[PDF] Sujet et Corrigé Olympiades Maths Clermont-Ferrand 2015

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SUJET + CORRIGÉ

Olympiades, Mathématiques, S

2015

OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES

ACADÉMIE DE CLERMONT-FERRAND

Classes de première S

2015

Olympiades:académiques:

de:mathématiques: ____________________________:

Académie:de:ClermonttFerrand:

L"épreuve: comporte: quatre: exercices: indépendants4: tous: à: traiter: dans: le: temps: consigne.:

Durée de la composition : 4 heures

Exercice numéro 1

(proposé par le jury national)

Défi entre soeurs

Patiemment4: Clémence: aligne: les: triangles: équilatéraux: montre:la:photo:citcontre.: Sa: sœur4: Léa4: qui: est: en: première: et: toujours: en: quête: de: quelques:calculs:à:effectuer4:s"amuse:à:trouver:la:valeur exacte: ABCD:un:quadrilatère:construit:par:Clémence:;: :=:AC:la:longueur:de:la:diagonale:[AC]:;: =:BD:la:longueur:de:la:diagonale:[BD].:

Partie A

1. Calculer:la:longueur:d"une:hauteur:d"un:triangle:équilatéral:de:côté:1.:

2. Calculer:les:longueurs::pour:les:cas:suivants:::

Deux triangles Trois triangles Quatre triangles Six triangles

Partie B

1. Lorsque:le:nombre::de:triangles:est:pair,:montrer:que:la:longueur:de:la:diagonale:la:plus:grande:est:

:::::égale:à::

2. Si:Clémence:ajoute:un:triangle:supplémentaire:au:cas:précédent4:que:deviennent:les:longueurs::?:

3. Clémence:a:aligné:56:triangles.:Déterminer:les:longueurs::calculées:par:Léa.:

Partie C:

1

re propriété:::":Pour:tout:nombre::de:triangles:juxtaposés4::est:la:racine:carrée:d"un:nombre:impair:»:

2

e propriété:::":Pour:tout:nombre::de:triangles:juxtaposés4::est:la:racine:carrée:d"un:nombre:premier:»:

On rappelle qu"un nombre premier est un entier naturel divisible seulement par 1 et lui-même ; par exemple

2, 11, 29 sont des nombres premiers et 1, 8, 33 ne le sont pas.

1. Valider:ou:invalider:chacune:de:ces:propriétés.:

2. Peutton:affirmer:que:la:racine:carrée:de:tout:nombre:premier:est:la:longueur:possible:d"une:diagonale:

3. Pourquoi:nnesttil:pas:possible:dnobtenir:une:diagonale:de:longueur:

4. Clémence:a:construit:un:quadrilatère:dont:une:diagonale:mesure:

5. Clémence:dit:à:sa:sœur:::":Sur:les:grands:quadrilatères4:à:chaque:fois:qu"on:ajoute:deux:triangles4:la:

Exercice numéro 2

(proposé par le jury national)

On est les rois !

dont:cet:exercice:s"inspire.:

Partie A - La transformation du boulanger:

On:considère:la:fonction:f définie:sur::par::: :si: :::et::: :sinon.:

1. Montrer:que:l"image:par:f d"un:élément:de:[0:;:1]:appartient:à:[0:;:1].:

2. Justifier:pourquoi:cette:fonction::modélise:le:déplacement:de:la:fève.:

Partie B - Parcours d"une fève : cycles et cible Les:images:successives:par::d"un:élément::de:sont:notées: ! :etc.:

1. Quelles:sont:les:9:positions:qui:suivent:l"abscisse:

!:?:l"abscisse:0433:?:Commenter.:

2. Esttil:possible:qu"une:fève4:placée:à:l"abscisse:4:revienne:à:sa:position:de:départ:en:un:seul:coup:?:En:

3. Quand: une: fève: placée: à: l"abscisse:: vient4: après: un: nombre: fini: d"étapes: du: processus4: à: occuper:

ne:l"atteint:pas.:

4. Le:nombre:

$%&':atteindratttil:sa:cible:?:

5. Déterminer:tous:les:nombres:de::atteignant:leur:cible.:

Partie C - Étude d"un algorithme.:

1. Soit:un:nombre::dont:on:suppose:qu"il:atteint:sa:cible.:Modifier:l"algorithme:proposé:en:Annexe:à:la:fin:

du: sujet4: afin: qunil:affiche4: dans: ce: cas4:le: nombre:d"étapes: nécessaires: pour:rejoindre: le: réel: 0:uon:

2. D"après: les: questions:B.5. ou: même:B.2.4: le: nombre:

(: n"atteint: pas: sa: cible.: Comment: devrait: se: comporter:l"algorithme:après:avoir:saisi: type:PC:ou:calculette4:toujours:avec: sortie:obtenir: :au:bout:d"une:cinquantaine:d"itérations.:Avancer:une:explication.:

