CONVEXITÉ
CONVEXITÉ. I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E. Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
2 ¢ 0 • Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves. I.2
ci-dessus s'applique aussi aux fonctions concaves. II.4. Caractérisation 3. Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. ƒ est convexe sur
LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède
1 Fonction convexe fonction concave 2 Lien avec la dérivée
Une fonction dérivable sur un intervalle I est dite : • convexe sur cet intervalle si sa courbe représentative est entièrement.
Cours 15 : 18/11/2013 Chapitre 21 : Fonctions convexes ou
18 nov. 2013 Définitions pour les fonctions de classe C1. 2. Critère pour les fonctions de classe C2. 3. Propriétés des fonctions convexes ou concaves. 4.
Fonctions convexes concaves
http://florianhechner.byethost6.com/Tele/ECE/FicheAM06-Convexite.pdf
Chapitre1 : Fonctions convexes
On dit que f est concave lorsque ´f est convexe. Ainsi toutes les propriétés des fonctions convexes s'appliquent immédiatement aux fonctions concaves
229. Fonctions monotones et fonctions convexes. Exemples et
17 déc. 2009 Toute application affine de E dans R est convexe et concave sur E. x ... Les lignes de niveaux d'une fonction convexe sont des ensembles ...
CONVEXITÉ
La fonction f est concave sur I si sur l'intervalle I
Modèle mathématique.
OBJECTIF 1 : Reconnaître graphiquement des fonctions convexes concaves - Reconnaître La fonction h n'est ni convexe ni concave sur I
CONVEXITÉ - maths et tiques
Définitions : Soit une fonction ! définie sur un intervalle " - La fonction ! est convexe sur " si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses cordes - La fonction ! est concave sur " si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses cordes Fonction convexe Fonction concave
CONVEXITÉ - maths et tiques
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes La fonction f est concave sur I si sur l'intervalle I sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave Propriétés :
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - univ-toulousefr
Ainsi une fonction est convexe si et seulement si la courbe C f est située en-dessous de n’importe laquelle de ses cordes entre les deux extrémités de la corde en question Exercice 1 Une fonction f : I!R est convexe si et seulement si pour tout n 2 pour tout choix de points x 1;:::;x n 2Iet de coef?cients 1;:::; n 2R tels que i 0
1 Fonction convexe fonction concave - Free
Si f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I: • si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe; • si la dérivée seconde est négative alors la fonction f est concave
FONCTIONS CONVEXES - Université de Sherbrooke
Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe Par contre s’il est vrai qu’une fonction convexe possède des sections convexes (par convention l’ensemble vide est convexe) il existe des fonctions non convexes dont toutes les sections sont convexes
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— introduire brièvement la notion de partie convexe d’un espace vectoriel réel; — étudier les fonctions convexes d’une variable réelle Le cours gagne à être illustré par de nombreuses ?gures La notion de barycentre est introduite exclusivement en vue de l’étude de la convexité CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit. f''(x)?0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit. f''(x)?0 pour tout x de I.
Quelle est la différence entre convexité et concavité ?
1. Notions de convexité et de concavité Une fonction est convexe si sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes. Une fonction est concave si sa courbe représentative est située en-dessous de ses tangentes.
Quelle est la différence entre une fonction convexe et une fonction non convexe ?
On a la caractérisation fondamentale suivante : Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe. Par contre, s’il est vrai qu’une fonction convexe possède des sections convexes (par convention, l’ensemble vide est convexe), il existe des fonctions non convexes dont toutes les sections sont convexes.
Quelle est la différence entre concave et convexe ?
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l’on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe. Si l’on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus petit.
