[PDF] Relation Soit E un ensemble l'





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2) La relation d'inclusion ICY est une relation d'ordre (chap. II. § 1 prop relation d'inclusion est une relation d'ordre entre parties d'un ensemble E ...



Chapitre3 : Relations dordre

relation ” définie par x ” y ðñ x ´ y est pair. ‚ Sur l'ensemble 乡(Ω) des parties d'un ensemble Ω on connaît la relation d'inclusion



1. Complexité des algorithmes 1. Complexité des algorithmes

23 sept. 2011 relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ∅ ⊆ {a}. - {a} ... Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble est une relation. - Réflexive.



Chapitre 1 ENSEMBLES

L'ordre naturel ≤ sur l'ensemble des nombres réels est une relation d'ordre total. 2. La relation d'inclusion ⊂ sur 乡(E) est une relation d'ordre. Elle n 



Relation

Soit E un ensemble l'inclusion notée ⊆



CHAPITRE 2 RELATION DORDRE

— Soit E une collection d'ensembles. Alors la relation d'inclusion est une relation d'ordre sur E. 2.2.3. Notation. — Sauf mention au contraire 



1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre

relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ⊂ est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions. Soit R 



Inclusion différentielle impulsive dordre fractionnaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.4 Relation entre la dérivée de Caputo et la dérivée de Riemann-Liouville . . 20. 2.5 La transformée de Laplace 



Solution viable dune inclusion différentielle du premier ordre

2.3 Caractérisation d'une relation d'ordre par une multi-application 30. 2.4 inclusion différentielle du premier ordre. Depuis les années 80 s'est déve ...



Preuve et Notations asymptotiques [pf] Exercices de cours

Objectif. Cet exercice manipule le grand-Oh. Donnez les relations d'inclusion entre les ensembles suivants : O(nlog n) O(2n)



Chapitre3 : Relations dordre

d'un ensemble ? on connaît la relation d'inclusion



1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre

relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ? est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions.



Relation

Soit E un ensemble l'inclusion notée ?



RELATIONS BINAIRES

La relation d'inclusion ? sur. (E) est réflexive transitive et antisymétrique. • La relation « avoir le même signe » sur ? est réflexive



1 Relations binaires 2 Majorant minorant

https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/laurent.regnier/enseignement/LangageMath/TD4-relations-d_ordre.pdf



Chapitre 1 ENSEMBLES

La relation d'inclusion ? sur ?(E) est une relation d'ordre. Elle n'est pas d'ordre total. Test 1.4. La relation de divisibilité sur N.



Chapitre 4 Relations dordre

R est appelée une relation d'ordre ou un ordre partiel si les conditions l'ensemble de ses parties P(T) est partiellement ordonné par l'inclusion.



Relations dordre

Définition (relation binaire). Soit E un ensemble. Une relation binaire. R sur E est un sous-ensemble de E × E. On note xRy pour signifier que.



Liste des symboles mathématiques usuels (LATEX)

Vous trouverez ci-dessous la liste des commandes LATEX permettant de produire les symboles mathématiques les plus courants. Cette liste est loin d'être 



1. Complexité des algorithmes

23 sept. 2011 3 . Relations fonctions et ordres vendredi 23 septembre 11 ... relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ? ? {a}.



7 Relations and Partial Orders - MIT OpenCourseWare

A relation is a mathematical tool for describing associations between elements of sets Relations are widely used in computer science especially in databases and scheduling applications A relation can be de?ned across many items in many sets but in this text we will focus on binary relations which represent an association



Relation binaire relation d'ordre treillis

Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E on a xRy ou yRx Dans le cas contraire on dit que l'ordre est partiel Exemples est un ordre total sur N Z et R En général l'inclusion est un ordre partiel



Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre

Visualisation d’une relation d’ordre : idée d’orientation • Lorsque la relation d’ordre est totale comme 6dans R On peut représenter R sur une droite ?? ?7 ?2 53 0 1 ? 20 3 +? e ? 17 • Ce n’est plus le cas lorsque la relation d’ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité



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* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’un ensemble: X = {abc} * Les entiers naturels peuvent etre munis d’un ordre plus subtilˆ que l’ordre usuel q est plus grand que p si q est multiple de p D48 est un treillis J -L Baril Relation binaire relation d’ordre treillis

  • Cours

    Définition

  • Exemples

    Voici quelques exemples de relation d’ordre 1. L’ordre lexicographique qui est l’ordre “du dictionnaire”. 2. La relation classique ? sur les entiers ou les réels. 3. La relation < sur les réels n’est pas une relation d’ordre : on n’a pas x < x. 4. La relation d’inclusion pour les ensembles. On note A ? B si A est inclus dans B.

Comment définir une relation d’ordre?

