
Écrire la matrice A de chacun de ces endomorphismes dans la base B. e. f5(x) = ?(4x1 + 2x3)e1 + x2e2 + (5x1 + x2 + 3x3)e3.
R´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES
2.1 Matrices diagonales – endomorphismes diagonalisables 3.3 Méthode de trigonalisation – Exemple ... x2(t)=4x1(t) ? 2x2(t) ? 3x3(t) ? 3x4(t).
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire. 23. 1. Les espaces vectoriels Trigonalisation des matrices . ... x1 +x2 +3x3 = b1.
fic00056.pdf
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans
Triangularisation jordanisation
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
Walanta
Diagonalisation et trigonalisation. Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres vecteurs propres. ... matrice 3x3 (règle de Sarrus).
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Fonctions de matrice - LibreOffice Help
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure Exercice 11 : [énoncé] a) u admet une valeur propre ? et le sous-espace propre associé est stable par v Cela assure que u et v ont un vecteur propre en commun e 1 On complète celui-ci en une base (e 1e 2 en) Les matrices de u et v
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1
La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation On va donc en donner les grandes lignes Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence On suppose donc que l’on sait d´emontrer le th´eor`eme a l’ordre n ? 1 Puis on cherche une valeur propre ? et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´e (ou ce qui est
Comment calculer une matrice de 3x3?
Sélectionnez une plage de 3x3 cellules sur une autre zone de la feuille de calcul, saisissez la formule =10*A1:C3 et confirmez cette saisie en utilisant la combinaison de touches Ctrl+Maj+Entrée. Le résultat est une matrice de 3x3 dans laquelle les valeurs individuelles de la plage de cellules (A1:C3) sont multipliées par un facteur de 10.
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment résoudre une matrice triangulaire?
La méthode directe LU Pour résoudre , on cherche à écrire où ? L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale, ? U est une matrice triangulaire supérieure. La résolution de est alors ramenée aux résolutions successives des systèmes échelonnés et . V.3. La méthode de Gauss
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE
L2 Mathematiques.
Mathematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
Cours Elisabeth REMM
Chapitre 3Trigonalisation des matrices carrees
1.Matrices trigonalisables
1.1.Matrices triangulaires.Denition 1.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite triangulaire superieure si elle est de la forme (1)T=0 B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej < i.Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire superieure. Denition 2.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC. Elle est dite triangulaire inferieure si elle est de la forme T=0 B BBB@a1;10 00 0
a2;1a2;200 0..................
a n1;1an1;2an1;3an1;n10 a n;1an;2an;3an;n1an;n1 C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej > i.12 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Pour simplier le langage, lorsque nous parlerons de matrice triangulaire, il s'agira de ma-trices triangulaires superieures. L'autre cas sera donc toujours precise.Proposition 1.Toute matrice triangulaire deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres
distincres ou confondues. SiTest la matrice triangulaire (1), ses valeurs propres sont k=ak;k,k= 1;n:Demonstration.En eet, le polyn^ome caracteristique de (1) est det(TXIn) = det0 B BBB@a1;1X a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2X a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1X an1;n
0 0 00an;nX1
C CCCAEn developpant ce determinant, on obtient
det(TXIn) = (a1;1X)(a2;2X)(an1;n1X)(an;nX): Les racines de ce polyn^omes sont donca1;1;a2;2;;an;n:1.2.Matrices trigonalisables.Denition 3.SoitM2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire, c'est-a-dire, s'il existe une matrice inversiblePtelle queT=P1MP=0
B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
CCCCAOn en deduit
Proposition 2.Toute matrice trigonalisable deMn(K)admet toujoursnvaleurs propresdistincres ou confondues.Une grande partie de ce chapitre est destinee a etudier la reciproque de cette proposition.
Elisabeth Remm 3
2.Trigonalisation des matrices carrees complexes
Le resultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:Theoreme 1.Toute matrice complexeM2 Mn(C)est trigonalisable.Demonstration.Demontrons par recurrence surn?1?