Exercice numéro 3

(proposé par le jury académique)

Nombres chanceux d"Euler

Un:nombre premier:est:un:entier:naturel:qui:admet:exactement:deux:diviseurs:positifs:::1:et:luitmême.:

Partie A

1. Pourquoi:1:n"esttil:pas:un:nombre:premier:?:

2. Pourquoi:2:esttil:le:seul:nombre:pair:premier:?:

Partie B

On:considère:l"algorithme:suivant:::

Choisir:un:entier:naturel:

L"élever:au:carré:

Lui:ajouter:11:

Afficher:le:résultat:obtenu.:

1. ad: Qu"affiche:l"algorithme:si:le:nombre:choisi:est:20:?:

bd: Qu"affiche:l"algorithme:si:le:nombre:choisi:est:n:?:

2. ad: Quel:nombre:fauttil:choisir:pour:obtenir:1417:?:bd: L"algorithme:peuttil:afficher:le:nombre:100:?:

3. ad: Vérifier:que:si:on:choisit:un:entier:naturel:compris:entre:0:et:94:alors:le:résultat:affiché:est:un:

nombre:premier.:

bd: Si:on:choisit:un:entier:naturel:quelconque4:le:résultat:affiché:esttil:toujours:un:nombre:premier:?:

Partie C

On:appelle:":nombre chanceux d"Euler:»4:un:nombre:entier:):u) * d:tel:que4:pour:tout:entier::compris:

entre:0:et:) 4:: ):soit:un:nombre:premier.:

1. Déterminer:les:nombres:chanceux:d"Euler:inférieurs:à:11.:

2. ad: Olympe:affirme:::":Si:):est:un:nombre:chanceux:d"Euler:alors:):est:un:nombre:premier:».:Son:

affirmation:esttelle:vraie:ou:fausse:?:

bd: Enoncer:la:réciproque:de:l"implication:précédente:::cette:réciproque:esttelle:vraie:?:

3. Il:a:été:prouvé:en:1967:qu"il:existe:exactement:six:nombres:chanceux:d"Euler.:Sachant:que:le:plus:

Exercice numéro 4

(proposé par le jury académique)

Petits cadeaux entre amis

Cet exercice est réservé aux candidats de la série S

écrit: le: nom: de: chacun: sur: un: petit: papier4: puis: chaque: participant: tire: un: petit: papier: pour: connaître:

· personne:n"est:oublié:ou:lésé:;:

· les:dépenses:de:chacun:restent:limitées4:car:il:n"a:qu"un:cadeau:à:faire.:

Partie I : cas de trois amis

1. Faire:la:liste:de:tous:les:tirages:possibles:dans:un:groupe:de:trois:amis.:

2. Préciser:ceux:qui:sont:valides.:

3. En:déduire:la:probabilité:d"obtenir:un:tirage:valide:dans:ce:cas.:

Partie II : cas de quatre amis

tirage:valide.:

Partie III : une relation fondamentale

entier:supérieur:ou:égal:à:1d.: :A: B: C:

C: A: B:

Le:groupe:d"amis:considéré:est:constitué:de:Paul4:Julie:et::autres:personnes:uavec: * d.:Secrètement:épris:

1. Quelle:est:la:probabilité:que:ce:soit:le:cas:?:

2. Montrer:qu"il:y:a:+:tirages:valides:pour:lesquels:Paul:et:Julie:se:font:mutuellement:un:cadeau.:

3. On:admettra:par:ailleurs:qu"il:y:a:+.:tirages:valides:pour:lesquels:Paul:fait:un:cadeau:à:Julie:sans:

Julie.:

4. Justifier:l"égalité:suivante:::

Partie IV : obtention de /0

1. Donner:+:et::+:en:justifiant:chaque:réponse.:

2. La:question:4:de:la:partie:III:permet:d"affirmer:que:pour:tout:entier::supérieur:ou:égal:à:14:on:a:::

. + +..:En:utilisant:cette:relation4:retrouver:les:nombres:+!:et:+1:rencontrés: dans:les:parties:I:et:II.:

3. Déterminer:+#.:

4. La: feuille: de: calcul: suivante: a: été: réalisée: avec: un:

tableur.: :pour: * 2:?:

5. Rédiger: un: algorithme: permettant: d"obtenir:+: pour: une: valeur: de:: usupérieure: ou: égale: à:3d:

précisée:par:l"utilisateur.: Partie V : application dans le cas d"un groupe de huit amis papiers:».:

1. Montrer:que:l"arrondi:à:

2. En:utilisant:cette:valeur:approchée4:calculer:la:probabilité:que:deux:tirages:soient:nécessaires:et:

suffisants:pour:obtenir:un:tirage:valide.:On donnera un résultat arrondi à 3.:

3. Esttil:vrai:que:la:probabilité:qu"au:moins:quatre:tirages:soient:nécessaires:est:proche:de::

1:?:Justifier.:

Exercice numéro 4

(proposé par le jury académique)

Que de six !