CONVEXITÉ
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/gge4xdn6cFAPartie 1 : Dérivée seconde
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée ′ est dérivable
sur .On appelle fonction dérivée seconde de sur la dérivée de ′ et on note :
Méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonctionVidéo à venir
Calculer la dérivée seconde de chacune des fonctions , et ℎ définies par :
=3 -5 +1 =cos(2)Correction
=9 -10 )′=18-10 ()=1× (1+)1+
×1=
(2+) =-2sin(2) =-2×2cos2
=-4cos(2)Partie 2 : Fonction convexe et fonction concave
1) Définitions avec les cordes
Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe. 2 Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses cordes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses cordes.Fonction convexe Fonction concave
2) Définitions avec les tangentes
Définitions : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses tangentes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses tangentes.Fonction convexe Fonction concave
Méthode : Reconnaître graphiquement la convexitéVidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E
Reconnaître graphiquement la convexité des deux fonctions représentées sur l'intervalle [-3;5]. 3 a) b)Correction
a) La fonction est concave. Sa courbe est en effet entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Remarque : On aurait pu obtenir ses résultats en utilisant les cordes. 43) Propriétés
Propriétés :
- La fonction carré ⟼ est convexe sur ℝ. - La fonction cube ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction inverse ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction racine carrée ⟼ est concave sur0;+∞
Propriété :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .- Dire que la fonction est convexe sur , revient à dire que sa dérivée ′ est croissante sur
, soit : ′′()≥0.- Dire que la fonction est concave sur , revient à dire que sa dérivée ′ est décroissante
Remarque : Dans la pratique, pour étudier la convexité d'une fonction, on détermine le signe
de la dérivée seconde. Méthode : Étudier la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE
Soit la fonction définie sur ℝ par 1 3 -9 +4.Étudier la convexité de la fonction .
Correction
-18. =2-18On a :
=0pour =9.Pour tout ≥9, ′′
≥0.Donc est concave sur
-∞;9 et est convexe sur9;+∞
Partie 3 : Point d'inflexion
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .Un point d'inflexion est un point où la courbe
traverse sa tangente. 5 Propriété : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.Exemple :
On considère la fonction cube ⟼La tangente en 0 est l'axe des abscisses.
Pour ≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. L'origine est donc le point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. La tangente à la courbe traverse donc la courbe en ce point. Méthode : Reconnaître graphiquement un point d'inflexionVidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo
Déterminer graphiquement le point d'inflexion des fonctions représentées ci-dessous. a) b) 6Correction
a) La fonction est d'abord concave puis convexe. Le point de coordonnées (0 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Le point de coordonnées (2 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. Méthode : Étudier la convexité pour résoudre un problèmeVidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k
Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.Le coût de fabrication (en milliers d'euros) de milliers de clés produites s'exprime par :
=0,05 -1,05 +8+4, définie sur l'intervalle [0 ; 10].1) À l'aide de la calculatrice, conjecturer la convexité de la fonction .
En déduire si la courbe possède un point d'inflexion.2) Démontrer ces résultats.
3) Interpréter les résultats obtenus au regard du contexte de l'exercice.
Correction
1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle
[7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour =7. 72)
=0,05 -1,05 +8+4 =0,15 -2,1+8 =0,3-2,1Or, 0,3-2,1=0 pour =7.
On peut ainsi résumer les variations de ′ et la convexité de dans le tableau suivant :
7 =25,7 Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe.3) Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication
ralentie. Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication s'accélère.Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère.
Méthode : Étudier une fonction
Vidéo https://youtu.be/Q4cqUJrTPZo
Soit la fonction définie sur ℝ par a) Calculer la dérivée de la fonction . b) Dresser le tableau de variations de la fonction . c) Tracer la courbe représentative de la fonction en s'aidant de la calculatrice. d) Déterminer une valeur approchée de l'abscisse du point d'inflexion à la courbe. e) Démontrer que " =L 4 -1M f) En déduire l'abscisse du point d'inflexion.Correction
a) +×L- 1 2M
=L1- 2M
0 7 10 - O + Convexité de concave convexe 8 b) Comme >0, () est du signe de 1- 2 est donc croissante sur l'intervalle -∞;2 et décroissante sur l'intervalle2;+∞
On dresse le tableau de variations :
2 =2 =2 2 c) d) Le point d'inflexion semble avoir pour abscisse une valeur proche de 4. e) " 1 2 +L- 1 2 ML1- 2M
1 2 1 2 4 4 =L 4 -1M f) Comme >0, " est du signe de -1.Donc "
≥0 pour -1≥0 soit ≥4.Ainsi ' est croissante sur
4;+∞
et donc f est convexe sur cet intervalle. ' est décroissante sur -∞;4 et donc f est concave sur cet intervalle. On en déduit que la courbe représentative de f possède un point d'inflexion d'abscisse 4. -∞ 2 +∞ + O -quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] une histoire d'amour triste vrai
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