[PDF] MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

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SESSION 2019 PCMS006

PREUVE SP

CIFIQUE

FI

LIÈRE

PC MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES Jeudi 2 mai : 8 h 12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de

la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autoriséesLe sujet est composé de trois parties partiellement indépendantes.

1 n 10 Modélisation du mouvement d'une plateforme en mer

On s"intéresse à la résolution d"équations du mouvement dans une approche classique de la méca-

nique ann d"étudier le mouvement d"une plateforme en mer. Le modèle envisagé est un système à un

degré de liberté considéré comme oscillateur harmonique : une masse est reliée à un ressort, avec ou

sans amortissement, et peut être soumise à une excitation externe.

La résolution est tout d"abord abordée de façon analytique puis de façon numérique, avant ennn de

comparer les résultats obtenus. Les résolutions analytiques et numériques sont largement indépendantes. Dans la suite de l"énoncé, toutes les grandeurs vectorielles sont indiquées en gras.

Un aide-mémoire surest donné en Annexe.

de massem110 tonnes est considérée comme rigide et le mouvement principal de la plateforme a lieu suivantx(gure1(a)).

Atn d"étudier le mouvement de cette plateforme, on la représente par une massem, liée à un ressort

de constante de raideurket à un amortisseur de constante d"amortissement>, pouvant subir une excitation externe de forceF exc , et se déplaçant sur un support (gure1(b)). Le ressort représente la rigidité de l"ensemble du support de la plateforme. L"amortisseur permet de prendre en compte l"e et

de l"eau environnante et la force d"excitation externe celui des vagues qui frappent périodiquement

la plateforme. La masse est supposée se déplacer selon une seule direction parallèle à l"axe Ox en

fonction du tempst. x m basemasse vague support (a) m k x 0 F exc (b) Figure 1 -(a) Plateforme en mer soumise aux vagues marines, (b) système masse (m), ressort (k), amortisseur ( >) et excitation externe (F exc

Les projections sur l"axe Ox de la position, de la vitesse et de l"accélération de la masse en fonction du

temps sont notées respectivementx(t), ax(t) et ¨x(t). La force totaleF tot agissant sur la masse correspond

à la réaction normaleR

N de la base horizontale, à la force de frottementF d , à la force de rappelF k du ressort, au poidsPde la masse et à la forceF exc d"excitation externe. La position d"équilibre de

la masse sera choisie àx0. En l"absence d"action de l"amortisseur, la masse se déplace sur la base

horizontale sans frottements. 2 10 Modélisation du mouvement d'une plateforme en mer

On s"intéresse à la résolution d"équations du mouvement dans une approche classique de la méca-

nique ann d"étudier le mouvement d"une plateforme en mer. Le modèle envisagé est un système à un

degré de liberté considéré comme oscillateur harmonique : une masse est reliée à un ressort, avec ou

sans amortissement, et peut être soumise à une excitation externe.

La résolution est tout d"abord abordée de façon analytique puis de façon numérique, avant ennn de

comparer les résultats obtenus. Les résolutions analytiques et numériques sont largement indépendantes. Dans la suite de l"énoncé, toutes les grandeurs vectorielles sont indiquées en gras.

Un aide-mémoire surest donné en Annexe.

de massem110 tonnes est considérée comme rigide et le mouvement principal de la plateforme a lieu suivantx(gure1(a)).

Atn d"étudier le mouvement de cette plateforme, on la représente par une massem, liée à un ressort

de constante de raideurket à un amortisseur de constante d"amortissement>, pouvant subir une excitation externe de forceF exc , et se déplaçant sur un support (gure1(b)). Le ressort représente la rigidité de l"ensemble du support de la plateforme. L"amortisseur permet de prendre en compte l"e et

de l"eau environnante et la force d"excitation externe celui des vagues qui frappent périodiquement

la plateforme. La masse est supposée se déplacer selon une seule direction parallèle à l"axe Ox en

fonction du tempst. x m basemasse vague support (a) m k x 0 F exc (b) Figure 1 -(a) Plateforme en mer soumise aux vagues marines, (b) système masse (m), ressort (k), amortisseur ( >) et excitation externe (F exc