(1) Toute matrice carree complexe d'ordre 1 s"ecritM= (a1;1d. Elle est donc trigonalisble. (2) Soitn1 xe. Supposons que toute matrice complexe d?ordren?1 soit trigonalis- able. Considerons une matriceM2 Mnn+ 1(C). Nous avons vu, dans le cahpitre precedent, que toute matrice complexe d'ordrepadmettaitpvaleurs propres distinctes ou confondues. AinsiMadmetn+ 1 valeurs propres disctinctes ou pas. Soitune valeur propre deM. Il existe un vecteur propre non nulv6= 0 attache a ?: Mv=v: Commevest non nul, nous pouvons completer la famillefvgen une baseB=fv= e1;e2;;en+1gdeCn+1. SoitPla matrice inversible obtenue en mettant en colonnes
les vecteursv=e1;e2;;en+1. CommeMv=v;la matrice semblable M1=P1MP
est de la forme0 BBBB@ a
1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0an1;2an1;3an1;n1an1;n
0an;2an;3an;n1an;n1
C CCCA SoitNla matrice complexe d'ordrendenie a partir deM1: N=0 B B@a2;2a2;3a2;n1a2;n...............
a n1;2an1;3an1;n1an1;n a n;2an;3an;n1an;n1 C CA D'apres l'hypothese de recurrence, il existe une baseB1=fv1;;vngdeCntelle que siQest la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursvi, la matrice d'ordren N1=Q1NQ
soit triangulaire (superieure). Considerons la matriceP1d'ordren+ 1 denie par P1=1 0nt0nQ
ou 0 n= (0;0;;0), alors M2=P11M1P1= B
t0nN1 avecB= (b1;;b1;3;;b1;n+1). On en deduit queM2est une matrice triangulaire. (3) La propriete est donc vraie a l'ordren+ 1. Elle est vraie quel que soitn1.4 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Exemples
(1) Soit la matrice M=0 @13 4 47 867 71
A
Son polyn^ome caracteristique est
CM(X) =(X+ 1)2(X3):
Les valeurs propres sont1= 3, racine simple et2=1, racine double. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;2;2). L'espace propre associe a la valeur double2est de dimension 1 et engendre par le vecteur v2= (1;2;1). La matrice n'est donc pas diagonalisable. Pour trigonaliser la matrice,
il sut de completer la famille librefv1;v2gen une base deC3. Soitv3= (1;0;0) (ce choix est loin d'^etre unique). La famillefv1;v2;v3gest bien une base. La matrice de changement de base est P=0 @1 1 1 2 2 02 1 01
A qui est de determinant2 donc non nul, ce qui montre bien que la famillefv1;v2;v3g est une base. La matrice semblableT=P1MPs'ecrit T=0 @3 0a 01b 0 011 A (les valeurs propres sont sur la diagonale). On peut calculer les parametresaetbsoit en calculantP1MP, soit plus simplement, en ecrivant que0 @13 4 47 867 71
A0 @1 0 01 A =a0 @1 2 21
A +b0 @1 2 11 A 0 @1 0 01 A
On trouve
a= 4; b=2:AinsiMest semblable a la matrice triangulaire
T=0 @3 0 4 012 0 011 A (2) Soit la matrice M=0 @21 2156 11
146 111
ASon polyn^ome caracteristique est
CM(X) =(X1)3:
Elisabeth Remm 5
Les valeurs propres sont1= 1, racine triple. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;1;2). La matrice n'est donc pas diago- nalisable. Pour trigonaliser la matrice, nous n'avons guere de methode ecace. On en revient donc a la denition. On commence a chercher un vecteurv2= (x;y;z) tel que M:0 @x y z1 A =a0 @1 1 21A +0 @x y z1 A Ce systeme lineaire est indetermine. On prenda= 1 (aest necessairement non nul).
On a alors le systeme8<
:3xy+ 2z= 115x7y+ 11z= 1
14x6y+ 10z= 2
qui admet comme solution (x;x+ 3;2x+ 2):. On prendrav2= (0;3;2):Completons la famillefv1;v2gen une basefv1;v2;v3g. SiPest la matrice de changement de bases associee, alors la matrice semblableT=P1MPest de la forme T=0 @1 1b 0 1c 0 0d1 A Maisdest valeur propre deTdonc deMce qui impliqued= 1. Il reste donc a calculer les constantesbetc. Choisissonsv3= (1;0;0). Alors M:0 @1 0 01 A =0 @2 15 141A =b0 @1 1 21
A +c0 @0 3 21
A +0 @1 0 01 A et doncb=3,c=4. AinsiMest semblable a la matrice T=0 @1 13 0 14
0 0 11
A la matrice de passage etant P=0 @1 0 1 1 3 02 2 01
A3.Cas des matrices carrees reelles
3.1.Critere de trigonalisation des matrices carrees reeles.
