[PDF] A2021 – PHYSIQUE II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE

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A2021-PHYS IQU EIIPSI

ÉCOLEDESPONTSPARI STECH,

ISAE-SUPAERO,ENSTAPARIS,

TÉLÉCOMPARIS,MINESPA RIS,

MINESSAINT-ÉTIENNE ,MINESNANCY,

IMTATLANTIQU E,ENSAEPARIS,

CHIMIEPARISTECH-P SL.

ConcoursMines-Télécom ,

ConcoursCentrale-Supé lec(CycleInternational).

CONCOURS2021

DEUXIÈMEÉPREUVEDEPHYSIQU E

Duréedel 'épreuve :4heures

L'usagedelacalculat riceet detout dispositifélectroniqueestinterdi t. Lescand idatssontpriésdementionn erdefaçonap parente surlaprem ièrepage delacopie:

PHYSIQUEII-PSI

L'énoncédecetteépre uvecomp orte8pagesdetexte . Si,aucoursd el' épreuve,unc andidatr epèrecequiluisembleêtreuneerr eurd'é noncé,ille signalesursacopiee tpoursuit sacompos itionenexpliq uantle sraisonsdesinitiativesqu 'iles t amenéàprendr e. Lessujet ssontlapropriété duGIPCCMP.Il ssontp ubliéssouslestermesdelalic ence CreativeCommonsAttribution- Pasd'U tilisationCommerciale-Pas deM odification3.0France. Toutautreu sageestsoumisà uneautorisation préalable duConcourscommunM ine sPonts.

PhysiqueII,année2021 - filièr ePSI

VélocimétrielaserDoppler

Alorsmêmequelas imulatio nnumérique enmécanique desfluidesestdeplusenplusperfor- mante,lerecoursàl'expérimen tation restenécessaire,neserait- ceque pourvalidercessimula- tions. Cesu jets'intéresse àuneméthodepeuinvasive:lavélocim étr ielaserD oppler.Lefluidedont onsou haiteétudierl'écoulemen testensemencéàl'aidedep articulesleplussouventsolides, quise déplacent auseindufluide,idéalement àlamêmevitesseetsa nslep erturber. Lorsdu passagedecesparticule sàtra versunoup lusieursfaisceauxlaser,lalumi ère estdi uséeetson analysepermetladét erminationdelav itessede laparticule,etdonclocalementdufluidequ i laporte. Onpr oposeenfigure1unev ued' ensembledudisposi tif demesureàdeu xfaisceaux,sur laquelleonnereprésentep asledi sposi tifdestinéàanalyserlalumièred i uséeparlesp articules ensemencéesdans lefluide.

Figure1-Vued'ensembledudispositif.

Cesu jetabordedansun epremièrepartiele principedel avélocimé trielaserDoppler,puis étudiedeux domaine sd'application:l'écoulementd'unliquidedansunecanalisationpuisl' étu de d'ondessonoresguidée s.Cespartiessontassez largementindépendantes. Lesapplic ationsnumériquesserontdonnéesavec1s eulchi resign ificatif.Lesvecteurssont surmontésd'unchapeau s'ilsson tunitaires!uoud'u neflèchedansle casgénéral!v.Lesvecteurs unitairesdelabase cartésienneso ntno tés(!u x ,!u y ,!u z )etceuxdelabasecylindriqued'axeOx (!u r ,!u ,!u x ).Enfind esu jetson tregr oupéesdesconsta ntesdelaphy siqueutiles,ainsiqu'un formulaired'analysevectorielle.

IPrincipedelavélocimétrielaser

Danstoutece ttepartie,lefluide enécoulement estsupposé transpa rent. Onnotec 0 lavi- tessedela lumièredans levideet dansle fluide,assimiléau videdup oint devuedes ondes

électromagnétiques.

I.AMontag eà1faisceau

L'e

etDop plerdécritledécalage enfréquenced'uneon de,obs ervéentrelesmesuresàl'é missi on

etàla réception,lorsquela distanceentre l'émetteuretle récepteurvarie aucours dutemps.

Dansleréfé rentie lRdulab oratoire,supposégaliléen,onfixeunlaseretun récepteurlumineux.

