[PDF] Chapitre 1 ENSEMBLES La relation d'inclusion ? sur ?(





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2) La relation d'inclusion ICY est une relation d'ordre (chap. II. § 1 prop relation d'inclusion est une relation d'ordre entre parties d'un ensemble E ...



Chapitre3 : Relations dordre

relation ” définie par x ” y ðñ x ´ y est pair. ‚ Sur l'ensemble 乡(Ω) des parties d'un ensemble Ω on connaît la relation d'inclusion



1. Complexité des algorithmes 1. Complexité des algorithmes

23 sept. 2011 relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ∅ ⊆ {a}. - {a} ... Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble est une relation. - Réflexive.



Chapitre 1 ENSEMBLES

L'ordre naturel ≤ sur l'ensemble des nombres réels est une relation d'ordre total. 2. La relation d'inclusion ⊂ sur 乡(E) est une relation d'ordre. Elle n 



Relation

Soit E un ensemble l'inclusion notée ⊆



CHAPITRE 2 RELATION DORDRE

— Soit E une collection d'ensembles. Alors la relation d'inclusion est une relation d'ordre sur E. 2.2.3. Notation. — Sauf mention au contraire 



1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre

relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ⊂ est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions. Soit R 



Inclusion différentielle impulsive dordre fractionnaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.4 Relation entre la dérivée de Caputo et la dérivée de Riemann-Liouville . . 20. 2.5 La transformée de Laplace 



Solution viable dune inclusion différentielle du premier ordre

2.3 Caractérisation d'une relation d'ordre par une multi-application 30. 2.4 inclusion différentielle du premier ordre. Depuis les années 80 s'est déve ...



Preuve et Notations asymptotiques [pf] Exercices de cours

Objectif. Cet exercice manipule le grand-Oh. Donnez les relations d'inclusion entre les ensembles suivants : O(nlog n) O(2n)



Chapitre3 : Relations dordre

d'un ensemble ? on connaît la relation d'inclusion



1. Relations binaires 2. Relations déquivalence 3. Relations dordre

relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l'espace. L'inclusion ? est une relation sur P(X) où X est un ensemble quelconque. Définitions.



Relation

Soit E un ensemble l'inclusion notée ?



RELATIONS BINAIRES

La relation d'inclusion ? sur. (E) est réflexive transitive et antisymétrique. • La relation « avoir le même signe » sur ? est réflexive



1 Relations binaires 2 Majorant minorant

https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/laurent.regnier/enseignement/LangageMath/TD4-relations-d_ordre.pdf



Chapitre 1 ENSEMBLES

La relation d'inclusion ? sur ?(E) est une relation d'ordre. Elle n'est pas d'ordre total. Test 1.4. La relation de divisibilité sur N.



Chapitre 4 Relations dordre

R est appelée une relation d'ordre ou un ordre partiel si les conditions l'ensemble de ses parties P(T) est partiellement ordonné par l'inclusion.



Relations dordre

Définition (relation binaire). Soit E un ensemble. Une relation binaire. R sur E est un sous-ensemble de E × E. On note xRy pour signifier que.



Liste des symboles mathématiques usuels (LATEX)

Vous trouverez ci-dessous la liste des commandes LATEX permettant de produire les symboles mathématiques les plus courants. Cette liste est loin d'être 



1. Complexité des algorithmes

23 sept. 2011 3 . Relations fonctions et ordres vendredi 23 septembre 11 ... relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble. - ? ? {a}.



7 Relations and Partial Orders - MIT OpenCourseWare

A relation is a mathematical tool for describing associations between elements of sets Relations are widely used in computer science especially in databases and scheduling applications A relation can be de?ned across many items in many sets but in this text we will focus on binary relations which represent an association



Relation binaire relation d'ordre treillis

Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E on a xRy ou yRx Dans le cas contraire on dit que l'ordre est partiel Exemples est un ordre total sur N Z et R En général l'inclusion est un ordre partiel



Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre

Visualisation d’une relation d’ordre : idée d’orientation • Lorsque la relation d’ordre est totale comme 6dans R On peut représenter R sur une droite ?? ?7 ?2 53 0 1 ? 20 3 +? e ? 17 • Ce n’est plus le cas lorsque la relation d’ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité



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* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’un ensemble: X = {abc} * Les entiers naturels peuvent etre munis d’un ordre plus subtilˆ que l’ordre usuel q est plus grand que p si q est multiple de p D48 est un treillis J -L Baril Relation binaire relation d’ordre treillis

  • Cours

    Définition

  • Exemples

    Voici quelques exemples de relation d’ordre 1. L’ordre lexicographique qui est l’ordre “du dictionnaire”. 2. La relation classique ? sur les entiers ou les réels. 3. La relation < sur les réels n’est pas une relation d’ordre : on n’a pas x < x. 4. La relation d’inclusion pour les ensembles. On note A ? B si A est inclus dans B.

