LES SUITES
c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE. Une suite (un) est ...
Cours complet
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu'une propriété qui dépend.
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Pour que cette notation ait un sens
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Récurrence : exemples
Soit u la suite définie par u0 = 1 et un+1 = f(un) avec f(x) = 1. 5. (x3 + 1). Démontrer par récurrence que u est décroissante. On admettra qu'on peut
Comment démontrer quune suite ( )un est croissante ou
est croissante ou décroissante ? Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? (Strictement croissante ?) Méthode 1. ? On montre ?n un+1. ?unÃ0.
Fiche de synthèse sur les suites Fiche de synthèse sur les suites
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !
CH I : Suites réelles - révisions compléments
(i) Par relations de récurrence : { u0 = 3. ?n ? N un+1 = un + 5 Pour montrer qu'une suite est croissante
LIMITE DUNE SUITE
La conclusion selon laquelle (un)n? est à valeurs dans D est très pratique quand on veut montrer qu'une suite est minorée/majorée/bornée. Par exemple si [1
Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1
b) Démontrer par récurrence que 0 ? un ?1. c) Cette suite est-elle décroissante ? d) Cette suite semble-t-elle convergente ? Si oui calculer lim.
Montrer qu'une suite est croissante (ou - Maths-cours
Une suite est dé?nie par une formule explicite lorsque un s’exprime directement en fonction de n (un = f (n)) Dans ce cas on peut calculer chaque terme à partir de son indice Exemple Soit ( u n ) n 2N la suite dé?nie pour tout entier naturel n par u n = 1+3 n
Cours : Les suites récurrentes
Si f est croissante sur I la suite (un) est monotone Remarque : Ce théorème ne permettant pas de connaitre les variations d’une suite on fera une conjecture grâce aux calculs (ou dessin) des premiers termes et on démontrera cette conjecture par récurrence
LES SUITES (Partie 2) - maths et tiques
1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +? 2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers ?? Démonstration au programme du 1) : Soit un réel a Comme (u n) n'est pas majorée il existe un entier p tel que "T>0 La suite (u n) est croissante donc pour tout 4>X on a : "#?" T
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a puis que la suite (u n) n>1 est décroissante 3 En déduire que la suite (u n) converge vers p a 4 En utilisant la relation u n+1 2 a = (u n+1 p a)(u n+1 + p a) donner une majoration de u n+1 p a en fonction de u n p a 5 Si u 1 p a6k et pour n>1 montrer que u n p a62 p a k 2 p a 2n 1: 6 Application : Calculer p 10 avec une précision de 8
Comment montrer que la suite est croissante ?
Si la suite (u_n) (un) est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type u_ {n+1}=f (u_n) un+1 = f (un) ), on peut démontrer par récurrence que u_ {n+1} geqslant u_n un+1 ? un (resp. u_ {n+1} leqslant u_n un+1 ? un) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Comment savoir si une suite est positif ou décroissante ?
Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que n n étant un entier naturel, il est positif ou nul. Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite (u_n) (un) définie par u_n= ( - 1)^n un = (?1)n )
Comment faire une démonstration par récurrence ?
La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos" : L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer ; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier ! n+1 n + 1. Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie
Quelle est la limite de la suite ?
Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone
1.Définition etnotation
Unesuite uest uneapplication dontl "ensemble dedépart(ensembledesantécé- dents) estdans l" ensembledesentiersnaturels. On note nà laplace dexet onnote u nà laplace deu(n)ou def(x).