Relation d’ordre De?nition:´ Une relation sur X ? qui est re?exive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre.´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ? a` la place de ?. Si (x,y) ? X2, x et y seront comparables si x ? y ou y ? x.

Comment savoir si une relation d’ordre est totale ?

Cette page a pour but de présenter les relations d’ordre à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés. Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale.

Comment définir une relation d’ordre sur un ensemble ?

Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale. On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des entiers naturels par Elle est bien réflexive. On a bien : D’où x = y.

Quelle est la différence entre inégalité et inclusion ?

L'inégalité est une relation d'ordre sur N, Z ou R. L'inclusion est une relation d'ordre. Définitions. Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E, on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.

Relation

Université de Toulouse

Année 2020/2021

1 / 35

Relations

Relations2 / 35

Définition

Relation binaire

Unerelation binaireRd"un ensemble de départEvers un ensemble d"arrivéeFest définie par une partieGREF. Si(x;y)2GR, on dit quexesten relation avecyet l"on notexRy.

SiE=Fon dit queRest unerelation internesurE.Exemples :SoientA=fa;b;c;d;egl"ensemble des élèves etB=fMath;Info;Ang;Physg

l"ensemble des cours. On peut définir les relations suivantes :Rqui décrit si un étudiant suit un cours régulièrement :

G

R=f(a;Math);(a;Phys);(b;Info);(c;Ang);(d;Ang);(e;Math);(e;Ang)gla relationSdécrit si un étudiant a acheté un cadeau à un autre étudiant définit par

G

S=f(b;a);(a;a);(c;a);(a;d);(d;c)gRelations3 / 35

Mode de représentation

Diagramme cartésien et matrice de relationRMathPhysAngInfo aVV bV cV dV eVVSabcde aV bVV cVV dV e

Diagramme sagittal

a b c d eMathPhysAngInfoa bcde

Relations4 / 35

Relation fonctionnelle

Une fonctionf:E!Fassocie a chaque élément deEau plus un élément deF. On peut alors définir la relationRfdéfinie par le graphe G

Rf=f(x;f(x)) :x2Eg EF:

Réciproquement, pour une relationRtelle que pour toutx2Eil y a au plus uny2FvérifiantxRyalors on peut lui associer une fonctionftelle quef(x) =ysi et seulement sixRy. On dit queRest unerelation fonctionnelle.Relations5 / 35

Relation réflexive

Réflexivité

Une relationRestréflexivesi pour toutx2Eon axRx:Diagramme cartésien : la diagonale doit être notée.

Diagramme sagittal : chaque sommet admet une boucle. 123
123
1VVV 2VV 3V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est réflexive. Sur?, la relation est réflexive, maisRelation symétrique

Symétrie

Une relationRestsymétriquesi pour toutx;y2Eon axRysi et seulement siyRx:Diagramme cartésien : symétrie par rapport à la diagonale. Diagramme sagittal : quand une flèche va deaversb, il y a aussi une flèche debversa.123 123
1VV 2V 3V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est symétrique. Sur?, la relation est n"est pas symétrique.

La relation

lsurAest symétrique.Relations7 / 35

Relation transitive

Transitivité

Une relationResttransitivesi pour toutx;y;z2Etel quexRyetyRz alors nécessairement on axRz.Diagramme sagittal : tout chemin qui part d"un sommetset va à un sommets0en suivant la direction des flèches admet un raccourci, c"est

à dire un chemin de longueur un.1

2341234

1V 2VVVV 3 4V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est transitive. Sur?, la relation est transitive. La relation "est le père de" n"est pas transitive.

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Relation antisymétrique

Antisymétie

Une relationRestantisymétriquesi pour toutx;y2EvérifiantxRyet yRxalors on ax=y:1

2341234

1V 2VV 3VV 4VV

Exemples :Sur?, la relationest antisymétrique.

La relation

lsurAn"est pas antisymétrique.Relations9 / 35

Relations d"équivalence

RelationsRelations d"équivalence10 / 35

Définition et exemples

Définition

Une relation binaire définie sur un unique ensembleEest unerelation

d"équivalencesi elle est réflexive, symétrique et transitive.Exemples :Par définition, pourx;y2?, on notexy[modn], lirexest congru àymodulo

n, si et seulement s"il existek2?tel quexy=kn. On a défini une relation d"équivalence sur

?car on peut vérifier :Réflexivité :xx[modn]carxx=0:net 02?.Symétrie :sixy[modn]alors il existek2?tel quexy=k:n, on a donc

yx=k:netk2?d"oùyx[modn].Transitivité :sixy[modn]etyz[modn]alors il existek;k02?tels que xy=k:netyz=k0:n. Ainsixz=xy+yz= (k+k0):n. On en déduit que xz[modn]RelationsRelations d"équivalence11 / 35

Définition et exemples

Définition

Une relation binaire définie sur un unique ensembleEest unerelation d"équivalencesi elle est réflexive, symétrique et transitive.Exemples :

Sur n"importe quel ensemble la relation=est une relation d"équivalence..Sur l"ensemble des motA, la relationlest une relation d"équivalence.Sur l"ensemble des personnes, la relation "a le même âge que" est une relation

d"équivalence. Des personnes liées appartiennent à la même tranche d"âge.Sur l"ensemble des triangles, la relation "a les mêmes angles que" est une relation

d"équivalence. Des triangles liés par cette relation sont dits semblables.La relationRdéfinie sur?rf0gparxRysi et seulement sixy>0 est une relation

d"équivalence. Deux réels liés par cette relation ont le même signe.