Comment définir une relation d’ordre?

Relation d’ordre De?nition:´ Une relation sur X ? qui est re?exive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre.´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ? a` la place de ?. Si (x,y) ? X2, x et y seront comparables si x ? y ou y ? x.

Comment savoir si une relation d’ordre est totale ?

Cette page a pour but de présenter les relations d’ordre à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés. Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale.

Comment définir une relation d’ordre sur un ensemble ?

Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale. On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des entiers naturels par Elle est bien réflexive. On a bien : D’où x = y.

Quelle est la différence entre inégalité et inclusion ?

L'inégalité est une relation d'ordre sur N, Z ou R. L'inclusion est une relation d'ordre. Définitions. Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E, on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.

"tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 3 - #20

Chapitre 1

ENSEMBLES

T outepersonne ayant une activité mathématique manipule des ensembles. À la base, la

notion naïve densemble (celle que le mathématicien standard utilise tous les jours) nest

quun moyen de classer des objets ou de les regrouper selon des propriétés communes.

Cest une notion intuitive, cest-à-dire que lon emploie sans forcément en avoir donné unedé“nition précise, accompagnée dun vocabulaire (parties, appartenir, intersection, etc.) et de

propriétés le plus souvent justi“ées seulement par le bon sens mais dont tout le monde est

daccord pour dire quelles sont vraies (tout au moins tant quon évite les problèmes techniques

de la théorie des ensembles). Ces propriétés ont en grande partie été introduites dans le tome de

Mathématiques L1, chez le même éditeur. L"objet de cette section est de rappeler et compléter

certaines dentre elles.

I. Rappels et quelques compléments

Deux ensembles sont égaux si et seulement s"ils possèdent exactement les mêmes éléments (nous

v e rro ns pl us ta rd que c e s t l u n d e s pri n c i pa ux a x i o me s d e l a t hé o r i e de s e ns e m bl e s P a r e xe mpl e ,les ensembles{2,3,5,7}et{n?N|n?10et n est premier}sont égaux. D"autre part (et ce sera aussi un axiome), il existe un ensemble qui ne contient aucun élément, noté∅(ou{}). On dit queAest inclus dansB,ouqueBcontientA,etonécritA?Blorsque les éléments deA sont tous dansB.Larelation?est réflexive, antisymétrique et transitive (c"est une relation dordre, comme dé“ni dans le tome de [Mathématiques L1, Pearson], p. 163).

Les notions de réunions, dintersections, de complémentaires, vues dans louvrage précité (p. 142

à 146), sont supposées connues et ne seront pas rappelées ici.

I.1.Parties

PourEensemble, on noteP(E)l"ensemble des parties deE.SiEest fini et possèdenéléments alorsP(E)possède2 n éléments. PourAetBensembles, on a les propriétés suivantes :

1.P(A)∩P(B)=P(A∩B)

;2.P(A)?P(B)?P(A?B);

3. siA?BalorsP(A)?P(B).

Remarquons que linclusion du point 2 nest en général pas une égalité, comme on le voit sur le

contre-exempleA={1} etB={2}pour lequelP(A?B)= ∅,{1},{2},{1,2} etP(A)?P(B)= ∅,{1},{ 2}

Test 1.1.

SoitE={a,b,c,d}. Combien d"éléments pos-

sèdeP(E)? Les énumérer.

Test 1.2.

DéterminerP(∅). DéterminerP

P(∅)

"tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 4 - #21

Partie I. Ensembles, cardinalité

4

Audrey

cinéma

Céline

Benoit

Élodie

David internet sport lecture

Figure1.1. Diagramme de Venn d"une relation

I.2.Relations

On souhaite parfois associer des éléments d"un ensemble à des éléments d"un autre ensemble.

Par exemple,Aest un ensemble de personnes :

etBun ensemble de loisirs :

B={cinéma,internet,lecture,sport}.

Audrey aime le cinéma et la lecture, Benoît aime surfer sur internet, Céline lit beaucoup mais

fait aussi du sport, David est cinéphile, passe une partie de son temps sur internet et fait du

sport et Élodie consacre la plus grande partie de son temps libre à la lecture. On peut représenter

tout cela sur un diagramme de Venn (voir “gure 1.1).

