[PDF] CCP – 2014 – Physique 1 – corrigé O.Ansor ( )

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CCP - 2014 - Physique 1 - corrigé O.Ansor

Mécanique

Exercice 1 : Satellites

I.1. le TMC appliqué à P s"écrit : ()( ) ( )30O .()OP t est constamment normal au vecteur constant

OL. P(t) évolue donc dans le plan normal à

OL, passant par O.

I.2. 2 2 O r r zL re m re r e mr e cst C r csteqq q q= ´ + = =⇒= = ɺ ɺ ɺɺ.

I.3. d"après le PFD :

[]2 2 2""P rma e mC u u u mMGu= - + = - i . d"où l"équation différentielle du mouvement :

2""MGu uC+ =, de solution : ( )( )002 2cos 1 cosMG MGu A eC Cq q e q q= + - = + -  . Ou encore :

( )01 cospree q q=+ - , avec:

2CpMG=.

I.4. ( ) ( )0 02 222

1 1 1 1

p p p pr r a ae e e eq q p+ + = + = =⇒=+ - - -. I.5.

. f est conservative et dérive de l"énergie potentielle ( )PmMG mMGE r cstr r= - + = - ( ()0PE cst¥ = =).

I.6.

2 2 2 21 1"

2 2C PE mv mC u u = = + .fest conservative, donc m C PE E E cst= + =.Or :

2

PmC uE mMGup= - = -

22 22 2 2222

22211 12 2 1 2 2 12 2 2 2m

mC emC e mC e mC mCEe e e ep p p p p p-

Soit :

2

2 2mmC mMGEpa a= - = -.

I.7. la surface balayée par

OPpendant dtest : 1

2 2 2

C dS C abdS r rd dt cstdt T

pq= ´ =⇒= = = (loi des aires) .

D"où :

22abTC

p=. Or :

22 2 2

2 2 2 2 2

2a paTpMG

p=. Soit : 32

24 T aMG

p=. I.8. 22 4
ST T

T TM Grv

T r p p= = . 2 4ST M T M M M Grv vr rp= =. AN : 1#29,8Tv kms- . 1#24,2Mv kms-. I.9.

1,25 2

T Mr ra UA+= =.

)( )2 0m P

PE Evm-=.

I.10. 32

2 T aMG

pD =. AN : #258 16 9minT jours hD. M

MrTvbD =⇒M

Mv T rbD=.AN : #0,377 21,6radb°≃.

I.11. d"après le TMCM : 2

0 2 0 0 M Mmm mmr G Gr rw w=⇒=. AN : 1#1,87 .rad sw-.

I.12. d"après le PFD appliqué à P

1, on a :

( )( )2 0 2 0 22

Mmmmr h Gr hw- = --R( )

22
0 01 1

2MmmGrr h ⇒= - -  

R.

Au 1ier ordre :

2 2 2 0 0 ≃R . soit : 2 4 0

MGmm h

r-≃R. AN : 8#3.10N-R, trop faible. Exercice II : système articulé de quatre solides II.1. 3 3 1 3 2 3 4 3 4Tm C C mC C mC C MC C MC C= + + =⇒ 3 3 4 T

MC C C Cm=

. 3 3 4 T

Md C C C Cm= =.AN : 1d m=.

II.2. la CRSG des roues

Sk s"écrit : ()0k k kI S C k k x z y xv v C I ve e re v r ew w wÎ= + ´ = - ´ = + = . D"où : v

rw= -.

II.3. le TMC appliqué à S

1en Ck s"écrit : ()( )0k

kC k C k dL SM dt= + R . Or : ( )kC k zvL S j j erw= = - et

()()kC k k k y k x k y k zkM C I re T e N e rT e= ´ = - ´ + = R R. D"où : 2kvT jr= -ɺ .

II.4.

v cste=⇒ 0kT= et d"après le TRC appliqué au système 1 2 3 4S S S SÈ È È, on a:

()0T

T k kd m vF m g

dt= + + + =⇒ R RsinTF m ga= et 1 2cosTN N m ga+ =.

II.5. le TMC appliqué au système

1 2 3S S SÈ È s"écrit : ()( ) ( )( )

3 3 3 3 1 2

1,2,30C

C C CdLM M M Fdt= + + +

R R. Or :

()()()()3 3 3 31,2,3 1 2 3C C C CL L L L= + + ; ()3311Cx xL j C C mv j le ve jw w w= + ´ = + ´ = ; ()32CL jw= ;

()33 0CL=(mouvement de translation pure) ; ()31 3 1 11CzM C C lN e= ´ = - R R ; ()32 3 1 21CzM C C lN e= ´ = R Ret ()33CzM F C H F hFe= ´ = - . D"où :

2 10 ( )z zl N N e hFe= - - . soit : ()2 1sinTl N N hF hm ga- = =.