RelationsRelations d"équivalence12 / 35

Classes d"équivalence et partition

Classes d"équivalence

SoitRune relation d"équivalence sur un ensembleE. Laclasse d"équivalenced"un élémentx, notéCl(x), est l"ensemble des éléments de

Equi sont en relation avecx. Autrement dit

Cl(x) =fy2E:xRyg:Proposition

Une classe d"équivalence n"est jamais vide.

L"intersection de deux classes d"équivalence distinctes est vide.

RelationsRelations d"équivalence13 / 35

Classes d"équivalence et partition

Partition

SoitEun ensemble, la famille d"ensembles(Ai)i2Iindexée parIest une

partitionsi :l"union des(Ai)i2Iest égale àE, c"est à direE=[i2IAi,deux éléments de(Ai)i2Idistincts sont disjoints, c"est à dire que si

i6=jalorsAi\Aj=;.Théorème Etant donné une relation d"équivalence sur un ensemble, les classes d"équivalences forment une partition.

RelationsRelations d"équivalence14 / 35

Ensemble quotient

Ensemble quotient

SoitEun ensemble munit d"une relation d"équivalenceR. L"ensemble quotient est l"ensemble des classes d"équivalence de tous les éléments deE.

On le noteE=R.Théorème

Etant donné une relation d"équivalenceRsurE, la fonction suivante est surjective : f:E!E=R x7!Cl(x)RelationsRelations d"équivalence15 / 35

Relations d"ordre

RelationsRelations d"ordre16 / 35

Définition

Définition

Une relation binairesur un ensembleEest unerelation d"ordresi elle est réflexive, transitive et antisymétrique. Autrement dit : réflexive :on a xxpour toutx2E. transitive :si xyetyzalorsxz. antisymétrique :si xyetyxalorsx=y.Un ordre esttotalsi pour tous élémentsx;y2Eon axyouyx. Un

ordre est ditpartielpour souligner qu"on n"a pas forcément cette propriété.RelationsRelations d"ordre17 / 35

Exemples d"ordres sur les nombres

etsont des relations d"ordre total sur?qui s"étendent à?,?

ou?.ne sont pas des relations d"ordre sur?.Sur?la relationadiviseb, notéeajb, est une relation d"ordre mais

n"est pas total. On rappelle queadivisebs"il existek2?tel que b=ak. réflexive :on a xxpour toutx2?. transitive :si xdivisey(c"est à dire il existektel quey=k x) et ydivisez(c"est à dire il existektel quez=k0y) alors z=k0y= (k"˛)xdoncxdivisez. antisymétrique :si xyetyxalorsx=y.RelationsRelations d"ordre18 / 35 Exemples d"ordre ordres sur les parties d"un ensemble SoitEun ensemble l"inclusion, notée, est une relation d"ordre sur l"ensemble des partiesP(E)qui n"est pas totale. réflexive :on a AApour toutA2 P(E). transitive :si ABetBCalorsAC. antisymétrique :si ABetBAalorsA=B.RelationsRelations d"ordre19 / 35

Ordres sur les mots

Il existe différentes notions pour ordonner l"ensemble des motsA:La relationuest préfixe dev, notéeuvperdvet définit par9w2 A

tel quev=u:w, est une relation d"ordre qui n"est pas totalSoitun ordre total surAon définit l"ordre lexicographiquesur

A ulexv()8 >:upréfixe dev ou bien

9m2?tel queu1:::um=v1:::vmetum+1vm+1

C"est une relation d"ordre total surA. Par exemple : alexfa,poulelexpoulet,avionlextrain, livraisonlexlivre,footlexfort.RelationsRelations d"ordre20 / 35

Mode de représentation

123123

1VVV 2VV 3V Pour simplifier la lecture du diagramme, on supprime les boucles dues à la réflexivité et les flèches déductibles par transitivité :123 L"idée est de représenter les sommets du diagramme et tracer seulement les flèches correspondant aux successeurs immédiats. On dit queyest un successeur immédiat dexsixy,x6=yet il n"existe pas deztel que xzy.RelationsRelations d"ordre21 / 35

Fonctions croissantes et décroissantes

Definition

SoientAetBdeux ensembles munis respectivement des relations d"ordre

AetBetf:A!Bune application. On dit quefestcroissantesixAyalorsf(x)Bf(y).festdécroissantesixAyalorsf(y)Bf(x).feststrictement croissantesixAyetx6=yalorsf(x)Bf(y)

etf(x)6=f(y).feststrictement décroissantesixAyetx6=yalors f(y)Bf(x)etf(x)6=f(y).Proposition Une application strictement croissante ou strictement décroissante dont l"espace de départ est muni d"un ordre total est injective.

