[PDF] Calcul algébrique: Exercices corrigés

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Calcul algébrique: Exercices corrigésSeconde Exercice 1Seconde/Calcul-Algébrique/exo-001/texte

Partie A

1.Question de cours :

Citer la règle du produit nul.

2.Développer, réduire et ordonner(2x+ 1)2-16.

3.En factorisant(2x+ 1)2-16, établir que :

(2x+ 1)2-16 = (2x-3)(2x+ 5)

4.Résoudre l"équation(2x+ 1)2-16 = 0.

Partie B

On considère le programme de calcul suivant :

•Choisir un nombre et le multiplier par2. •Ajouter1au nombre obtenu. •Élever le résultat au carré. •Soustraire16au nombre obtenu.

1.Qu"obtient-on comme résultat si le nombre choisi au dé-part est(-0,5)? Et si le nombre choisi au départ est

notéx?

2.Est-il possible que le résultat obtenu soit égal à0?

Si oui, préciser dans quel(s) cas.

3.Quel est le plus petit résultat que l"on puisse obtenir?Justifier la réponse.

4.Que peut-on dire du programme de calcul suivant?Justifier la réponse.

•Choisir un nombre et lui ajouter1. •Multiplier le résultat par le nombre choisi au départ. •Soustraire3,75au nombre obtenu. •Multiplier le résultat obtenu par4. Exercice 2Seconde/Calcul-Algébrique/exo-007/texte

Partie A

SoitT(x) = (2x+ 1)(3x+ 4)-(2x+ 1)2.

1.Développer, réduire et ordonnerT(x).

2.FactoriserT(x).

Partie B

Soitfla fonction définie surRparf(x) = 2x2+ 7x+ 3.

1.Calculer l"image de⎷

2puis celle de13parf.

2.Résoudre algébriquement l"équationf(x) = 3.

3.Déterminer par le calcul les antécédents de0parf.

Exercice 3Seconde/Calcul-Algébrique/exo-019/texte

1.Développer, réduire et ordonner(x+ 1)2-16.

2.Factoriser(x+ 1)2-16.

3.Quatre réelsx,y,zettsont tels que :

•x >0etyest la somme dexet4; •zest le produit de3ety; •test la somme de7et de l"opposé dey. a) Exprimery,zetten fonction dex. On donnera les résultats sous forme réduite. b) Déterminer ces quatre réels si leur somme est167. c) Sachant que le produit des deux premiers est égal à la somme des deux autres nombres, déterminer les valeurs respectives dex,y,zett. Exercice 4Seconde/Calcul-Algébrique/exo-020/texte

SoitF(x) = (2x+ 1)2-(x-5)2.

1.Développer, réduire et ordonnerF(x).

2.En factorisant(2x+ 1)2-(x-5)2, établir que :

F(x) = (x+ 6)(3x-4)

3.Résoudre l"équationF(x) = 0.

4.Résoudre l"équationF(x) =-24.

Exercice 5Seconde/Calcul-Algébrique/exo-027/texte

1.On donneC(x) = (x+ 2)(4x-1)-(x+ 2)(x+ 5).

a) FactoriserC(x). b) Résoudre algébriquement l"équationC(x) = 0.

2.On donneD(x) = (3x-4)2-(2x+ 3)2.

a) Prouver, en détaillant les étapes, que :

D(x) = 5x2-36x+ 7

b) FactoriserD(x). c) Résoudre algébriquement l"équationD(x) = 7. Exercice 6Seconde/Calcul-Algébrique/exo-030/texte ndésignant un entier naturel, on notef(n) =n2+8n+15.

1.Calculerf(0),f(1)etf(2). Ces nombres sont-ils des

nombres premiers?

2.Développer, réduire et ordonner(n+ 4)2-1.

3.Factoriser(n+ 4)2-1.

4.Déduire des questions précédentes quef(n)n"est jamais

un nombre premier. Exercice 7Seconde/Calcul-Algébrique/exo-031/texte Compléter les cases non grisées du tableau ci-dessous : 42x2

5x×4x=

3x×6x=

Exercice 8Seconde/Calcul-Algébrique/exo-039/texte Les maisons d"Albert et de Marcel sont distantes de2,6km et situées du même côté de la voie ferrée. Celle d"Albert n"est qu"à700m de la voie ferrée (rectiligne), tandis que celle de Marcel est à1km de plus. Pourtant, elles sont toutes deux à la même distance de la gare. À quelle distance de la gare se situent les deux maisons? Calcul algébrique: Exercices corrigésSeconde Exercice 9Seconde/Calcul-Algébrique/exo-053/texte

1.Développer, réduire et ordonner(2x+ 3)2-16.

2.Factoriser les expressions4x2+ 12xet(2x+ 3)2-16.

3.Dans cette question, toute trace de recherche, même in-complète, ou d"initiative, même non fructueuse, seraprise en compte dans l"évaluation.On considère le programme de calcul suivant :

•Choisir un nombre et le multiplier par2. •Ajouter3au produit obtenu. •Élever le tout au carré. •Retirer16au résultat obtenu. a) On souhaite obtenir(-7)comme résultat final. Est- ce possible? Si oui, quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ? b) Quel est le plus petit résultat final possible? Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour l"obtenir? Exercice 10Seconde/Calcul-Algébrique/exo-055/texte

1.a) Développer, réduire et ordonner(x-5)2-9.

b) Factoriser(x-5)2-9. c) Résoudre l"équation(x-8)(x-2) = 0.

2.On considère un rectangleABCDtel queAB= 10cm

etBC= 4cm.