II.6.

2cos sin2

Tm g hNla a = +   . 1cos1 tan2 Tm g hNlaa = -  . II.7. pour que le contact entre les roues et le câble persiste, il faut avoir :

10N>et 20N>. Soit : tanl

ha<. AN : tan 1,67a< ou 59a< °.

II.8. le TMC appliqué au système

1 2 3 4S S S SÈ È È s"écrit :

3

3 3 3 3 3

1 2

1,2,3,40C

C T C C C C CdLv m v M M M F M Mgdt+ ´ = + + + + R R .

()()3 31,2,3,4 1,2,3C C zL L J eq= + ɺ.()3C T C x T xv m v ve m ve d eqq´ = ´ + ɺ. on suppose que

pour de faibles amplitudes, maxd vqɺ≪ . Ainsi : 30C T Cv m v´ » .

3 4 3 4sinT TJ m C C g m C C gq q q= - -ɺɺ≃. De la forme : 20q q+W =ɺɺ : oscillations sinusoïdales de pulsation :

3 4Tm C C g

JW =. AN : 1#4,42 .rad s-W.

Remarque :

( )3C T C x T x T zv m v ve m ve d e m vd eqq q q a´ = ´ + = - ɺ ɺ ordre en q et ses dérivées, on obtient

II.9. S4 est en équilibre dans (3"C xyzR

Soit :sinT Mv Mga= +ɺ et N Mg=

II.10. le TMC appliqué à S4 en C3 dans le référentiel [ ] [340 sin cos 0x r xzC C Mg Mve e gu ve g v e´ - =⇒´ - = - + - = ɺ ɺ ɺ ( )sinsintan cos sincos cosv g b a ab b a b a- +- = = = - +- -ɺ

AN : ( )tan # 0,46b a- - .

II.11. le TRC appliqué au système

1 2 3 4S S S S

1 2Tm v F T T= + +ɺ et d"après II.3 kT j= -

II.12. (1) 1 2cosTN N m ga⇒+ =.

le TMC appliqué au système

1 2 3S S SÈ È

( )3

21,2,3

C zjvL er= -

. D"où :

2 ( )vj l N N hFr- = - -ɺ

On en déduit :

2cos sin

2 2 2 T T

Tm g hm gh j hN m vl l lr r

a a = + + + -  

Thermodynamique

Exercice III : Ondes thermique

III.1. le problème est invariant par translation suivant O

T(z,t) .

III.2.

( ) ( ), ,th Mj M t T M tl= - Ñ   . j en M à t. l : conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale

III.3. ( )( ),i tM t f z ewq= .

2

D f zt t dz D

III.4. la solution générale de (1) est f z A i z B i z

Physiquement, ( ),T z t®¥est finie, d"où

( )sinC T C x T x T zv m v ve m ve d e m vd eq q q a´ = ´ + = -⇒ ɺ ɺ ()sin sinT TJ m vd m C C gq q q a q+ - = -ɺɺ ɺ

3 4sin 0T TJ m vd m C C gq q a q- + =ɺɺ ɺ: équation de solution diverg

)C xyz.Donc :(sin cos 0xx yMg Mve Mg T Mv e Mg N ea a+ - = - + - + - + = ɺ ɺR cosN Mga. dans le référentiel s"écrit :

]( )0 sin cos 0x r xzC C Mg Mve e gu ve g v eb b a´ - = - + - =   ɺ ɺ ɺ . on en déduit

( )tan cos sinb a a a- = = = - +⇒( )tan tancos v gb a a- = - -ɺ

1 2 3 4S S S SÈ È È,(cf II.4) s"écrit: ( )Td m vF m gdt= + + + =

2vT jr= -ɺ. D"où : 22sin

1 2 3S S SÈ È (Cf II.5. ) s"écrit : ( )3

1 2

1,2,3C

z z z dLlN e lN e hFedt= - + +-

2 12 ( )vj l N N hFr- = - -ɺ . soit : ( )2 1T Tl N N hm g hm v- = + + -

12 2 2

h j hN m vl l lr r

ɺ et 1cos sin

2 2 2

T Tm g hm gN m vl l lr r

a a= - - + -

Thermodynamique - Géothermie

: Ondes thermique

le problème est invariant par translation suivant Ox et invariant par translation suivant Oy, donc

  thj : vecteur densité de courant thermique. (T M t : conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale 22