Cet exercice est réservé aux candidats des séries L, ES, STD2A, STI2D, STL, STMG et ST2S

1. Jules:a:simplifié:la:fraction::

4#

4:».:

ad Le:résultat:esttil:correct:?: bd Que:penseztvous:de:la:démarche:utilisée:?:

2. ad: Prouver:que4:pour:tous:nombres:réels:64:74:):et:8:non:nuls:vérifiant:la:condition:7 8 9 :::

si::: =::alors:::.< bd: En:utilisant:ad:et:en:remarquant:que:55 > 5 :et:que:55 > 5 54:montrer:que: 44#
44#

3. Julie:affirme:::":j"en:déduis:que::

4444#
4444#
:».:Expliquer:sa:démarche.:

4. On:admet4:dans:le:cas:général4:que:l"égalité::

44?4#
4?44#

Exercice numéro 2 : annexe

Variables

::est:un:élément:de::

Début

:Saisir:le:nombre::compris:entre:0:et:1: :Tant que @ 9 :faire: : :Si:: ::alors: : : :::prend la valeur:2: : :Sinon : : :::prend la valeur :

Fin tant que

Fin: freemaths.fr - 2015 1

CORRECTION OLYMPIADES

EXERCICES ACADÉMIQUES

CLERMONT-FERRAND 2015

Exercice 3 : Nombres chanceux d'Euler

Partie A

1. 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur et non deux diviseurs.

2. L'entier 2 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, donc 2 est un nombre premier. Tout nombre pair

autre que 2 a au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même. Donc, tout nombre pair autre que 2 est un entier non

premier. 2 est l'unique nombre pair premier.

Partie B

1.a. L'algorithme élève 20 au carré, il obtient 400. Il ajoute au résultat le nombre de départ, il obtient 420. Il

ajoute 11 au résultat obtenu, il obtient 431.

L'algorithme affiche 431.

1.b. L'algorithme élève l'entier naturel n au carré, il obtient

2n. Il ajoute au résultat le nombre de départ, il

obtient nn+2. Il ajoute 11 au résultat obtenu, il obtient 112++nn.

L'algorithme affiche 11

2++nn.

2.a.

L'algorithme affiche 1417 si et seulement s'il existe un entier naturel n vérifiant : 1417112=++nn.

Si un tel entier naturel existe, il est solution de l'équation au deuxième degré : 01406

2=-+nn (1).

Le discriminant de cette équation est égal à 5625, qui est le carré de 75. L'équation (1) admet deux solutions qui sont des nombres entiers : 372
751

1=+-=n et 382

751

2-=--=n.

Une seule des deux solutions de l'équation

(1) est un entier naturel, la solution 371=n.

Pour obtenir 1417, il faut choisir le nombre 37.

2.b. L'algorithme affiche 100 si et seulement s'il existe un entier naturel n vérifiant : 100112=++nn.

Si un tel entier naturel existe, il est solution de l'équation au deuxième degré : 089

2=-+nn (2).

Le discriminant de cette équation est égal à 357, qui n'est pas le carré d'un nombre entier. Aucune des deux

solutions de l'équation (2) n'est un nombre entier.

L'algorithme ne peut pas afficher le nombre 100.

freemaths.fr - 2015 2 3.a. L'algorithme est exécuté ci-contre par un tableur, la colonne

C du tableur étant un test de

primalité. Ce test certifie que, si on choisit un entier quelconque de 0 à 9, l'algorithme affiche toujours un nombre premier.

3.b. En revanche, si on choisit 10, l'algorithme

affiche 121 qui n'est pas premier. Le résultat affiché n'est pas toujours un nombre premier.

NB. On remarque que si on choisit 11 l'algorithme

n'affichera pas non plus un nombre premier : il affichera

1111112++, qui est divisible par 11.

Partie C

La partie B a montré que 11 est un exemple de nombre chanceux puisque les dix premiers entiers affichés ci-

dessus par l'algorithme de la partie B sont premiers.

Supposons que le nombre c est fixé. En substituant dans cet algorithme l'entier c à l'entier 11, on obtient un

nouvel algorithme qui renvoie pour toute valeur de n le nombre cnn ++22.

1. On note que, lorsque l'on choisit pour n l'entier zéro, le nombre affiché par ce nouvel algorithme est le

nombre c++002, c'est-à-dire l'entier c lui-même.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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