Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Pour que cette notation ait un sens il faut montrer qu'une suite convergente admet une unique limite ! Proposition 1.2.2. Si une suite converge
Suites convergentes et suites de Cauchy dans R
27 sept. 2020 Intuitivement une suite numérique est la donnée pour tout n ? N d'un ... qu'une suite (un)n?N converge vers le réel L (ou tend vers le ...
TD 3 Espaces complets
Soit (xn)n?N ? XN une suite convergente montrons qu'elle est de Cauchy. Ce qui montre bien que la suite vérifie (1) : elle est bien de Cauchy.
1 Suites de Cauchy
Montrer que (rn)n?0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q. Conclusion ? Exercice 1.2 (Irrationalité de e) Soit (rn)n?N la suite
1 Suites de Cauchy
Montrer que (rn)n?0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q. Conclusion ? Exercice 1.2 (Irrationalité de e) Soit (rn)n?N la suite
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Séries
Pour montrer que la série diverge nous allons utiliser le critère de Cauchy. Rappel. Une suite (sn) de nombres réels (ou complexes) converge si et seulement
Espaces Vectoriels Normés et Topologie
2.2.1 Suites de Cauchy dans un E.V.N. . permet de montrer que la boule unité B1 est le petit carré retourné (formé de quatre segments).
Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach
Théorème (4): Toute suite de Cauchy dans un espace vectoriel normé qui admet une sous- suite convergente est elle-même convergente. On montre alors d'abord qu'
Suites
b) En déduire que la suite est convergente on notera sa limite. c) supposons que < 1. i) Montrer qu'alors lim. ?+
1 Suites de Cauchy
1 Suites de Cauchy Exercice 1 1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n pour tout n2N ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1 Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy Indication : on pourra ecrire pour m>n r m r n = P m 1 k=n (r k+1 r k) (b) Soient
MAT311 Cours 3 : Espaces metriques complets´ 114 Suites de Cauchy
Suites de Cauchy 1 1 1 Notion de suite de Cauchy L’inter´ et des suites de Cauchy est que dans des espaces mˆ etriques´ convenables (les espaces complets – voir plus loin) on peut veri?er´ la convergence de certaines suites sans avoir a conna` ˆ?tre a priori la limite
Feuille d’exercices n 1 Suites - u-bordeauxfr
Exercice 8 (suites de Cauchy) 1 Montrer que la suite u n= ( 1)n n n+1 n’est pas une suite de Cauchy 2 Montrer que la suite u n= 2+( n1) n est de Cauchy 3 Soit (u n) n montrer que la suite d e nie par u n= P 1 k n 1 k n’est pas une suite de Cauchy Vers quoi tends u nquand n!+1? 4 Montrer qu’une suite (u n) n v eri ant 8n ju n+1 u
Suites convergentes et suites de Cauchy dans R
Intuitivement une suite numérique est la donnée pour tout n2N d’un réel noté u n: Dé?nition 1 1 Une suite est une application de N vers R : u: N !R n7!u(n) souvent noté u n: La suite sera notée uou bien (u n) n2N:u ns’appelle le terme général de la suite On dit qu’une suite (u n) n2N converge vers le réel L(ou tend vers le
Exemple Fondamental d’ensemble Complet
Pour démontrer la complétude de Rmathbb{R} R, on va d’abord obtenir le résultat classique suivant : Propriété :Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle admet une valeur d’adhérence. Preuve : Le sens direct est immédiat. Pour la réciproque, on se donne (un)n?N(u_n)_{n in mathbb{N}} (un?)n?N? à valeurs dans EE E telle que : ??,lim?n??u...
Qu'est-ce que la suite de Cauchy ?
L’inter´ et des suites de Cauchy est que dans des espaces mˆ etriques´ convenables (les espaces complets – voir plus loin), on peut veri?er´ la convergence de certaines suites sans avoir a conna` ˆ?tre a priori la limite. On cherchera donc a exhiber le plus possible d’espaces com-` plets. De?nition 1.1.´Une suite(x n)
Quelle est la différence entre une suite de Cauchy et une suite qui converge ?
1si, et seulement si, elle est de Cauchy pour la distanced 2. 2. On veri?e aussi que l’image d’une suite de Cauchy par une´ application uniformement continue, est de Cauchy.´ 1.1.2 Les suites convergentes sont de Cauchy Proposition 1.1. Une suite qui converge est une suite de Cauchy.
Quelle est la différence entre une suite numérique et une suite convergente?
Suites convergentes et suites de Cauchy dans R Suites convergentes et suites de Cauchy dans R Chapitre II 27 septembre 2020 1 Suites Intuitivement, une suite numérique est la donnée pour tout n2N d’un réel, noté u n: Dé?nition 1.1. Une suite est une application de N vers R : u: N !R n7!u(n) souvent noté u n: La suite sera notée uou bien (u n) n2N:u
Comment appelle-t-on une suite?
