[PDF] PC 2013 CCP Maths 1 PC 2013 —

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Annales des Concours

PC

Mathématiques et Informatique

2013

Sous la coordination de

GuillaumeBatog

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan)

VincentPuyhaubert

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan) Par

SamuelBaumard

ENS Ulm

Pierre-YvesBienvenu

ENS Ulm

ArnaudBorde

École Polytechnique

SilvèreGangloff

ENS Ulm

ÉmilieLiboz

Professeur agrégé à l"université

FlorenceMonna

Doctorant

AntoineSihrener

Professeur en CPGE

PaulineTan

ENS Cachan

Les auteurs remercient Jean-Julien Fleck pour la précieuseaide qu"il a apportée à la prépa-

ration de cet ouvrage.

Des annales, pour quoi faire?

Quand on prépare les concours, on ne peut rien laisser au hasard: il faut étudier chaque leçon, apprendre chaque exercice classique, en somme, travailler en détail tout ce qui peut tomber. Reste à savoir ce qui tombe vraiment! Se confronter aux écrits de la dernière session est le meilleur moyen de préparer la suivante. LesAnnales des Concourssont également un bon outil pour préparer les compositions pendant l"année. L"idée directrice de cetouvrage s"inspire des ma- nuels de Terminale mais nous avons ajouté, pour chaque sujet, des indications et de nombreux commentaires méthodologiques et scientifiques. Dans le même esprit, nous avons regroupé en fin d"ouvrage les formulaires les plus utiles.

Comment utiliser cet ouvrage?

Les devoirs pendant l"année sont des entraînements précieux, mais ils sont géné- ralement trop courts ou trop longs. Trop courts, parce que les compositions sur table en temps limité ne vous laissent guère le loisir de creuser les questions; en s"interdi- sant de consacrer aux questions difficiles le temps qu"elles méritent, on se condamne à ne savoir résoudre que les questions faciles - celles qui rapportent peu de points. Trop longs, parce que les devoirs à la maison vous laissent seul face à un énoncé dont certaines questions sont susceptibles de vous bloquer complètement, ou de vous faire travailler pendant un temps déraisonnable. En prépa, le temps est compté. Muni de cet ouvrage, vous pourrez rationaliser votre préparation. Commencez par parcourir l"énoncé, sans le lire de manière exhaustive ni tenter de le résoudre de

tête: cherchez simplement à acquérir une idée générale de ladestination du problème

et des moyens qu"il se propose d"employer pour y parvenir. Travaillez de votre côté, en vous reportant au corrigé à la fin de chaque partie pour vérifier que vous êtes sur la bonne voie. Lorsque vous êtes confronté à une questionqui semble insurmon- table, consultez les indications puis réessayez. Si cela nesuffit pas, n"hésitez pas à lire en détail la solution de cette question, vérifiez que vous l"avez bien comprise et concentrez-vous sur la question suivante, sans l"aide du corrigé. C"est dans cette perspective que nous avons écrit cet ouvrage, auquel nous avons apporté tout notre soin: au moins trois personnes ont travaillé sur chaque corrigé. Nous espérons qu"il vous aidera efficacement dans votre préparation.

Écrivez-nous!

Vos critiques, suggestions ou propositions nous aideront àaméliorer encore nos ouvrages. Si vous souhaitez nous en faire part, n"hésitez pas à nous écrire: contact@H-K.fr Si vous détectez une erreur, nous vous serions reconnaissants de nous en faire part:

Errare.humanum.est@H-K.fr

Retrouvez-nous en ligne

Sur notre sitewww.H-K.fr, vous trouverez nos errata (les erreurs signalées et les correctifs), des compléments, et bien d"autres ouvrages. Nous attendons votre visite.

Bon courage, et bonne réussite!

Les auteurs

Cet ouvrage n"aurait pu exister sans l"aide d"Étienne Audebeau, Cédric Lépine, Stéphane Ravier, Laure Valentin et Gladys Vanhemelsdaele. Qu"ils ensoient ici remerciés.