Lelas eràargonutilisé éme tuneondeplanep rogressivemonochroma tique(OPPM)élec troma- gnétiquedefréquencef e etlongueur d'onde" e =5,2!10 2 nm,dirigéeselon!u e etsepropagean t àc 0 Uneparticule solideP,supposéeponctuelleetpossédantunevitesse

VdansR,constitueun

observateurmobileparrapportàl'é metteurlaserfixe.Pa re etDopp ler,elleperçoitdoncune fréquencef p di

érentedelafréquen cef

e

émise.

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PhysiqueII,année2021 - filièr ePSI

Lafigure 2décritunepériode spatiale "

e del'O PPMdélimitéepa rdeuxfrontsd'onde! 1 et 2

àl'instantt,etpardeuxfrontsd'ondes!

1 et! 2

àl'instantt

=t+"tavec"t=1/f p .P appartientà! 1

àl'instanttpuisà !

2

àl'instantt

Figure2-E !etDop pler.

!-1.Enfa isantapparaître

V·!u

e fonctiondela distanceparcourue parlaparticule etde" e .End éd uirelarelation f p =f e 1" !u e V c 0

Laparticule mobiledi

useà sonto urdelalumièrevers unphotorécepteurfixe,selo nladirectio n de!u d .Pa re etDopp ler,cedernierperçoitune fréque ncef d di

érentedelafréquen cef

p

émise.

!-2.Dansleréfé rentie lR liéàla particule etentra nslationparra pport àR,laparticule émettricedelumièreestfixeet leréce pteurmobile.Enlejusti fiant,ada pterlerés ultat delaquestio nprécédente afinderelierf d etf p !-3.Pourunevi tesse# V#$c 0 del'ordre de10cm.s "1 ,endéduireque: f d %f e (!u d "!u e V e (1) Pourunlaserà argon, quepenserdel'é car trelatifenfréquen ce,entreO PPMémiseet reçueau niveauduphoto récepteur?Ons'appuierasurunea nalyse numérique.

I.BMontag eà2faisceaux

Afind'amélio rerlaprécisiondesvitessesmesurées, ainsique lalocalisation decelles-cida nsle fluide,on arecoursàundisp ositifà deuxfaisceauxlaser.

I.B.1Élargisseuret diviseurdefaisceau

L'élargisseurdefaisceau,présen téenfig ure3-a,transformeunfa isceaucylindriquelaser de largeurd 0 ,enunautredelargeurd 0 >d 0 sépareensuiteen deuxfaisceauxparallèles delargeuriden tiquesd 0 quinese recouvrent paset dontlesaxessontdista ntsde D.

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PhysiqueII,année2021 - filièr ePSI

Figure3-Él arg isseur(a)etdiviseurdefaisceau (b) !-4.Reproduireleschémadel'élargisseur defaisceaude lafigure3-aetposi tionnerl esfoyers desdeux lentillesp ermettantd'obtenirun faisceaudelargeurd 0 supérieuràd 0 .Exp rimer alorsd 0 enfonctionde d 0 etdesdistances focales f 1 etf 2 deL 1 etL 2 Exprimerl'encombremen tdecedispositif,définicommesalongueursurl' axeop tique, enfonction def 1 ,d 0 etd 0 Proposerundispositifp ermett antderéduirecetencombrementsa nschangerd 0 .On exprimeralenouv elencombremen tetonjustifieraqu'il estinférieuràceluidupremier dispositif.

Lefaiscea udelargeurd

0 arrivesurunprismed iviseurd efaisceauenv erred'indicen p dont lescara ctéristiquesgéométriquessontpréciséessur leschémadelafigure 3-b.Onnote2bla largeurduprismeetonprendra #=$/4. !-5.Reproduireleschémaetlecompléterafi nd'expl iquersonfonctionnem ent: onyind iquera d 0 ,d 0 etD.Enj ust ifiantrapidementsaréponse,d onnerlavaleurded 0 .Pourquoiparle- t-ondedivise urdefa isceauàdi érencedemarchenul le?Prop oserunautredispos itif permettantd'obtenirladivision d'unfaisceau.Est-ilàdi

érencedemarchenull e?