2 20d f ziD f zt t dz D

( ) exp (1 ) exp (1 )f z A i z B i zD D est finie, d"où : B=0. )3 4sin sinT TJ m vd m C C gq q q a q+ - = - . Au 1ier de solution divergente. ) ( )sin cos 0xx yMg Mve Mg T Mv e Mg N ea a+ - = - + - + - + = ɺ ɺ. on en déduit : tan tancos vb a aa- = - -ɺ.

0 (1)T k kF m g= + + + =⇒ R R

1 2z z zlN e lN e hFe= - + +- .

2sin 1

cos sin12 2 2Tm g hm gh j hN m vl l lr r

Géothermie

et invariant par translation suivant Oy, donc : T(M,t) (),T M t :température absolue

: conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale :( ) ( )[ ], ,Mj M t V M tg= - Ñ.

21" 0if z f zD

w+- = (1). .A et B constantes.

III.5. ( ), ( ) exp exp

z i tzz t f z e A z i t z Ae i tD Dwdw wq w w d , avec : 2Ddw= . ()0,0A aq= =.

III.6.

( )0, cos zzT z t T ae tdwd profondeur en s"atténuant.

2pd est la pseudo-période des variations spatiales de l"onde thermique.dreprésente

aussi une distance caractéristique sur la quelle l"amplitude des fluctuations s"annule. Après une profondeur de

quelques d , les variations occasionnelles de température à la surface ne sont plus ressenties.

III.7.

( ), cos zzz t ae tdq wd 10 10

Laaed-=⇒10ln10Ld=.

III.8.variations quotidiennes de température, la période des variations temporelle de température à la surface est

2ptw= =1 jour. 2#8,4Dcmdw= .D"où : 10#20L cm.

Pour les variations annuelles,

2ptw= =1an, #1,6md et 10#3,70L m : trop profond ! . On peut donc enfouir les

canalisations à une profondeur de 20 à 30 cm pour s"emparer des fluctuations journalières de température.

III.9.

10ln10 ln10

2 Ltt wd w pD = = = ne dépend que de la fréquence des fluctuations de T à la surface.

AN : variations quotidiennes,

# 8 48mint hD. Variations annuelles : # 47 17ht joursD.

III.10. la pertinence du modèle réside dans le faite qu"il permet d"évaluer la profondeur que peut attendre une

fluctuation de température de surface et le temps qu"elle met pour atteindre cette profondeur. Néanmoins, ce

modèle est simpliste et ne prend pas en compte l"inhomogénéité et les variations temporelles (surtout

saisonnières) de la conductivité thermique, les fluctuations aléatoires de température à la surface qui ne sont pas

périodiques et la possibilité de production d"énergie interne .

Exercice IV : Pompe à chaleur géothermique

IV.1. diagramme de Clapeyron (voire figure)

IV.2. a)

()()()v v ll T h T h T= -. b) ( )1pRcMg g=-. c) pour un GP, ( )( )1pRdh c dT h T T cstM g g=⇒= +-.

IV.3. a)

0 , 0Cw q> < et 0fq>. cqew= -.1Ce e< < (1ier et

2 ième principe). b)1

1 ( / )

c c f c f c q qe w q q q q= - = =+ + et d"après le 2ième principe : ( )0 0ff f f cc c c f cc c c q q T T sqs tq s

T T q T q+ + = ³⇒= - -

d"où :1 1 1 1c C f f c fc f c c c

Te eT T s TT T

T q T= £ = =-- - -. 0C ce e s=⇒= : c"est le cas d"un cycle totalement réversible.

IV.4. a) cycle thermodynamique (voir figure)

b)

2 3cq q®=. 4 1fq q®=.

c) au cours de 23 : c"est l"air intérieur à la maison de température

Tc qui joue le rôle de thermostat.

IV.5. a) sur le diagramme de Clapeyron,

w est représenté par l"aire du cycle. b) en augmentant fT à cTconstante, l"aire du cycle, donc w, diminue sans que cq change. L"efficacité e va donc augmenter.

c) pour une PAC sur aquifère, la température de l"eau glycolée est relativement élevée par rapport à celle de

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