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2) La relation d'inclusion ICY est une relation d'ordre (chap. II. § 1 prop relation d'inclusion est une relation d'ordre entre parties d'un ensemble E ...
Chapitre3 : Relations dordre
relation ” définie par x ” y ðñ x ´ y est pair. ‚ Sur l'ensemble 乡(Ω) des parties d'un ensemble Ω on connaît la relation d'inclusion
1. Complexité des algorithmes
23 sept. 2011 relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ∅ ⊆ {a}. - {a} ... Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble est une relation. - Réflexive.
Chapitre 1 ENSEMBLES
L'ordre naturel ≤ sur l'ensemble des nombres réels est une relation d'ordre total. 2. La relation d'inclusion ⊂ sur 乡(E) est une relation d'ordre. Elle n
Relation
Soit E un ensemble l'inclusion notée ⊆
CHAPITRE 2 RELATION DORDRE
— Soit E une collection d'ensembles. Alors la relation d'inclusion est une relation d'ordre sur E. 2.2.3. Notation. — Sauf mention au contraire
1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre
relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ⊂ est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions. Soit R
Inclusion différentielle impulsive dordre fractionnaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.4 Relation entre la dérivée de Caputo et la dérivée de Riemann-Liouville . . 20. 2.5 La transformée de Laplace
Solution viable dune inclusion différentielle du premier ordre
2.3 Caractérisation d'une relation d'ordre par une multi-application 30. 2.4 inclusion différentielle du premier ordre. Depuis les années 80 s'est déve ...
Preuve et Notations asymptotiques [pf] Exercices de cours
Objectif. Cet exercice manipule le grand-Oh. Donnez les relations d'inclusion entre les ensembles suivants : O(nlog n) O(2n)
Chapitre3 : Relations dordre
d'un ensemble ? on connaît la relation d'inclusion
1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre
relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ? est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions.
Relation
Soit E un ensemble l'inclusion notée ?
RELATIONS BINAIRES
La relation d'inclusion ? sur. (E) est réflexive transitive et antisymétrique. • La relation « avoir le même signe » sur ? est réflexive
1 Relations binaires 2 Majorant minorant
https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/laurent.regnier/enseignement/LangageMath/TD4-relations-d_ordre.pdf
Chapitre 1 ENSEMBLES
La relation d'inclusion ? sur ?(E) est une relation d'ordre. Elle n'est pas d'ordre total. Test 1.4. La relation de divisibilité sur N.
Chapitre 4 Relations dordre
R est appelée une relation d'ordre ou un ordre partiel si les conditions l'ensemble de ses parties P(T) est partiellement ordonné par l'inclusion.
Relations dordre
Définition (relation binaire). Soit E un ensemble. Une relation binaire. R sur E est un sous-ensemble de E × E. On note xRy pour signifier que.
Liste des symboles mathématiques usuels (LATEX)
Vous trouverez ci-dessous la liste des commandes LATEX permettant de produire les symboles mathématiques les plus courants. Cette liste est loin d'être
1. Complexité des algorithmes
23 sept. 2011 3 . Relations fonctions et ordres vendredi 23 septembre 11 ... relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ? ? {a}.
7 Relations and Partial Orders - MIT OpenCourseWare
A relation is a mathematical tool for describing associations between elements of sets Relations are widely used in computer science especially in databases and scheduling applications A relation can be de?ned across many items in many sets but in this text we will focus on binary relations which represent an association
Relation binaire relation d'ordre treillis
Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E on a xRy ou yRx Dans le cas contraire on dit que l'ordre est partiel Exemples est un ordre total sur N Z et R En général l'inclusion est un ordre partiel
Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
Visualisation d’une relation d’ordre : idée d’orientation • Lorsque la relation d’ordre est totale comme 6dans R On peut représenter R sur une droite ?? ?7 ?2 53 0 1 ? 20 3 +? e ? 17 • Ce n’est plus le cas lorsque la relation d’ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité
Searches related to relation d+ordre inclusion PDF
* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’un ensemble: X = {abc} * Les entiers naturels peuvent etre munis d’un ordre plus subtilˆ que l’ordre usuel q est plus grand que p si q est multiple de p D48 est un treillis J -L Baril Relation binaire relation d’ordre treillis
Cours
Définition
Exemples
Voici quelques exemples de relation d’ordre 1. L’ordre lexicographique qui est l’ordre “du dictionnaire”. 2. La relation classique ? sur les entiers ou les réels. 3. La relation < sur les réels n’est pas une relation d’ordre : on n’a pas x < x. 4. La relation d’inclusion pour les ensembles. On note A ? B si A est inclus dans B.