0 etn p souslaforme b= d 0 2 g(n p g(n p )"1 oùgestunefo nction den p quel'onex plicitera,sa nsfonctiontrigonométrique.Endéduire uneconditio nsurbpourquelesfa isceauxso iente!ectivementséparés.

I.B.2Étudedel' ondedi

usée Unelentille convergente focaliselesdeuxfaisceauxlaserprécédentsversunezone derecou- vrementoùcirculeleflu ideené coulement.Cesdeuxfais ceaux, notésF 1 etF 2 ,sontassimilés àde sOPPMd'ext ension spatialefiniedelargeurd,demêmeintensitéetdemêmefréquencef e

Surlafig ure4,o nnote

k e1 =k e !u e1 et k e2 =k e !u e2 lesvecteurs d'onderespecti vementassociés à F 1 etF 2 ainsique%l'angleentrecesdeuxve cteurs.Lalumiè redi!uséedelapart iculePvers lerécepteurOestporté eparlevecteurd'ondecommun k d =k d !u d Ons' intéressealorsaupassaged'unepar ticulesolide d' ensemencement P,devitesse V= V x !u x +V y !u y +V z !u z danslazonede recouvremen tdesfaisceaux. Aunivea udurécepteur,leschampsélectriquesissus deF 1 etF 2 etdi usésparPs'écrivent: E d1 =E d1 !u x =E 0 e 2i"f d1 t !u x et E d2 =E d2 !u x =E 0 e 2i"f d2 t !u x

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Figure4-Z one derecouvreme ntdes lasers.Di!usiondelumièrep arune particule. !-7.Enut ilisantlerésultat(1),expri merf d1 "f d2 enfonctionde " e ,%etde l'unedes composantesdelavitesse V.

Lephoto récepteurestsensibleàI(t)=K

E d1 +E d2 2 oùKestuneconstan tepositiv ecarac- téristiquedurécepteur. !-8.Montrerquelesignal reçus'écr itsou slaformeI(t)=2#[1+cos(&t)].Onprécisera# et&enfonc tiondesdonnées.Exprimerl afréquen cef c decl ignotementdecettelumière di uséeenfoncti onde" e ,%etl'unedes composantes de V. !-9.Lava leurdelacomposan tedela vitesseparticula ireintervenantdanslerésultatdela questionprécédenteest de10cm.s "1 ;calculernumériquementlavaleurdef c obtenue avecdeuxfa isceauxissus d'unlaseràargonfaisantunan glede3,6 entreeux.Justifier l'utilisationdedeuxfaisceauxla sersentermes deprécision delamesureetdelocalisa tion delapa rticule.

I.B.3CelluledeBr agg

!-10.Lephoto récepteurutilisépossèdeuntempsde réponse de'=4,4!10 "9 setl'angle %entrelesfaisceauxvaut 3,6 numériquementlaplage["V max ,+V max ]devitessesdétecta blespar lesystème. !-11.Pourquoinepeut-onmesur erqu' uneseulecomposantede

Vaveccedisp ositi f?Propo-

serunes olution permettantd'accédersimultanémentauxtroiscomposantes duvecteur vitessede laparticule. !-12.Pourquoinepeut-onpasfair eladi !érenceentreuneval eurpositiveetu nevaleurn égative delaco mposa ntemesurée? Avantd'attein drelazonederecouvrement,onplaceu necel luledeBraggs urletr ajetdu faisceauF 1 uniquement.Ils'agitd'unmilieutra nspare ntparcouruparuneO PPMacoustique defréquencef B

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Entr aversantcettecellulequisecom portecommeunrés eau,F 1 donnenaissance àdi

érents

faisceaux,déviéspar rapport aufaisceauinciden t.Parmieux,seul celuid'ordre1, defréquence f e +f B ,croiseF 2 ,inchangéàlafréquencef e ,danslazonederecouvrement. !-13.Déterminerlanouvelleexpres sion f c dela fréquencedeclig notement, enfonctio ndef B e ,%etd'une descomposantesde exprimeretcalculer lafréquence f B optimale,c'est-à-direcelleper mettantlamesure d'unedesco mposa ntesde

V(etdeso nsigne) dansl'interva lle["V

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