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ProcessusdeLévyenFinance:
Directeurdeth`ese:M.RamaCont
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Introduction:processusdeLévyet
modèlesexponentielle-Lévy.PeterTankov
Modèlesavecsautsenfinance
Meilleuregestionderisques
grâceàlaprésenceexplicite desautsdanslemodèle.L'existencedesoptionsest
justifiéeparl'incomplétude dumarché.17/09/1992
2/10/1992
700071007200730074007500
Taux de change DM/USD
PeterTankov
Modèlesavecsautsenfinance
Meilleuregestionderisques
grâceàlaprésenceexplicite desautsdanslemodèle.L'existencedesoptionsest
justifiéeparl'incomplétude dumarché.17/09/1992
2/10/1992
700071007200730074007500
Taux de change DM/USD
PeterTankov
ProcessusdeLévy:définitions
ProcessusdeLévy:
P rocessusaux A ccroissements I ndépendantset S tationnairesExemples:
X t t+W t N t X i=1 Y i N t :Poissond'intensité Y i :IIDavecdistribution f(:) =f:lamesuredeLévy. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1PeterTankov
ProcessusdeLévy:définitions
ProcessusdeLévy:
P rocessusaux A ccroissements I ndépendantset S tationnairesExemples:
mouvementBrownien,processusdePoissonIntensitédesautsfinie:
X t t+W t N t X i=1 Y i N t :Poissond'intensité Y i :IIDavecdistribution f(:) =f:lamesuredeLévy. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1PeterTankov
ProcessusdeLévy:définitions
Intensitédesautsinfinie:
X t t+W t +Z t Z t :auneinfinitédesauts danschaqueintervalle :mesurepositivesurR d telleque Z ?d 1^jxj 2 (dx)<1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8-0.6-0.4-0.2 00.20.40.60.8
PeterTankov
Modèlesexponentielle-Lévy
Soit(X
t )unprocessusdeLévysur( ;F;P). S t =S 0 e rt+X tAbsenced'opportunitéd'arbitrage
m 9QP:e X t estuneQ-martingale. décroissantes.PeterTankov
Modèlesexponentielle-Lévy
Soit(X
t )unprocessusdeLévysur( ;F;P). S t =S 0 e rt+X tAbsenced'opportunitéd'arbitrage
m 9QP:e X t estuneQ-martingale. décroissantes.PeterTankov
Modèlesexp-Lévyparamétriques
ModèledeMerton(1976):
>0;(x)= p 2e (x)2 22Variancegamma(Madan,Milne(1991)):
=0;(x)=Ae x x1 x>0 +Ae jxj jxj1 x<0PeterTankov
Contenudelathèse
d'options,théorieLévymultidimensionnels
5.ApplicationsdecopulesdeLévy
PeterTankov
Contenudelathèse
2. d'options,théorie 3.Lévymultidimensionnels
5.ApplicationsdecopulesdeLévy
PeterTankov
Contenudelathèse
d'options,théorie 4.Lévymultidimensionnels
5.ApplicationsdecopulesdeLévy
PeterTankov
Calibrationnon-paramétriquede
modèlesexponentielle-Lévyaux prixd'options,cotéessurun marchéfinancier.PeterTankov
Leproblèmedecalibration
Pricing:
souslaprobabilitérisque-neutre: C Q (T;K)=e rT E Q [(S 0 e rT+X t K)M=fprobabilitésrisque-neutresg
L=fQ:(X;Q)estunprocessusdeLévyg
Calibration:
étantdonnéslesprixdemarché
C M (T i ;K i );i2I,trouverQ2M\L: C M (T i ;K i )=C Q (T i ;K i )pourtouti2I:(E)PeterTankov
Calibrationexacteetapprochée
trouverQ LS M\L: 8Q 2Q LS ;kC M C Q k 2 w =inf Q2M\L kC M C Q k 2 w ;(LS) oùkC M C Q k 2 w :=X i2I w i (C M (T i ;K i )C Q (T i ;K i 2PeterTankov
Calibrationexacteetapprochée
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Calibrationparmoindrescarrés
unproblèmemalposéManqued'identifiabilité
Absencedesolution
quel'erreurdepricingn'estpasconvexePeterTankov
élémentsdeQ
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