Les projections sur l"axe Ox de la position, de la vitesse et de l"accélération de la masse en fonction du

temps sont notées respectivementx(t), ax(t) et ¨x(t). La force totaleF tot agissant sur la masse correspond

à la réaction normaleR

N de la base horizontale, à la force de frottementF d , à la force de rappelF k du ressort, au poidsPde la masse et à la forceF exc d"excitation externe. La position d"équilibre de

la masse sera choisie àx0. En l"absence d"action de l"amortisseur, la masse se déplace sur la base

horizontale sans frottements. 2 10 Partie I - Résolution analytique et détermination des paramètres pour la modélisation Q1.En eectuant une projection sur l"axe Ox, montrer quePetR N n"interviennent pas dans le bilan des forces. I.1 - Ressort sans amortissement et sans excitation

Q2.Démontrer que l"équation du mouvement de la masse correspond à l"équation diérentielle du

second ordre suivante : m¨xkx0(1) Q3.La solution de cette équation prend la forme générale suivante x(t)A 0 sin( 0 t)B 0 cos( 0 t)(2) avecA 0 etB 0 deux coe cients réels. Exprimer 0 en fonction des grandeurs caractéristiques du système et donner sa signi,cation physique. De plus, en remarquant qu"àt0:x(t)x 0 et x(t)x 0 , déterminer les expressions deA 0 et deB 0 en fonction dex 0 ,x 0 et de 0 Q4.On cherche à reformuler l"équation précédente sous une forme plus compacte du type : x(t)R 0 cos( 0 t, 0 (3)

Donner les expressions deR

0 et de 0 en fonction dex 0 ,x 0 et de 0 Q5.Représenter qualitativementx(t) en fonction detet indiquer sur le tracéR 0 ,x 0 et 2 0

Q6.En utilisant les expressions des énergies cinétiqueK(t) et potentielleU(t) du système, montrer

que l"énergie totaleE(t) du système est alors :

E(t)kR

2 0 2(4)

Justi,er le résultat obtenu.

Q7.Représenter qualitativementE(t),K(t) etU(t) en fonction det. I.2 - Ressort avec amortissement et sans excitation

Q8.La force de frottement que l"amortisseur exerce sur la masse est considérée comme linéaire,

c"est-à-dire proportionnelle au vecteur vitessevde celle-ci :F d ,v, avecconstante d"amortissement (

0). En considérant une projection sur l"axe Ox, démontrer que la position

de la masse en fonction du temps suit l"équation du mouvement ci-après

¨x2

0 x 2 0 x0(5) avec 0 dé,ni en questionQ3età exprimer en fonction de,ketm. 3 10 Q9.Dans le cas où1,x(t) prend la forme suivante : x(t)e 0 t (A d cos( d t)B d sin( d t))(6)

Déterminer les deux coe

cients réelsA d etB d en fonction dex 0 ,nx 0 0 et d 0 =/1> 2 On utilisera pour cela les mêmes conditions initiales que celles utilisées en questionQ3. Q10.Montrer alors que l"on peut obtenir une forme du type x(t)R d e 0 t cos( d t> d )(7) avecR d et d

à préciser.

Q11.Représenter qualitativementx(t) en fonction detet indiquer sur le tracéR d e 0 t ,x 0 et 2 d Q12.Donner l"expression deE(t) et commenter les cas où0 et1.

Q13.Montrer de façon simple queEest une fonction décroissante det. À quoi cela est-il dû?

Q14.On envisage deux temps successifst

1 ett 2 pour lesquels les déplacements sontx 1 etx 2 , tels quet 2 t 1 ett 2 >t 1 d , avec d : période des oscillations amorties. En utilisant l"équation ( 7 et en considérant que1, montrer que : ln(x 1 x 2 )2(8)

Q15.Le relevé du déplacement horizontal de la plateforme en fonction du temps est représenté en

gure2. En utilisant les deux points qui sont indiqués sur la ugure, déterminerk,et. Comment ce tracé serait modiué en fonction de la valeur de?

02468101214Δ002Δ001000001002003

(4004004;0014602) t 1 (8

008008;0

010661)

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