RelationsRelations d"ordre22 / 35

Elément minimal, borne inférieure

Soit(E;)un ensemble ordonné etAE.x2AestminimaldeAs"il n"admet pas d"élément plus petit dansA.x2EminorantdeAsi8y2Aon axyAadmet au plus un seul minorant dansA(par antisymétrique), c"est

le plus petit élémentdeA, s"il existe on le notemin(A).Le plus grand des minorants est laborne inférieure, on la note

inf(A). Autrement dit :

8y2Aon ainf(A)yet8zminorant deAon azinf(A)RelationsRelations d"ordre23 / 35

Elément maximal, borne supérieure

Soit(E;)un ensemble ordonné etAE.x2AestmaximaldeAs"il n"admet pas d"élément plus grand dansA.x2EmajorantdeAsi8y2Aon ayxAadmet au plus un seul majorant dansA(par antisymétrique), c"est

le plus grand élémentdeA, s"il existe on le notemax(A).Le plus petit des majorants est laborne supérieure, on la note

sup(A). Autrement dit :

8y2Aon aysup(A)et8zmajorant deAon asup(A)zRelationsRelations d"ordre24 / 35

Induction

RelationsInduction25 / 35

Ordre bien fondé

Définition

Un ensemble ordonné(E;)estbien fondés"il n"existe pas de suite infinie strictement décroissante d"éléments deE.De manière équivalente, on a :

Théorème

Un ensemble ordonné(E;)est bien fondé si et seulement si toute partie non vide admet au moins un élément minimal.Examples L"ordre usuelsur?est bien fondé mais il ne l"est pas sur?,?,

[0;1].L"ordrejsur?n f0;1gdéfini par "ajb()adiviseb" est bien fondé.SoitAun alphabet contenant au moins deux lettres,vperdest bien

fondé mais paslex.RelationsInduction26 / 35

Application à la terminaison d"algorithme

Variant de boucles

Etant donné(E;)un ordre bien fondé, unvariantde boucle est une fonction de l"ensemble des états du programme dansEstrictement décroissant à chaque passage dans la boucle.Proposition Si une boucle admet un variant alors elle termine.

Algorithme d"Euclide :

Donnée :(x;y)2?2

Résultat : le pgcd dexety

a x b y whileb6=0dotmp a a b b tmp[modb]RelationsInduction27 / 35 Application à la terminaison des algorithmes récursifs

Proposition

Soitfune fonction récursive définit sur un ensemble ordonné(E;)bien fondé. Sifest défini sur les éléments minimaux et si pour toutx2Enon minimal, le définition def(x)ne fait appel à des valeursf(y)pouryx avecx6=yalorsfest bien définit.Examples : On considère la fonctionfactdéfinie par :fact(0) =1;fact(n+1) = (n+1)fact(n). Elle est bien définie car(?;)est bien fondé.

On considère la fonctionfdéfinie sur?n f0;1gpar :f(p) =1 sippremier;f(n) =f(a) +f(b)sin=abeta6=1 etb6=1.

Elle est bien définie car(?n f0;1g;j)est bien fondé.RelationsInduction28 / 35 ?et le principe de récurrencePrincipe de récurrence SoitPune propriété dépendant d"un élémentnde?. Si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées

Initialisation :P(0)est vraie,

Héridité :8n2?on a "P(n)est vraie=)P(n+1)est vraie"

Alors pour toutn2?, la propriétéP(n)est vraie.Preuve :On raisonne par l"absurde : supposons que les hypothèses du théorème sont vraies

mais que la conclusion est fausse. SoitX=fn2?;P(n)est fausseg. L"ensembleXest une partie non vide de?, comme(?;) est bien fondé,Xadmet un plus petit élément notén0. CommeP(0)est vraie, on an0>0 doncn01 est un entier positif ou nul, autrement dit n

012?.P(n01)est vraie carn01=2X. Par hypothèseP(n01) =)P(n0)donc

P(n0)est vraie ce qui est contradictoire avec le fait quen02X.RelationsInduction29 / 35 ?et le principe de récurrence généraliséPrincipe de récurrence généralisé SoitPune propriété dépendant d"un élémentnde?. Si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées

Initialisation :P(0)est vraie,

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