Si toute matrice carree complexe est trigonalisable, ceci n'est pas vrai pour les matrices reelles. Ceci signie qu'il n'existe pas toujours une matrice triangulaire reelle semblable a la matrice reele donnee, la matrice de passage devant ^etre aussi reelle. Prenons par exemple la matrice M=0 1 1 06 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Les valeurs propres sont complexes conjuguees1=i;2=i:. Comme les valeurs propres sont les elements de la diagonale de la matrice triangulaire semblable, il est donc impossible de trigonaliserMdansR. Notons que l'on peut trigonaliserMdansC, mais dans ce cas,TetP, la matrice de passage, sont complexes. `Theoreme 2.Toute matrice reelleM2 Mn(R)admettantnvaleurs propres reelles
distinctes ou confondues est trigonalisable.` Demonstration.Il sut de reprendre mot pour mot la demonstration donnee dans le cas complexe. La seule dierence etant au depart. Dans le cas complexe on est assure de l'existence d'une valeur propre. Dans le cas reel, ceci decoule de l'hypothese choisie. Exemples.Les exemples decrits dans le paragraphe precedent sont en fait des exemples de trigonalisation dans le cas reel.3.2.Classication des matrices reelles d'ordre2.
Les resultats precedents, appliques aux matrices reeles d'ordre 2, montrent que toute matrice reelle carree d'ordre 2 est semblable a (1) Une matrice diagonale A 1=10 02 avec1;22R, avec eventuellement1=2. (2) Une matrice triangulaire A 2=11 01 avec12R. (3) Une matice du type A 3=a b b a une telle matrice n'admet pas de valeurs propres.4.Endomorphismes trigonalisables
4.1.Endomorphismes triangulaires.
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deE. Supposons qu'il existe une baseB=fe1;e2;;engdeEpar rapport a laquelle la matriceMdefsoit triangulaire: M=0 B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
C CCCA:Elisabeth Remm 7
Ceci signie que
8>>>><
>>>:f(e1) =a1;1e1; f(e2) =a1;2e1+a2;2e2; f(en1) =a1;n1e1+a2;n1e2++an1;n1en1; f(en) =a1;ne1+a2;ne2++an1;nen1+an;nen: SoitFkle sous-espace vectoriel deEayantfe1;e2;;ekgcomme base. Tout vecteurvkdeFk s'ecrit donc de maniere uniquevk=x1e1=+xkek:Les relations precedentes montrent que les transformeesf(ei),i= 1;;ksont des combinaisons lineaires des vecteursfe1;e2;;ekg et appartiennet donc au sous-espaceFk. Ceci signie que chacun des sous-espacesFkest invariant parf. En resume les ous-espaces vectorielsF1;F2;;Fnverient: (1)F1F2 Fn1Fn=E, (2) dimFk=k,k= 1;;n (3)f(Fk)Fk, c'est-a-dire chacun des sous-espacesFkest un sous-espace vectoriel deE invariant parf. Dans ce cas, on dit que la famillefF1;F2;;Fngde sous-espaces vectoriels deEest un drapeau deE.4.2.Cas complexes.
SiEest un espace vectoriel complexe de dimensionn, tout endomorphisme admetnvaleurs propres disctintes ou confondues. SiMest la matrice defrelative a une base quelconque donnee, alorsMest trigonalisable. On dira que tout endomorphisme sur un espace vectoriel complexe est trigonalisable.4.3.Cas reels.
SoientEest un espace vectoriel rel de dimensionnetfun endomorphisme deE. Sif admetnvaleurs propres distinctes ou confondues, alors le matriceMdefrelative a une base quelconque donnee, alorsMest trigonalisable. Dans ce cas, on dira quefest trigonalisable.8 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
EXERCICES
Exercice 1.