On peut aussi donner lensemble des couples(personne,activité)décrivant ces diverses affinités :

R={(Audrey, cinéma),(Audrey, lecture),(Benoît, internet),(Céline, lecture),(Céline, sport),

(David, cinéma),(David, internet),(David, sport),(Élodie, lecture)}. Une telle association est mathématiquement décrite par la notion de relation. Définition 1.1. (Relation).SoientAetBdeux ensembles. Une relation entreAetBest une partie deA×B. SiRest une relation entreAetB,ondiraqueaest en relation avecblorsque(a,b)?R.On notera souvent plus simplementaRb.LorsqueA=B, nous parlerons d"unerelation binaire surA. Définition 1.2. (Domaine, image).SoientXetYdeux ensembles etRune relation entreX etY. On appelle domaine deRl"ensemble {x?X|?y?Y, xRy}.

On appelle image deRl"ensemble

{y?Y|?x?X, xRy}. "tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 5 - #22 5

Chapitre 1. Ensembles

Définition 1.3. (Relation induite).SoientRune relation binaire sur un ensembleEetF unepartiedeE. On obtient une relation binaire surF, provisoirement notéeR F , en posant R f ={(x,y)?F×F|xRy}.

Pourx,y?F, on a doncxR

f ysi et seulement sixRy. On appelleR f la relation induite parRsurF.

I.3.Fonctions

Un cas particulier de relation important est celui où, pour chaquexappartenant au domaine deR, il n"existe qu"un seulytelxRy. Définition 1.4. (Fonction, application).Une fonction d"un ensembleXdans un ensembleY est une relationRentreXetYtelle que, pour toutx?X,ilexisteauplusuny?Ytel que xRy. Une application d"un ensembleXdans un ensembleYest une relationRentreXetY telle que, pour toutx?X, il existe exactement uny?Ytel quexRy. Dans le cas d"une fonction ou d"une application, on utilise la notation plus commodey=R(x)

àlaplacedeyRx. L"ensembleY

X des applications deXdansYest une partie deP(X×Y) (car une relation est un élément deP(X×Y)).

I.4.Familles et produits

Une famille d"éléments d"un ensembleE, indexée par un ensembleIest une application deI dansE.Sii?→x i est une telle application, on la notera(x i i?I .Si(X i i?I est une famille densembles alors on peut dé“nir les unions et intersections ainsi : i?I X i ={x|?i?I,x?X i }et, siI?=∅, i?I X i ={x|?i?I,x?X i

Quant au produit, il est défini ainsi :

i?I X i ={familles(x i i?I telles quex i ?X i pour touti?I}.

I.5.Peut-on tout faire avec des ensembles?

Les ensembles sont des outils universels qui permettent une formulation pratique de la plu-

part des problèmes mathématiques. Les mathématiciens ont donc été tentés de les utiliser sans

restriction. Or, il savère quun usage sans précautions de la notion densemble mène à des

contradictions logiques. Le tome [Mathématiques L1, Pearson] de cet ouvrage cite le paradoxe de Russel, découvert en 1901, qui est la contradiction la plus connue.

AttentionParadoxe de Russel

L"ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d"eux-mêmes,

Z={X|X/?X},

ne peut exister. "tout" - 2009/7/9 - 10:14 - page 6 - #23

Partie I. Ensembles, cardinalité

6

Test 1.3.

Expliquer pourquoi cet " ensemble »Zne peut exister. Ce genre de contradiction a provoqué une certaine crise mathématique au début duxx e siècle

et a amené la mise au point, entre 1908 et 1920, dune théorie axiomatique complexe. Nous en

donnerons les rudiments dans le chapitre suivant. Elle précise exactement ce que lon peut ou ne peut pas faire avec les ensembles et permet déviter ces contradictions.

Il faut toutefois rester pragmatique. La conception naïve des ensembles, telle que vous la possédez

dès à présent, su?t largement à décrire des théories mathématiques parfaitement rigoureuses,

et elle est adaptée à la formulation de la quasi-totalité des problèmes mathématiques.

II. Ensembles ordonnés

Les relations d"ordre ont été introduites brièvement dans le tomeMathématiques L1. Elles sont

lobjet central de ce chapitre. Nous reprenons donc létude depuis le début.

II.1.Relations d"ordre

Définition 1.5. (Relation d"ordre).SoitEun ensemble. Une relation d"ordre surEest une relation binaire surEqui est réflexive, antisymétrique et transitive.

Exemple 1.6.L"ensemble des couples

est une relation d"ordre sur l"ensembleE={2,3,5,7}. C"est en fait la relationinduite surEpar la relation dordre habituelle?sur les entiers. Définition 1.7. (Ordre total).Une relation d"ordre notée?surEest dite d"ordre total si, pour tousx,y?E,onax?youy?x. Exemple 1.8.1. L"ordre naturel?sur l"ensemble des nombres réels est une relation d"ordre total.

2. La relation dinclusion?surP(E)est une relation d"ordre. Elle n"est pas d"ordre total.

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