Une suite est une application de N vers R : u: N !R n7!u(n) souvent noté u n: La suite sera notée uou bien (u n) n2N:u ns’appelle le terme général de la suite.
Suites convergentes et suites de Cauchy dansR
Chapitre II
27 septembre 2020
1 Suites
Intuitivement, une suite numérique est la donnée pour toutn2Nd"un réel, notéun: Définition 1.1.Une suite est une application deNversR: u:N!Rn7!u(n)souvent notéun: La suite sera notéeuou bien(un)n2N: uns"appelle le terme général de la suite. On dit qu"une suite(un)n2Nconverge vers le réelL(ou tend vers le réelL)si8 >09N2N8nNon a quejunLj< :
Ce réel s"appelle alors la limite de la suite(un)n2Net on note lim n!1un=L: Une suite qui ne converge pas s"appelle suite divergente. On remarque la propriété suivante de la notion de limite : si elle existe, alors elle est unique : en fait, siL1etL2sont deux limites d"une même suite(un)n2N, on montre queL1=L2:Pour ce faire, il suffit de démontrer que quelque soit >0;on a que jL1L2j< :En fait, soient N12Ntel quenN1) ju
nL1j<2 N22Ntel quenN2) junL2j<2
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
jL1L2j=jL1un+unL2j
jL1unj+junL2j 2 +2 pourtoutn1:Alorslimn!1un=0:En fait, soit >0:CommeRest Archimédien, il existeN2Ntel queN >1:Or,
pour toutnNon a quen >1et donc0<1n < :C"est à dire,j1n 0j< : Définition 1.3.Soit(un)n2Nune suite. Nous dirons que 1 (un)n2Nest majorée s"il existeMtel queunMpour toutn2N; (un)n2Nest minorée s"il existemtel queunmpour toutn2N; (un)n2Nest bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Proposition 1.4.Toute suite convergente est bornée. Démonstration.On poseL= limn!1un:SoitN2Ntel quejunLj<1pour tout nN:On pose r= maxf1;ju1Lj;ju2Lj;:::;juN1Ljg:AlorsjunLj rpour toutn2N:C"est à direLrunL+r:Proposition 1.5.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites telles quelimn!1an=Let
lim n!1bn=M:Soitc2R:Alors (1)limn!1(an+bn) =L+M; (2)limn!1(can) =cL; (3)limn!1(anbn) =LM; (4)limn!1(1a n) =1L sian6= 0pour toutn2NetL6= 0:Démonstration.Pour (1), soit >0et soient
N12Ntel quenN1) janLj<2
N22Ntel quenN2) jbnMj<2
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
jan+bn(L+M)j janLj+jbnMj 2 +2 Pour (2), sic= 0alors le résultat est immédiat. Pourc6= 0;soient >0etN2Ntels quejanLj12Ntel quenN1) janLj N 22Ntel quenN2) jbnMj Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2 De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0: En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0: Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N 2> N1tel que
janLj L:Alors il existe N2Ntel que
janLj0< LunL junLj une contradiction.Proposition 1.7.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites qui converge respectivement vers LetM:Supposons qu"à partir d"un certain rangNon aitanbn:AlorsLM: Démonstration.On applique la proposition précédente à la suite(cn)n2Ndéfinie parcn= a nbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L: Démonstration.Soit >0et soient
N 12Ntel quenN1) janLj< "
N 22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:3 2 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nk tel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL: On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m 1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0et N2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A 0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunn pour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n3la sous-suite(unk)k2Nconverge versL:Exercice 4.3.Montrer que+1est une valeur d"adhérence d"une suite(un)n2Nsi et seulement si pour toutM2Ril existe une infinité d"indicesntel queunM: Définition 4.4.Soit(un)n2Nune suite deR:On pose limsup n!1un= limn!1sup knu k: et liminfn!1un= limn!1infknuk: Soit(un)n2Nune suite deRbornée. Alors il existem;M2Rtel que munM pour toutn2N:Pourn2Non poseAn=fuk2N:kng; vn= supAnet w n= infAn:On a donc que mwnvnM: 6 De plus la suite(vn)n2Nest décroissante et la suite(wn)n2Nest croissante. On a donc que la suite(vn)n2Nconverge dansRverslimsupn!1un:De même, la suite(wn)n2N converge dansRversliminfn!1unet on a que 1 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