Sommaire thématique

2004-2013

?: 1 fois depuis 2004 : 2 fois depuis 2004...? : 9 fois depuis 2004 ?: 1 fois depuis 2004 dont 2013 : 2 fois depuis 2004 dont 2013...? : 10 fois depuis 2004 dont 2013

E3A PSI Maths B

E3A PSI Maths A

CCP PSI Maths 2

CCP PSI Maths 1

CCP PC Maths 2

CCP PC Maths 1

CCP MP Maths 2

CCP MP Maths 1

Centrale PSI Maths 2

Centrale PSI Maths 1

Centrale PC Maths 2

Centrale PC Maths 1

Centrale MP Maths 2

Centrale MP Maths 1

Mines PSI Maths 2

Mines PSI Maths 1

Mines PC Maths 2

Mines PC Maths 1

Mines MP Maths 2

Mines MP Maths 1

X PC Maths

X MP Maths B

X MP Maths A

Algèbre générale

Polynômes

Combinatoire

Algèbre linéaire

Algèbre bilinéaire

Suites et séries numériques

Suites et séries de fonctions

Séries entières

Séries de Fourier

Calcul intégral

Équations différentielles

Analyse générale

Fonctions de plusieurs variables

Topologie

Géométrie

Sommaire

Énoncé

Corrigé

Concours Communs

Polytechniques

Mathématiques 1 Conditions pour que deux matrices aient un vecteur propre commun. matrices, diagonalisation, théorème du rang17 23 Mathématiques 2 Fonctions de la formex?→f(xn): séries et intégrales. changements de variable, intégrales dépendant d"un paramètre, séries de fonctions42 46

Centrale-Supélec

Mathématiques 1 Étude d"une intégrale dépendant d"un paramètre. séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d"un paramètre67 71 Mathématiques 2 Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre. algèbre, géométrie107 111

Mines-Ponts

Mathématiques 1 Le flot de Toda.

théorème spectral, équations différentielles, intégrales généralisées140 145

Mathématiques 2 Le rayon de Bohr.

séries entières, théorèmes d"interversion série/intégrale158 163 8

Polytechnique

Mathématiques Algorithme de Jacobi.

réduction, séries numériques183 187 Informatique Points fixes de fonctions à domaine fini. boucles for, boucles while, structures conditionnelles, récursivité200 205

Formulaires

Développements limités usuels en 0214

Développements en série entière usuels 215

Dérivées usuelles216

Primitives usuelles217

Trigonométrie220

CCP Maths 1 PC 2013 - Corrigé23

CCP Maths 1 PC 2013 - Corrigé

Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante); il aété relu par Arnaud Borde (École Polytechnique) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur la notion de vecteur propre commun à un couple de matrices (A,B)dans plusieurs situations. L"épreuve se divise en quatre parties très largement

indépendantes. Elles font toutes appel à l"algèbre linéaire, plus particulièrement aux

matrices. Ce sujet peut donc être utilisé dès que cette partie du programme a été traitée. Les parties I et III sont des cas particuliers, et sont donc plus faciles à aborder. •La première partie est consacrée à l"étude d"un exemple réelen dimension3. Elle est très calculatoire mais ne présente pas de difficulté majeure. On y aborde les notions de spectre, de polynôme caractéristique et de diagonalisabilité. •La deuxième partie, plus théorique, se place dans l"espace vectorielCn, avec n?N. On y établit une condition nécessaire et deux conditions suffisantes pour que deux matricesAetBaient un vecteur propre commun. Ces conditions portent sur le rang deAB-BAainsi que sur les valeurs propres des matrices. •La troisième partie se réduit à l"étude d"un autre cas particulier, cette fois-ci dans l"espace vectorielCn. Il permet en fin de partie de montrer que la condition nécessaire de la partie II n"est pas une condition suffisante,tout comme les conditions suffisantes de cette même partie ne sont pas nécessaires pour que deux matrices aient un vecteur propre commun. •La quatrième partie aborde de nouveau le cas général, et se focalise sur un type particulier de vecteur propre, dit sous forme normale; on cherche sous quelles conditions une matriceAadmet un vecteur propre sous cette forme normale. Cette partie sert de conclusion et fait davantage appel aux résultats des parties précédentes que le reste du sujet.

