[PDF] Polynômes Montrer que si A et





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Les cours proposés apportent un cadre rigoureux pour l'analyse et la résolution de problèmes. Semestre. S5. Département. Mathématiques Informatique. Équipes d' 



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Le principal objet d'étude du cours de Tronc Commun de Mathématiques est la notion de fonction. trouvée quand on remplace les polynômes par la constante 1.





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COURS. Professeur : Rachid BELEMOU. Lycée. : Oued Eddahab. Niveau : TCT - BIOF Le polynôme nul est le polynôme dont tous ses coefficients sont nuls. • Le ...



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pdf). On conclut grâce `a 6.2.5. 6.6. Parenth`ese sur les groupes quotients. — On pourra se reporter au chapitre 0 du polycopié du cours de tronc commun.



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Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange. Calcul effectif commun - on le stocke et on repart de cette nouvelle case. Sinon on va sur ...



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commun positif on l'appelle le plus petit commun multiple (ppcm) de a et de b et on le note ppcm(a



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Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des monômes de même degré sont égaux. Définition: Page 3. B. Factorisation d'un polynôme.



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Travail en autonomie. Objectifs : Apprentissage du cours préparation de simulations numériques simples avec Matlab. Méthodes : Exercices d'entraînement.



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communs de a et de b est fini et non vide il poss`ede donc un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b et noté pgcd(a



Lobjectif de ce module est de donner aux étudiants des

algèbre : la factorisation des polynômes la décomposition des fractions Pour le cas des modules du tronc commun



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INTRODUCTION`A LA THÉORIE DE GALOIS par Yves Laszlo

(Annexe D du cours de tronc commun) et donc xq = x pour tout x ? k. Comme le polynôme. Xq ?X admet au plus cardk = q racines on déduit que k est 



Exercices de mathématiques - Exo7

Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : car ?X2 ?4X et 17X +1 n'ont pas de racine (même complexe) commune.



Pro. Benmoussa Med

Niveau : TRONC COMMUN - Cours. TRIGONOMETRIE I. Orientation d'un plan – le cercle trigonométrique – abscisses curvilignes :– égalité de deux polynômes :.



Polynômes

Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B



Polynômes

rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Cet unique polynôme est appelé le pgcd (plus grand commun diviseur) de A et B ...



Suite de polynômes orthogonaux — Wikipédia

Complétons les dé?nitions sur les polynômes Dé?nition 2 • Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type akXk) sont appelés monômes • Soit P = anXn +a n1X n 1 + +a 1X +a0 un polynôme avec an 6=0 On appelle terme dominant le monôme anX n Le coef?cient a n est appelé le coef?cient dominant de P



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Les polynˆomes Dans tout ce chapitre K d´esigne les corps1 QR ou C 3 1 D´e?nition Je soupc¸onne que tout lecteur de ce cours a d´ej`a une id´ee de ce qu’est un polynˆome Il a notamment fr´equent´e l’ ind´etermin´ee X sans que cela ne lui pose de probl`eme Mais s’est-il

Quels sont les polynômes classiques?

Les polynômes « classiques » énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ou leur valeur en un point ont été mis à une quantité donnée (pour les polynômes de Legendre, P'n(1)=1 ).

Quelle est l’arithmétique des polynômes ?

Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degrénadmetnracines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.

Quels sont les avantages des polynômes orthogonaux?

Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en mécanique des fluides ou en traitement du signal. De nombreux types de polynômes orthogonaux particuliers comme ceux de Legendre, de Tchebychev permettent d'approcher une fonction et, par leurs propriétés, de résoudre plus simplement des équations différentielles complexes.

Qu'est-ce que les fonctions polynômes?

Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus et cosinus admettent une limite finie en tout réel a de leur ensemble de définition, qui est égale à leur valeur en a. Les règles d'opérations sur les limites pour les fonctions sont les mêmes que les règles pour les suites pour l'addition, le produit et le quotient.

Polynômes Exo7

Polynômes

Corrections de Léa Blanc-Centi.

1 Opérations sur les polynômes

Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

H???2 Division, pgcd Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.

Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste

soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 H???Exercice 3 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? H???Exercice 4 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 1

2.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=

D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 HH???Exercice 5 1.

Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division

euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i H???Exercice 7 Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? H???Exercice 8 Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.

Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :

1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.

Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire

toutes les solutions du problème. H???Exercice 9 Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? HH??? 2

Exercice 10

Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relation

P(X2) =P(X)P(X+1)

HH???Exercice 11 Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z n

Montrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].

HH???Exercice 12 1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? H???Exercice 13 Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).

Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou

égal ànqui vérifie:

P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:

Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

H???3

Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et

1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4

Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:

8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=2

8a+4b+2c+d=4

Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-dire

P(X) =32

X32X212

X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)

3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7

(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)

1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)

(b)

1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne

X

4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca

OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si

et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.

(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49

DoncD=X2+3X+2, et on obtient

9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)

soit U=19 (Q2) =118 X16 V=19 (1+Q1Q2) =118 X2+19 X+518 (b)

On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1

puisB=R1Q2+R2avecQ2=X2X+1 etR2=X+2 et enfinR1=R2Q3+R3avecQ3=X1 etR3=1

DoncD=1, et on obtient

1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3

= (ABQ1)(1+Q2Q3)BQ3 =A(1+Q2Q3)B(Q1(1+Q2Q3)+Q3) soit

U=1+Q2Q3=X3

V=Q1(1+Q2Q3)Q3=1+X+X3+X5Correction del"exer cice5 N1.Lorsqu"on ef fectuela di visioneuclidienne A=BQ+R, les coefficients deQsont obtenus par des

opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients deAetB: ils restent

donc dansQ. De plus,R=ABQest alors encore à coefficients rationnels. Alorspgcd(A;B)=pgcd(B;R)etpourl"obtenir, onfaitladivisioneuclidiennedeBparR(dontlequotient

et le reste sont encore à coefficients dansQ), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul,

c"est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. 6

2.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =

(Xa)p1(Xb)q1(Xc)r1. En itérant le processus, on obtient quePr1(X) = (Xc)est à coefficients rationnels, doncc2Q. On remonte alors les étapes:Pq1(X) = (Xb)(Xc)rq+1est à coefficients rationnels, etXbaussi en tant que quotient dePq1par le polynôme à coefficients rationnels(Xc)rq+1, doncb2Q. De

même, en considérantPp1, on obtienta2Q.Correction del"exer cice6 N1.(a) X33= (X31=3)(X2+31=3X+32=3)oùX2+31=3X+32=3est irréductible surR. On cherche

ses racines complexes pour obtenir la factorisation surC: X

33= (X31=3)(X+12

31=3i2

35=6)(X+12

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