22Ntel quenN2) jbnMj Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2 De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0: En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0: Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N 2> N1tel que
janLj L:Alors il existe N2Ntel que
janLj0< LunL junLj une contradiction.Proposition 1.7.Soient(an)n2Net(bn)n2Ndeux suites qui converge respectivement vers LetM:Supposons qu"à partir d"un certain rangNon aitanbn:AlorsLM: Démonstration.On applique la proposition précédente à la suite(cn)n2Ndéfinie parcn= a nbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L: Démonstration.Soit >0et soient
N 12Ntel quenN1) janLj< "
N 22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:3 2 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nk tel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL: On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m 1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0et N2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A 0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunn pour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n3la sous-suite(unk)k2Nconverge versL:Exercice 4.3.Montrer que+1est une valeur d"adhérence d"une suite(un)n2Nsi et seulement si pour toutM2Ril existe une infinité d"indicesntel queunM: Définition 4.4.Soit(un)n2Nune suite deR:On pose limsup n!1un= limn!1sup knu k: et liminfn!1un= limn!1infknuk: Soit(un)n2Nune suite deRbornée. Alors il existem;M2Rtel que munM pour toutn2N:Pourn2Non poseAn=fuk2N:kng; vn= supAnet w n= infAn:On a donc que mwnvnM: 6 De plus la suite(vn)n2Nest décroissante et la suite(wn)n2Nest croissante. On a donc que la suite(vn)n2Nconverge dansRverslimsupn!1un:De même, la suite(wn)n2N converge dansRversliminfn!1unet on a que 1 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Alors, pour toutnmaxfN1;N2gon a que
j(anL)(bnM)j< et donc que limn!1(anL)(bnM) = 0: Or, a nbnLM= (anL)(bnM) +L(bnM) +M(anL): 2De plus,
limn!1(anL) = limn!1(bnM) = 0:En utilisant (1) et (2), on en déduit que
lim n!1(anbnLM) = 0:Pour (4), soitN12Ntel quejanj>jLj2
pour toutnN1:Étant donné >0il existe N2> N1tel que
janLjN2Ntel que
janLjnbnqui converge versLMavec= 0:Theorem 1.8(Théorème des Gendarmes).Soient(an)n2N;(bn)n2N;(cn)n2Ntrois suites.
On suppose qu"il existeN2Ntel queanbncnpour toutnN:On suppose aussi que les suites(an)n2Net(cn)n2Nconverge vers une même limiteL:Alorslimn!1bn=L:Démonstration.Soit >0et soient
N12Ntel quenN1) janLj< "
N22Ntel quenN2) jcnLj< :
Alors, pour toutnmaxfN;N1;N2gon a que
< anL < bnL < cnL < et donclimn!1bn=L:32 Suites Extraites
Définition 2.1.Soit(un)n2Nune suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de(un)n2N toute suite(unk)k2Noù(nk)k2Nest une suite strictement croissante d"entiers positifs. Proposition 2.2.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la même li- mite. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite qui converge versL2R:Soient >0etN2N tels quejunLj< pour toutnN:Donc pour toutkN;commenkkN;on a quejunkLj< :Proposition 2.3.Si une suite(un)n2Nne converge pas versL;alors il existe >0et une suite extraite(unk)k2Ntel quejunkLj pour toutk1: Démonstration.Comme la suite(un)n2Nne converge pas versL;il existe >0tel que pour toutN2N;il existenNtel quejunLj :On construit une suite extraite par récurrence : Il existen02Ntel quejun0Lj :Ayant trouvén0< n1< n2<< nktel quejuniLj pour tout0ik;il existenk+1> nktel quejunk+1Lj :Theorem 2.4.SoitM2Ret soit(un)n2Nune suite croissante et majorée parM:Alors
il existeLmtel quelimn!1un=L: Démonstration.On poseA=fun:n2Ng:AlorsAest une partie deRmajorée parM: On poseL= supAet on montre quelimn!1un=L:Soit >0:Alors il existeNtel queL < uN:Comme la suite(un)n2Nest croissante, on a queL < unpour tout nN:Ainsi, pour toutnNon a L < un< L < L+:Définition 2.5.Deux suites(an)n2N;(bn)n2Nseront dites adjacentes si (an)n2Nest croissante; (bn)n2Nest décroissante; lim n!1(bnan) = 0: Proposition 2.6.