24CCP Maths 1 PC 2013 - Corrigé

Indications

Partie I

I.2.b Appliquer le théorème du rang.

I.2.c Utiliser les questions I.2.a et I.2.b pour conclure. I.3.b Énumérer les cas possibles puis se servir des questions I.1.b et I.1.d pour en

éliminer.

I.4.b Calculer le polynôme caractéristique de la matriceCet montrer qu"elle est diagonalisable.

Partie II

II.1.b Se servir de la question II.1.a et utiliser le théorème du rang pour conclure. II.2 Pour justifier l"existence d"une valeur propre au moins, penser que l"on se place sur unC-espace vectoriel. II.3.a Utiliser l"hypothèseAB = BApour montrer queψest à valeurs dansEλ(A). II.3.b La restriction deψàEλdéfinit un endomorphisme deEλ(A)et on a toujours un sous-espace vectoriel surC. II.4 Penser que les seuls endomorphismes d"un espace vectoriel de dimension1 sont les homothéties. II.5.b Remarquer queCuest un élément de l"image deC, puis utiliser la dimension de l"image deC. II.5.d Utiliser la question II.5.c pour démontrer la première inégalité. II.5.f Se servir du résultat de la question II.5.d ainsi que du fait quePkest supposée vérifiée pour tout entierk?[[1;n-1]]. II.6 Procéder par récurrence surn?N?en utilisant le résultat de la question II.4 pour l"initialisation. Distinguer ensuite deux cas, utiliser les résultats des ques- tions II.2 et II.3.b pour l"un, et les résultats de la question II.5 pour l"autre.

Partie III

III.2 Faire appel au résultat de la question III.1 pour la nature deg. III.3.a Procéder à un raisonnement par l"absurde.

III.4.a Démontrer une inclusion, puis l"autre.

III.5 Se servir des résultats des questions III.3 et III.4.

Partie IV

IV.1 Utiliser deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à la même valeur propre pour construire un vecteur propre sous forme normale. IV.2 Observer les coefficients diagonaux de la matrice. IV.3.b Utiliser les propriétés démontrées à la question IV.3.a.

IV.3.c Se servir de la propriété i) de la question IV.3.a ainsi que du résultat démontré

à la question IV.2.c.

IV.4.b Effectuer une combinaison linéaire des égalités de laquestion précédente. IV.4.d Raisonner de la même manière qu"à la question IV.3.c. IV.4.e Utiliser la même démarche qu"à la question IV.3.d. IV.4.g Se rapporter au cas de la question IV.4.d à l"aide de laquestion IV.4.f.

CCP Maths 1 PC 2013 - Corrigé25

I.Étude dans un cas particulier

I.1.aAfin de déterminer le spectre deA, il convient de déterminer le polynôme caractéristique deA, que l"on noteχA. Celui-ci s"écrit, pourX?K[X],

A(X) = det(A-XI3)

=??????-X-1-1 -1-X-1 -1-1-X??????

A(X) =-X(X2-1) + X-1-(1-X)

en développant par rapport à la première colonne, ce qui donne

A(X) = (X-1)(-X2-X + 2)

Le polynôme-X2-X+2possède deux racines simples,1et-2, d"où l"expression du polynôme caractéristique

A(X) =-(X-1)2(X + 2)

ce qui permet de déterminer le spectre de la matriceA:

Sp(A) ={1,-2}

I.1.bPour répondre à cette question, il faut dans un premier tempsvérifier que les vecteursu1,u2etu3sont des vecteurs propres deA, puis démontrer que la famille Fest une base deM3,1(R). Examinons tout d"abord les vecteurs deF

Au1=((

0-1-1 -1 0-1 -1-1 0)) (10 -1)) 1 0 -1)) =u1

Au2=((

0-1-1 -1 0-1 -1-1 0)) (01 -1)) 0 1 -1)) =u2

Au3=((

0-1-1 -1 0-1 -1-1 0)) (111)) -2 -2 -2)) =-2u3 On en conclut queu1etu2sont des vecteurs propres deAassociés à la valeur propre1, et queu3est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre-2. De plus, on constate queu1etu2sont linéairement indépendants, puisque le déterminant d"ordre2formé des deux premières lignes de la matrice(u1,u2)est non nul. Par conséquent, la famille(u1,u2)est libre dans son sous-espace propre associé, tout comme la famille(u3). De plus, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont en somme directe. On en déduit que la familleFest libre, et commeM3,1(R)est de dimension3, Fest une base deM3,1(R), constituée de vecteurs propres deA. I.1.cOn vient de déterminer une base deKn=Mn,1(K)formée de vecteurs propres deA? Mn(K), ce qui permet de dire que

Aest diagonalisable.

