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ENSEMBLES DE NOMBRES

Nombres rationnels. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.

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Compléter le tableau suivant et pour chaque nombre

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Les ensembles de nombres

Fiche exercices

EXERCICE 1

Voici une liste de nombres:0,45;3;3

5;-12;91

7;104;

2;10-2;81

25;4

3Donner les nombres entiers

Donner les nombres décimaux qui ne sont pas entiers Donner les nombres rationnels qui ne sont pas décimaux

Donner les nombres irrationnels

EXERCICE 2

Donner le développement décimal illimité périodique de 1

11puis de

13EXERCICE 4

Nous savons que tout nombre rationnel non décimal admet un développement décimal illimité périodique, c'est

à dire:

si a est un rationnel non décimal alors a admet un développement décimal illimité périodique

La réciproque de cette proposition est-elle vraie?

A-t-on: si a admet un développement décimal illimité périodique alors a est un rationnel non décimal

On se propose de démontrer ce résultat sur un exemple, c'est à dire de montrer que si a admet un

développement décimal illimité périodique alors a peut s'écrire sous forme de fraction (le développement

décimal étant illimité le nombre a n'est pas un décimal) a=0,1314 1314

Écrire le nombre a sous forme de fraction.

EXERCICE 5

Pour démontrer que

2est un nombre irrationnel, il faut démontrer que 2ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction.

Pour effectuer cette démonstration, on va utiliser un raisonnement par l'absurde, c'est à dire on suppose que l'on

puisse écrire 2=a b avec a et b deux entiers relatifs non nuls et le pgcd de a et b égal à 1 (c'est à direa b

est une fraction irréductible) et on doit démontrer qu'il y a une contradiction avec cette hypothèse, ici on va

montrer que a et b ne sont pas premiers entre eux.

1. aÎN. Vérifier que le chiffre des unités de a² est égal au chiffre des unités du carré du chiffre des unités de a,

c'est à dire, compléter le tableau:

Chiffre des unités de a0123456789

Chiffre des unités de a²

2. Montrer que si

2=a b alors a²=2b²

3. Compléter le tableau:

Chiffre des unités de b0123456789

Chiffre des unités de 2b²

4. Conclure

Les ensembles de nombres

CORRECTION

EXERCICE 1

Les nombres entiers: -12;91

7=13;104=10000Les nombres décimaux qui ne sont pas entiers:0,45;3

5=0,6;10-2=0,01;

81 25=9 5=1,8 Les nombres rationnels qui ne sont pas décimaux: 4

3Les nombres irrationnels:

3; 2

EXERCICE 2

11≈0,0909...

13≈0,076923076923...

EXERCICE 3

a=0,1314 1314

a admet un développement décimal illimité périodique. La période contient 4 chiffres " 1314 ».

Si on multiplie a par 10000, on obtient un nombre ayant le même développement décimal

10000´a=1314,1314 1314

a= 0,1314 1314

On soustrait les deux équations:

9999a=1314

90900,01

001 01 001 1

0000000000001,31

3296703296700,01

001 09 021
03 04 01 001 09 021
03 04 1

Les ensembles de nombres

a=1314

9999=146

1111

EXERCICE 4

Exemples: 12413=a=12410+3

=12410²+6´12410+9

Le chiffre des unités est 9

a=417=410+7 =410²+14´410+49

Le chiffre des unités est 9

Chiffre des unités de a0123456789

Chiffre des unités de a²0149656941

Remarque: le chiffre des unités d'un " carré parfait » ne peut pas être égal à 2; 3; 7; 8.

2. Si 2=a b alors a=2beta²=2b² 3.

Chiffre des unités de b0123456789

Chiffre des unités de 2b²0286202882

4. Si a²=2b² alors le chiffre des unités de a² est égal au chiffre des unités de 2b²

Donc a² et 2b² ont pour chiffre des unités 0 Le chiffre des unités de a est 0, celui de 2b² est 0 ou 5. Conséquence: a et b sont divisibles par 5 et la fraction a bn'est pas irréductible.

Conclusion: on ne peut pas écrire

2sous forme de fraction irréductible et le nombre 2est irrationnel.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Les ensembles de nombres

Fiche exercices

EXERCICE 1

Voici une liste de nombres:0,45;3;3

5;-12;91

7;104;

2;10-2;81

3Donner les nombres entiers

Donner les nombres irrationnels

EXERCICE 2

11puis de

13EXERCICE 4

à dire:

Écrire le nombre a sous forme de fraction.

EXERCICE 5

Pour démontrer que

1. aÎN. Vérifier que le chiffre des unités de a² est égal au chiffre des unités du carré du chiffre des unités de a,

Chiffre des unités de a0123456789

Chiffre des unités de a²

2. Montrer que si

3. Compléter le tableau:

Chiffre des unités de b0123456789

Chiffre des unités de 2b²

4. Conclure

Les ensembles de nombres

CORRECTION

EXERCICE 1

Les nombres entiers: -12;91

7=13;104=10000Les nombres décimaux qui ne sont pas entiers:0,45;3

5=0,6;10-2=0,01;

3Les nombres irrationnels:

EXERCICE 2

11≈0,0909...

13≈0,076923076923...

EXERCICE 3

10000´a=1314,1314 1314

On soustrait les deux équations:

9999a=1314

90900,01

0000000000001,31

3296703296700,01

Les ensembles de nombres

9999=146

EXERCICE 4

Exemples: 12413=a=12410+3

Le chiffre des unités est 9

Le chiffre des unités est 9

Chiffre des unités de a0123456789

Chiffre des unités de a²0149656941

Chiffre des unités de b0123456789

Chiffre des unités de 2b²0286202882

4. Si a²=2b² alors le chiffre des unités de a² est égal au chiffre des unités de 2b²

Conclusion: on ne peut pas écrire