(1) Trigonaliser (dansRouCles matrices suivantes M 1=0 @1 24 01 6 01 41 A ; M2=0 @3 0 8 31 62 051 A (2) Montrer que la matriceM2est semblable a la matrice triangulaireTou T=0 @1 0 0 01 1 0 011 A
Exercice 2.
(1) Trigonaliser la matrice A=31 1 1 (2) En deduiraAppour toutp >0. Exercice 3.Montrer que la matriceAest semblable a la matrice triangulaireTou A=0 BB@3 1 0 0
41 0 0
7 1 2 1
1761 01
CCA; T=0
BB@1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 11
C CA:Exercice 4.Extrait sujet CAPES Maths 2014
Notations et denitions.Dans tout le probleme,ndesigne un entier naturel superieur ou egal a 1. On designe parMn(C) (respectivementMn(R),Mn(Z)) l?ensemble des matrices carrees anlignes etncolonnes dont les coecients appartiennent aC(respectivement aR, aZ). La matrice identite de taillenest noteeIn. SoitA2 Mn(C). L?ensemble des valeurs propres de Aest appele spectre deAet noteSp(A). On dit queAest d?ordre ni s'il existek2N, tel queAk=In. SiAest d'ordre ni, le plus petit entier strictement positifktel queAk=Inest appele ordre deAet noteo(A).Partie A : preliminaires
(1) Cette question consiste en des rappels de theoremes du cours. (a) SoitA2 Mn(R). On suppose qu'il existeP2R[X];P6= 0 tel queP(A) = 0: Donner une condition susante surPpour queAsoit trigonalisable dansMn(R). ii. Donner une condition susante surPpour queAsoit diagonalisable dans M n(R).(On pourra prendreP=CM(X)) (b) SoitA2 Mn(C). On suppose qu?il existeP2C[X];P6= 0 tel queP(A) = 0:Que deviennent les conditions precedentes lorsque l'on s'interesse a la trigonalisation ou a la diagonalisation deAdansMn(C) ?Elisabeth Remm 9
(2) SoitB2 Mn(C), d'ordre ni. On poseo(B) =b. (a) Demontrer queBest inversible. (b) Soitk2Z. Demontrer queBk=Insi et seulement sibdivisek. (c) Demontrer que les valeurs propres deBsont des racinesb-iemes de l?unite. (d) Demontrer queBest diagonalisable dansMn(C). (3) SoitC2 Mn(C). Ses valeurs propres sont notees1;;n. On suppose queCest diagonalisable et que pour tout entieritel que 1in,iest une racineni-ieme de l?unite pour un certain entierni. Pour tout entieritel que 1in, on notekile plus petit entier strictement positif tel quekii= 1: (a) Demontrer queCest d?ordre ni et que son ordre divise le PPCM dek1;;kn. (b) Demontrer queo(C) est le PPCM dek1;;kn.Partie B : matrices d?ordre ni a coecients reels
Dans cette partie, on considere une matriceA2 M3(R) d'ordre ni. Le but est de demontrer que cette matrice est diagonalisable dansM3(C) et de determiner le spectre deAdansC. (1) Demontrer que si toutes les valeurs propres deAdansCsont reelles, alorsSp(A) f1;1g. (2) On suppose que 1 est la seule valeur propre deAdansC. (a) Justier qu'il existeP2 M3(R), inversible, eta;b;celements deRtels que P 1AP=0 @1a b 0 1c0 0 11
A (b) On poseB=P1AP. Demontrer queBest d'ordre ni. (c) Demontrer par recurrence que pour toutk2N B k=0 @1kak(k1)2 ac+kb 0 1kc0 0 11
A (d) En deduire queA=I3. (3) Enoncer sans demonstration un resultat semblable lorsque1 est la seule valeur propre deAdansC. (4) On suppose que1 est valeur propre simple deAet que 1 est valeur propre double de A. (a) 4.1. Justier qu'il existeQ2 M3(R), inversible, eta;b;celements deRtels que : Q 1AQ=0 @1a b 0 1c0 0 11
A (b) On poseC=Q1AQ. Demontrer qu'il existe trois suites de nombres reels (k)k2N, (k)k2N, (quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] trigonometry worksheet 4.1 chapter 4 answers
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