26CCP Maths 1 PC 2013 - Corrigé

I.1.dConsidérons les vecteursBu1,Bu2etBu3

Bu1=((3-3-1

0 2 0

1-3 1))

(l1 0 -1)) =((400))

Bu2=((

3-3-1 0 2 0

1-3 1))

(01 -1)) -2 2 -4))

Bu3=((

3-3-1 0 2 0

1-3 1))

(111)) -1 2 -1)) Les vecteursBu1etu1sont linéairement indépendants, puisque le déterminant d"ordre2formé par les deux premières lignes de la matrice(Bu1,u1)est non nul, et on vérifie de la même manière que les vecteursBu2etu2sont linéairement indépendants, tout comme les vecteursBu3etu3, ce qui veut dire que Aucun des éléments deFn"est un vecteur propre commun àAetB. I.2.aPour déterminer le spectre deB, on calcule le polynôme caractéristique deB, notéχB. Celui-ci s"écrit

B(X) = det(B-XI3)

=??????3-X-3-1

0 2-X 0

1-3 1-X??????

B(X) = (2-X)((3-X)(1-X) + 1)

en développant par rapport à la deuxième ligne, ce qui donne

B(X) =-(X-2)(X2-4X + 4)

Le polynômeX2-4X + 4possède une racine double égale à2, d"où l"expression du polynôme caractéristique:

B(X) =-(X-2)3

ce qui permet de déterminer le spectre de la matriceB.

Sp(B) ={2}

I.2.bOn cherche à déterminer les éléments de Im2(B) =Im(B-2I3), qui est le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice

B-2I3=((

1-3-1 0 0 0

1-3-1))

toutes colinéaires au vecteuru4=t(1,0,1). On en déduit

Im2(B) =Vect(u4)

La dimension de l"image de l"endomorphisme associé à la matriceB-2I3valant1, le théorème du rang permet d"écrire que la dimension du noyaude cet endomorphisme vaut2, d"où dim(E2(B)) = 2

46CCP Maths 2 PC 2013 - Corrigé

CCP Maths 2 PC 2013 - Corrigé

Ce corrigé est proposé par Pierre-Yves Bienvenu (ENS Ulm), il a été relu par Pauline Tan (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet d"analyse, composé de trois parties largement indépendantes, propose d"étudier des intégrales impropres, des suites d"intégrales et des séries de fonctions, notamment des intégrales de la forme? f(tn) dtou des séries de la forme?f(xn). •La première partie, intitulée " calculs préliminaires », établit notamment le résultat célèbre 0sint tdt=π2 grâce à la fonctionL(x) =? 0sint te-txdt via le calcul de sa dérivée seconde. On montre aussi que 1 0lnu u-1du=π26 en intégrant terme à terme un développement en série de l"intégrande. •Dans la deuxième partie, on applique inlassablement le théorème de convergence dominée pour donner des limites ou des équivalents à des suites d"intégrales, en particulier à 0 sin(xn) dx •La troisième partie est consacrée à l"étude de séries de la forme?f(xn)et à leurs limites en 1. Les outils mis en oeuvre sont les théorèmes sur les séries de fonctions: exploitation de la convergence normale pour intégrer, dériver, calculer des limites. La dernière question est extraordinairement difficile. Il n"est pas envisageable de terminer cette épreuve en moinsde quatre heures. Typique des CCP, répétitive, peu inventive, cette épreuve vous permettra de revoir les principaux théorèmes d"analyse.