Comment définir une relation d’ordre?
Relation d’ordre De?nition:´ Une relation sur X ? qui est re?exive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre.´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ? a` la place de ?. Si (x,y) ? X2, x et y seront comparables si x ? y ou y ? x.
Comment savoir si une relation d’ordre est totale ?
Cette page a pour but de présenter les relations d’ordre à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés. Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale.
Comment définir une relation d’ordre sur un ensemble ?
Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale. On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des entiers naturels par Elle est bien réflexive. On a bien : D’où x = y.
Quelle est la différence entre inégalité et inclusion ?
L'inégalité est une relation d'ordre sur N, Z ou R. L'inclusion est une relation d'ordre. Définitions. Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E, on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.
Chapitre 1
ENSEMBLES
T outepersonne ayant une activité mathématique manipule des ensembles. À la base, lanotion naïve densemble (celle que le mathématicien standard utilise tous les jours) nest
quun moyen de classer des objets ou de les regrouper selon des propriétés communes.Cest une notion intuitive, cest-à-dire que lon emploie sans forcément en avoir donné unedénition précise, accompagnée dun vocabulaire (parties, appartenir, intersection, etc.) et de
propriétés le plus souvent justiées seulement par le bon sens mais dont tout le monde est
daccord pour dire quelles sont vraies (tout au moins tant quon évite les problèmes techniques
de la théorie des ensembles). Ces propriétés ont en grande partie été introduites dans le tome de
Mathématiques L1, chez le même éditeur. L"objet de cette section est de rappeler et compléter
certaines dentre elles.I. Rappels et quelques compléments
Deux ensembles sont égaux si et seulement s"ils possèdent exactement les mêmes éléments (nous
v e rro ns pl us ta rd que c e s t l u n d e s pri n c i pa ux a x i o me s d e l a t hé o r i e de s e ns e m bl e s P a r e xe mpl e ,les ensembles{2,3,5,7}et{n?N|n?10et n est premier}sont égaux. D"autre part (et ce sera aussi un axiome), il existe un ensemble qui ne contient aucun élément, noté∅(ou{}). On dit queAest inclus dansB,ouqueBcontientA,etonécritA?Blorsque les éléments deA sont tous dansB.Larelation?est réflexive, antisymétrique et transitive (c"est une relation dordre, comme déni dans le tome de [Mathématiques L1, Pearson], p. 163).Les notions de réunions, dintersections, de complémentaires, vues dans louvrage précité (p. 142
à 146), sont supposées connues et ne seront pas rappelées ici.I.1.Parties
PourEensemble, on noteP(E)l"ensemble des parties deE.SiEest fini et possèdenéléments alorsP(E)possède2 n éléments. PourAetBensembles, on a les propriétés suivantes :1.P(A)∩P(B)=P(A∩B)
;2.P(A)?P(B)?P(A?B);3. siA?BalorsP(A)?P(B).
Remarquons que linclusion du point 2 nest en général pas une égalité, comme on le voit sur le
contre-exempleA={1} etB={2}pour lequelP(A?B)= ∅,{1},{2},{1,2} etP(A)?P(B)= ∅,{1},{ 2}Test 1.1.
SoitE={a,b,c,d}. Combien d"éléments pos-
sèdeP(E)? Les énumérer.Test 1.2.
DéterminerP(∅). DéterminerP
P(∅)
"tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 4 - #21Partie I. Ensembles, cardinalité
4Audrey
cinémaCéline
Benoit
Élodie
David internet sport lectureFigure1.1. Diagramme de Venn d"une relation
I.2.Relations
On souhaite parfois associer des éléments d"un ensemble à des éléments d"un autre ensemble.
Par exemple,Aest un ensemble de personnes :
etBun ensemble de loisirs :B={cinéma,internet,lecture,sport}.