Mdésigne un point mobile sur[CD]et on nommexla

longueur, exprimée en centimètres, du segment[DM]. 4cm xcm 10cm DCAB M a) Dans quel intervalle le réelxvarie-t-il? b) ExprimerCMen fonction dexpuis prouver que BM

2=x2-20x+ 116.

c) Est-il possible que le triangleABMsoit rectangle en

M? Si oui, dans quel(s) cas?

Exercice 11Seconde/Calcul-Algébrique/exo-029/texte Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, il est demandé de noter la lettre qui correspond à l"unique réponse exacte dans la colonne de droite.

1.Parmi les expressions ci-dessous, une seule est écrite sous la forme d"un produit. Laquelle?

a.(2x+ 3)2-(3x-2)2b.(2x+ 3)(3x-2)c.2x+ 3(3x-2)d.2 + (x+ 3)(3x-2)

2.Parmi les équations ci-dessous, une seule admet exactement deux solutions dansR. Laquelle?

a.x2= 7b.x2=-4c.x2= 0d.2x+ 1 = 8

3.Parmi les réels ci-dessous, un seul est solution de l"équationx3= 3x+ 2. Lequel?

a.0b.1c.2d.3 Calcul algébrique: Exercices corrigésSeconde Exercice 1Seconde/Calcul-Algébrique/exo-001/corrige

Partie A

1.Je cite la règle du produit nul : Un produit de facteursest nul si, et seulement si, l"un au moins des facteurs estnul.

2.Je développe, réduis et ordonne(2x+ 1)2-16:

(2x+ 1)2-16 = (2x)2+ 2×2x×1 + 12-16 = 4x2+ 4x+ 1-16 = 4x2+ 4x-15

3.Je factorise(2x+ 1)2-16:

(2x+ 1)2-16 = (2x+ 1)2-42 = [(2x+ 1)-4][(2x+ 1) + 4] = (2x-3)(2x+ 5)

4.Je résous l"équation(2x+ 1)2-16 = 0.

(2x+ 1)2-16 = 0??(2x-3)(2x+ 5) = 0 ??2x-3 = 0ou2x+ 5 = 0 ??2x= 3ou2x=-5 ??x=3

2oux=-52

Conclusion : L"équation(2x+1)2-16 = 0admet exac- tement deux solutions :-5 2et32

Partie B

1.?Soit(-0,5)le nombre choisi au départ.

•Je le multiplie par2et j"obtiens(-1). •J"ajoute1et j"obtiens0. •J"élève le résultat au carré et j"obtiens0. •Je soustrais16et j"obtiens(-16). Conclusion : Si le nombre choisi au départ est(-0,5) alors le résultat obtenu est(-16). ?Soitxle nombre choisi au départ. •Je le multiplie par2et j"obtiens2x. •J"ajoute1et j"obtiens2x+ 1. •J"élève le résultat au carré et j"obtiens(2x+ 1)2. •Je soustrais16et j"obtiens(2x+ 1)2-16. Conclusion : Si le nombre choisi au départ estxalors le résultat obtenu est(2x+ 1)2-16.

2.L"équation(2x+1)2-16 = 0admettant deux solutions

(voir question4de la première partie), il est possible que le résultat obtenu soit égal à0. Pour cela, il faut et il suffit de choisir comme nombre de départ-5

2ou32.

3.Le plus petit résultat que l"on puisse obtenir est(-16).

En effet, un carré est un réel positif donc(2x+ 1)2?0 d"où(2x+ 1)2-16?-16. Ce résultat minimal est obtenu en choisissant comme nombre de départÅ -1 2ã

4.?Soitxle nombre choisi au départ.

•Je lui ajoute1et j"obtiensx+ 1. •Je multiplie par le nombre choisi au départ et j"ob-tiensx(x+ 1). •Je soustrais3,75et j"obtiensx(x+ 1)-3,75. •Je multiplie par4et j"obtiens4[x(x+ 1)-3,75].

Or,4[x(x+ 1)-3,75] = 4(x2+x-3,75)

= 4x2+ 4x-15 = (2x+ 1)2-16 Conclusion : Ce second programme de calcul est équi- valent au premier. En effet, en choisissant le même nombre de départ, tous deux conduisent au même ré- sultat. Exercice 2Seconde/Calcul-Algébrique/exo-007/corrige

Partie A

1.Je développe, réduis et ordonneT(x):

T(x) = (2x+ 1)(3x+ 4)-(2x+ 1)2

= 6x2+ 8x+ 3x+ 4-(4x2+ 4x+ 1) = 6x2+ 11x+ 4-4x2-4x-1 = 2x2+ 7x+ 3

2.Je factoriseT(x):

T(x) = (2x+ 1)(3x+ 4)-(2x+ 1)2

= (2x+ 1)[(3x+ 4)-(2x+ 1)] = (2x+ 1)(3x+ 4-2x-1) = (2x+ 1)(x+ 3)

Partie B

1.f(⎷

2) = 2×⎷22+ 7×⎷2 + 3

= 2×2 + 7⎷ 2 + 3 = 4 + 7⎷ 2 + 3 = 7 + 7⎷ 2 fÅ13ã = 2×Å13ã 2 + 7×13+ 3 = 2×1

9+73+ 3

2

9+219+279

=50 9 Conclusion : L"image de⎷2parfest7 + 7⎷2et celle de1

3est509.

2.Je résous algébriquement l"équationf(x) = 3:

f(x) = 3??2x2+ 7x+ 3 = 3 ??2x2+ 7x= 0 ??x(2x+ 7) = 0

Règle du produit nul :

Un produit de facteurs est nul si,

et seulement si, l"un au moins des facteurs est nul. f(x) = 3??x= 0ou2x+ 7 = 0 ??x= 0ou2x=-7 ??x= 0quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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