u:n?→u nLa suiteuest doncune suitede termes
u p ;u p+1 ;...;u n-1 ;u n ;u n+1 ?u p est lepr emiertermede lasuite.S ouvent ceser au 0 ouu 1 u n est leter mederang nde lasuite u(image denparu). u n+1 est leter mederang n+1ou leter mesuivantde u n u n-1 est leter mederang n-1ou leter meprécédentdeu n ?La suitede termes u n ,n?N, senote uou(u n )ou(u n n?NDéfinition 1- For muleexplicited"unesuite
La formuleexplicited "unesuite
uest l"expressiondeu n en fonctionde n.Exemples:
?Pourtout n?N,u n =n 2 -5n+3 ?Pourtout n?N ,u n =1-1 n Définition 2- For muleparrécurrenced"une suiteLaformuleparrécurrenced"unesuite
uestl"expressiondeu n enfonctiondeun ou deplusieurs termes précédents.Exemples:
?Pourtout n?N,u n =u n-1+4etu 0 =1 ?Pourtout n?N ,u n+1 =u n +u n-1 ,u 0 =1etu 1 =1. Méthode 1- Lecture d"unerelation derécurrenceExemple:Onnote
ulasuitedéfinieparu 0 =1etpourtoutn?N,u n+1 =2u n -5Pourlir elarelation derécurr enceu
n+1 =2u n -5, ily adeux possibilités: ?: dire: u n+1 est égalà deuxfois u n moins5. ?: dire:un terme dela suiteestégalà deuxfois leter meprécédent moins 5. La deuxièmepossibilité estbien pluspr atiquedans lesexer cicesetpermet de comprendrelar elationqui relieunter meà l"autre etceci quelquesoitle rang auquel onest.Autreexemple : Pourtout
n?N ?,u n+1 =u n +u n-1 ,u 0 =1etu 1 =1.La relationderécurr ence
u n+1 =u n +u n-1 se lit: unter mede lasuiteestégal à la sommedes deuxprécédents . -2-9782340-038417_001_480.indd 918/06/2020 14:03
2.Démonstration parrécurr ence
de et lorsquela démonstration directeestdifficile . Ilfaut doncav oirà démontrertoutepr opriété ressemblantà:Pourtout entiernatur el
n≥p, lapr opriétéP n est vraie Méthode 2- Str uctured'unedémonstrationparrécurrence Pourfair ecetypede démonstration onv adev oirprouver lesdeux étapes suivantes: ?La propriétéestvraie aur ang p(initialisation). ?Pourun k estvraiealorsP k+1 l"estaussi.Onditdanscecas que P n a uncar actèrehéréditaireouque P k impliqueP k+1Onpourr aalorsconclure que
P n est vraiepourtout n≥p. Enfait celar evientà trouverune méthodepour monterunescalierinfini.Pourpouv oirlemonteril faut:
?Pouvoirmontersur lapr emière marche (Initialisation). ?Sion estsur unemar cheil fautêtr ecapabledemonter surla suivante . (Hérédité) !S"ilmanque unedes deuxétapes (initialisationou hérédité)alors la propriétéestfausse .Exemple:
Soit aun réelpositif.Montronsquepour toutentier naturel
n,(1+a) n ≥1+na Onnomme cetteinégalité, l"inégalité deBernoulli.Démonstrationpar récurrence
Onnote
P n la propriété:(1+a) n ≥1+na, pourn?NInitialisation: (Pourn=0)
(1+a) 0 =11+0×a=1?
doncP 0 est vraie.Hérédité: onsuppose que
P k est vraiepourun rang k, montronsquedans cecas P k+1 l"estaussi. (1+a) k ≥1+nad"aprèsl"hypothèse derécurrenceet comme1+a>0alors (1+a) k (1+a)≥(1+na)(1+a)?(1+a) k+1 ≥1+a+na+na 2 ?(1+a) k+1 ≥1+(n+1)a+na 2 ≥1+(n+1)a doncP k+1 est vraie. -3-9782340-038417_001_480.indd 1018/06/2020 14:03
Conclusion:
P 0 est vraie P k impliqueP k+1 donc pourtout n?N, (1+a) n ≥1+naMéthode 3- Démonstrationpar récurrence
Pourrédiger vos démonstrationsparrécurr enceilfautêtr er igoureuxetbienécriretoutesles étapes.
Voicile squelettede rédaction:
Onnote
P n la propriété:......Initialisation: (Pourn=...)
Hérédité: onsuppose queP
k est vraiepourun rang k, montronsquedans ce cas P k+1 l"estaussi.Conclusion:
P p est vraie P k impliqueP k+1 donc...Exemples:
1) Onnote
u n )la suitedéfinie paru 0 =2et pourtout n?N,u n+1 =2u n -3Montronsparrécurr enceque pourtoutn?N,u
n =-2 n +3Onnote P
n la propriété:u n =-2 n +3Initialisation: (Pourn=0)
u 0 =2 2 0 +3=-1+3=2? doncP 0 est vraie.Hérédité: onsuppose que
P k est vraiepourun rang k, montronsquedans cecas P k+1 l"estaussi. u k+1 =2u k -3=2(-2 k +3)-3=-2 k+1 +6-3=-2 k+1 +3Conclusion:
P 0 est vraie P k impliqueP k+1 donc pourtout n?N,u n =-2 n +32) Montronsparrécurrence quepour toutentiernaturel n,2
3 n -1est un multiplede 7Onnote P
n la propriété:2 3 n -1est unmultiple de7Initialisation: (Pourn=0)
2 3 0 -1=1-1=0=0×7doncP 0 est vraie.Hérédité: onsuppose que
P k est vraiepourun rang k, montronsquedans cecas P k+1 l"estaussi. L"hypothèsede récurrence nousditqu"il existe k?Ztel que2 3 n -1=7k 2 3( k+1) -1=2 3 k ×2 3 -1=(2 3 k -1)×2 3 +2 3 -1=7k×2 3 -7=7(2 3 k-1) -4-9782340-038417_001_480.indd 1118/06/2020 14:03
or2 3 k-1est unentier donc2 3( k+1) est unmultiple de7.Onpeut doncen déduire que
P k+1 est vraie.Conclusion:
P 0 est vraie P k impliquePquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] montrer qu'une suite géométrique est croissante
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