CCP Maths 2 PC 2013 - Corrigé47

Indications

Partie I

I.1.3 Prendre comme primitive du sinus la fonction1-cos. I.2.2 Appliquer soigneusement le théorème de dérivation sous le signe somme. Les hypothèses doivent être méticuleusement vérifiées. I.2.5 TrouverL?comme primitive deL??obtenue à la question II.2.4; puis pour L, pratiquer une intégration par parties. Attention aux constantes d"intégration.

Remarquer queK = L(0).

I.3.3 Développer en série entière1/(1-u)et appliquer un théorème convenable d"interversion sommation-intégration.

Partie II

II.2.2 Sur un segment[η;1], faire le changement de variableu=tn.

II.2.3 Poser à nouveauu=tn.

II.3.1 Poser encore et toujoursu=tn!

II.4.3 Décomposer l"intégrale sur[0;+∞[en une intégrale sur[0;1]et une intégrale sur[1;+∞[. Pour la première intégrale, utiliser la question II.2.3. Pour la seconde, utiliser la question II.4.2.

Partie III

III.2.2 Pour étudier(1-x)F(x), injecter l"inégalité dans la série et reconnaître un développement en série entière célèbre.

III.3.1 Poseru=xt.

III.3.4 Multiplier par1-xl"encadrement de la question III.3.3 et étudier les deux termes extrêmes au voisinage de 1. III.4.2 Vérifier soigneusement les hypothèses qui président à la sous-partie III.3 et appliquer sa conclusion. Faire un changement de variablet=u-1. III.4.3 Très difficile. Écrire d"abord des encadrements comme en III.3, les intégrer, les sommer, et analyser le comportement des majorants et minorants pour obtenir la convergence.

48CCP Maths 2 PC 2013 - Corrigé

I.Calculs préliminaires

I.1.1La fonctionf:t?-→1-costt2

est définie et continue sur]0;+∞[. Établissons qu"elle est intégrable sur]0;1]et sur[1;+∞[. •Rappelons le développement limité de cosinus en 0 cost= 1-t2

2+o(t2)

On en déduit l"équivalent1-cost≂t2

2 doncftend vers1/2en 0. La fonction est ainsi prolongeable par continuité sur le segment[0;1]et, par conséquent, intégrable sur]0;1].

•D"autre part, sachant que pourt?R

|1-cost|?1 +|cost|?2 on af(t) =O?1/t2?quandttend vers+∞, d"où l"intégrabilité sur[1;+∞[ d"après le critère de Riemann.

L"intégraleK =?

01-costt2dtexiste.

Rappelons qu"une fonction continue sur un intervalle de la forme]a;b]qui admet une limite finie enafini est intégrable sur]a;b]. On dit que l"intégrale est faussement impropre. Il faut savoir les repérer au premier coup d"oeil. I.1.2SoitA>0. La fonctiont?-→t-1sintest continue sur]0;A]et tend vers 1 en 0, de sorte que la fonction est prolongeable par continuité sur le segment[0;A].

Ainsi,

L"intégraleD(A) =?

A

0sinttdtest définie pour toutA>0.

I.1.3Prenonsε >0. Les fonctions sinus et inverse sont de classeC1sur[ε;A]. En choisissant comme primitive du sinus la fonctiont?-→1-cost, l"intégration par parties fournit:? A

εsint

tdt=?1-costt? A A

ε1-costt2dt

Or, à cause du développement limité du cosinus en 0,

1-cosε

donc en faisant tendreεvers0dans les deux membres de l"égalité de l"intégrationquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Sujet de physique 1 CCP PC 2014 - CPGE Dupuy de Lôme

[PDF] PC 2016 - Decitre

[PDF] PHYSIQUE 1

[PDF] MP 2013 - Decitre

[PDF] CCP Physique 2 PSI 2005

[PDF] CCP Physique 2 PSI 2011

[PDF] CCP Physique 2 PC 2005

[PDF] CCP Physique-Chimie MP

[PDF] MP 2014 - Decitre

[PDF] MP 2015 - Decitre

[PDF] PHYSIQUE - CHIMIE

[PDF] CCP Physique 2 PSI 2003

[PDF] CCP Physique 2 PSI 2012

[PDF] CCP Physique 2 PSI 2013

[PDF] CCP Physique 1 PSI 2014