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alorsanbnpour tout n2N: Démonstration.Supposons au contraire qu"il existen02Ntel quean0> bn0:Alors pour toutnn0on a queanbnan0bn0et donc par la Proposition1.6 on a lim n!1(anbn)an0bn0>0; une contradiction.Proposition 2.7.Deux suites adjacentes deRconverge vers une même limite. Démonstration.Soient(an)n2N;(bn)n2Ndeux suites adjacentes. Alors pour toutn2Non aa0anbnb0:Comme(an)n2Nest une suite croissante et majorée, elle converge vers un certainL2R:De même, comme(bn)n2Nest une suite décroissante et minorée, elle converge vers un certainM2R:Or,limn!1(bnan) =MLet par hypothèse lim n!1(bnan) = 0:Donc,L=M:4 convergente. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite minorée parmet majorée parM:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Nainsi qu"une sous- suite(unk)k2Nde la suite(un)n2Ntelles quemkunkMkpour toutk2N:Par la proposition précédente on a que les suites(mk)k2Net(Mk)k2Nconvergent vers la même limiteL;et par le Théorème des Gendarmes on aura que la sous-suite(unk)k2Nconverge aussi versL:On posem0=m; M0=M;etl0=M0+m02
:Alors soit[m0;l0];soit[l0;M0]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[m0;l0];contient une infinité de terme de la suite(un)n2N;alors on posem1=m0etM1=l0:Autrement on pose alors m1=l0etM1=M0:
Supposons avoir construit une suite d"intervalles emboîtés [mi;Mi][mi1;Mi1] [m1;M1][m0;M0] tels que chaque intervalle contienne une infinité de terme de la suite(un)n2N:On pose alorsli=Mi+mi2 :Alors un des deux intervalles[mi;li];[li;Mi]contient une infinité de terme de la suite(un)n2N:Si l"intervalle[mi;li]contient une infinité de terme de la suite (un)n2N;alors on posemi+1=mietMi+1=li:Autrement on posemi+1=liet M i+1=Mi:On construit ainsi par récurrence une famille d"intervalles emboîtés tels que chacun de ces intervalles contient une infinité de termes de la suite(un)n2N:Ainsi la suite (mk)k2Nest bien croissante et la suite(Mk)k2Nest décroissante. De plus pour toutk2N on a que M k+1mk+1=Mkmk2 On en déduit que la suite(Mkmk)k2Nconverge vers0et donc les suites(mk)k2Net (Mk)k2Nsont adjacentes. Pour toutk2Non choisit un termeunk2[mk;Mk]en sorte quenk> nk1:On a ainsi construit deux suites adjacentes(mk)k2Net(Mk)k2Net une sous suite(unk)k2NavecmkunkMk:3 Suites de Cauchy Définition 3.1.Une suite(un)n2Nsera dite de Cauchy si pour tout >0il existeN2N tel quejunumj< pour toutm;nN: Proposition 3.2.Toute suite convergente est de Cauchy. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite deRqui converge versL2R:Soit >0etN2Ntel quejunLj<2
pour toutnN:Alors, pourm;nNon a junumj junLj+jumLj<2 +2 =:Proposition 3.3.Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy et soitN2Ntel quejunuNj<1 pour toutnN:Ainsi, pour toutnNon ajunj<1 +juNj:On en déduit que la suite (un)n2Nest bornée parmaxfju0j;ju1j;:::;juN1j;juNj+ 1g:5 Theorem 3.4(Complétude deR).Toute suite de Cauchy converge. Démonstration.Soit(un)n2Nune suite de Cauchy. Pour toutn2Non poseAn=fuk: kng:Alors on a A0A1 AnAn+1 :
De plus, chaqueAnest une partie bornée deR:On posen= infAnetn= supAn: Alors(n)n2Nest une suite croissante et(n)n2Nune suite décroissante. Soit >0et N2Ntel queun< um+pour toutm;nN:On a donc queNum+pour toutmN:Or,Nest in minorant deANet doncNN:On en déduit que NNet comme(n)n2Nest décroissante et(n)n2Nest croissante on en déduit quennpour toutnN:Ainsilimn!1(nn) = 0:Les suites(n)n2Net (n)n2Nsont donc adjacentes. SoitL2Rleur limite commune. Commenunnpour toutn2N;le Théorème des Gendarmes implique quelimn!1un=L:4 Valeurs d"adhérence d"une suite
Définition 4.1.Soit(un)n2Nune suite deRetL2R=R[ f1g:On dit queLest une valeur d"adhérence(un)n2Ns"il existe une suite extraite (sous-suite) de(un)n2Nqui converge versL: Proposition 4.2.Soit(un)n2Nune suite deR:AlorsL2Rest une valeur d"adhérence si et seulement si pour tout >0il existe une infinité d"indicesntel quejunLj< : Démonstration.Soit(unk)k2Nune suite extraite de la suite(un)n2Nqui converge versL: Alors pour tout >0il existeN2Ntel quejunkLj< pour toutkN:On a donc quejunLj< pour toutn2 fnk:kNg:Inversement, on suppose que pour tout k1il existe une partie infinieAkNtel quejunLj<1k pour toutn2Ak:On peut donc trouvern1< n2< n31 n!1un<+1: D"autre part, si la suite(un)n2Nn"est pas majorée, alorslimsupn!1un= +1et si la suite(un)n2Nn"est pas minorée, alorsliminfn!1un=1:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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