Audrey aime le cinéma et la lecture, Benoît aime surfer sur internet, Céline lit beaucoup mais
fait aussi du sport, David est cinéphile, passe une partie de son temps sur internet et fait dusport et Élodie consacre la plus grande partie de son temps libre à la lecture. On peut représenter
tout cela sur un diagramme de Venn (voir gure 1.1).On peut aussi donner lensemble des couples(personne,activité)décrivant ces diverses affinités :
R={(Audrey, cinéma),(Audrey, lecture),(Benoît, internet),(Céline, lecture),(Céline, sport),
(David, cinéma),(David, internet),(David, sport),(Élodie, lecture)}. Une telle association est mathématiquement décrite par la notion de relation. Définition 1.1. (Relation).SoientAetBdeux ensembles. Une relation entreAetBest une partie deA×B. SiRest une relation entreAetB,ondiraqueaest en relation avecblorsque(a,b)?R.On notera souvent plus simplementaRb.LorsqueA=B, nous parlerons d"unerelation binaire surA. Définition 1.2. (Domaine, image).SoientXetYdeux ensembles etRune relation entreX etY. On appelle domaine deRl"ensemble {x?X|?y?Y, xRy}.On appelle image deRl"ensemble
{y?Y|?x?X, xRy}. "tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 5 - #22 5Chapitre 1. Ensembles
Définition 1.3. (Relation induite).SoientRune relation binaire sur un ensembleEetF unepartiedeE. On obtient une relation binaire surF, provisoirement notéeR F , en posant R f ={(x,y)?F×F|xRy}.Pourx,y?F, on a doncxR
f ysi et seulement sixRy. On appelleR f la relation induite parRsurF.I.3.Fonctions
Un cas particulier de relation important est celui où, pour chaquexappartenant au domaine deR, il n"existe qu"un seulytelxRy. Définition 1.4. (Fonction, application).Une fonction d"un ensembleXdans un ensembleY est une relationRentreXetYtelle que, pour toutx?X,ilexisteauplusuny?Ytel que xRy. Une application d"un ensembleXdans un ensembleYest une relationRentreXetY telle que, pour toutx?X, il existe exactement uny?Ytel quexRy. Dans le cas d"une fonction ou d"une application, on utilise la notation plus commodey=R(x)àlaplacedeyRx. L"ensembleY
X des applications deXdansYest une partie deP(X×Y) (car une relation est un élément deP(X×Y)).I.4.Familles et produits
Une famille d"éléments d"un ensembleE, indexée par un ensembleIest une application deI dansE.Sii?→x i est une telle application, on la notera(x i i?I .Si(X i i?I est une famille densembles alors on peut dénir les unions et intersections ainsi : i?I X i ={x|?i?I,x?X i }et, siI?=∅, i?I X i ={x|?i?I,x?X iQuant au produit, il est défini ainsi :
i?I X i ={familles(x i i?I telles quex i ?X i pour touti?I}.I.5.Peut-on tout faire avec des ensembles?
Les ensembles sont des outils universels qui permettent une formulation pratique de la plu-part des problèmes mathématiques. Les mathématiciens ont donc été tentés de les utiliser sans
restriction. Or, il savère quun usage sans précautions de la notion densemble mène à des
contradictions logiques. Le tome [Mathématiques L1, Pearson] de cet ouvrage cite le paradoxe de Russel, découvert en 1901, qui est la contradiction la plus connue.AttentionParadoxe de Russel
L"ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d"eux-mêmes,Z={X|X/?X},
ne peut exister. "tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 6 - #23Partie I. Ensembles, cardinalité
6Test 1.3.
Expliquer pourquoi cet " ensemble »Zne peut exister. Ce genre de contradiction a provoqué une certaine crise mathématique au début duxx e siècleet a amené la mise au point, entre 1908 et 1920, dune théorie axiomatique complexe. Nous en
donnerons les rudiments dans le chapitre suivant. Elle précise exactement ce que lon peut ou ne peut pas faire avec les ensembles et permet déviter ces contradictions.Il faut toutefois rester pragmatique. La conception naïve des ensembles, telle que vous la possédez
dès à présent, su?t largement à décrire des théories mathématiques parfaitement rigoureuses,
et elle est adaptée à la formulation de la quasi-totalité des problèmes mathématiques.
II. Ensembles ordonnés
Les relations d"ordre ont été introduites brièvement dans le tomeMathématiques L1. Elles sont
lobjet central de ce chapitre. Nous reprenons donc létude depuis le début.II.1.Relations d"ordre
Définition 1.5. (Relation d"ordre).SoitEun ensemble. Une relation d"ordre surEest une relation binaire surEqui est réflexive, antisymétrique et transitive.Exemple 1.6.L"ensemble des couples
est une relation d"ordre sur l"ensembleE={2,3,5,7}. C"est en fait la relationinduite surEpar la relation dordre habituelle?sur les entiers. Définition 1.7. (Ordre total).Une relation d"ordre notée?surEest dite d"ordre total si, pour tousx,y?E,onax?youy?x. Exemple 1.8.1. L"ordre naturel?sur l"ensemble des nombres réels est une relation d"ordre total.2. La relation dinclusion?surP(E)est une relation d"ordre. Elle n"est pas d"ordre total.
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