1 Suites de Cauchy
Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n∈N une suite de nombres réels telle que
Feuille dexercices 5 : Suites monotones suites de Cauchy
http://www.normalesup.org/~vripoll/MAT1013_Exos5.pdf
Suites
On pourra montrer que cette suite une suite de Cauchy. Allez à : Correction exercice 36 : CORRECTIONS Suites réelles. Pascal Lainé. Allez à : Exercice 1 :.
MAT 311 2017 Introduction à lanalyse réelle Feuille dexercices # 3
12 mai 2017 1) Justifier que dans un espace métrique quelconque
Exercices dAnalyse Avec Solutions et Rappels de cours pour
2 nov. 2017 Définitions limite d'une suite et propriétés. • Suites de Cauchy
Suites 1 Convergence
Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes de même limite l
Feuille dexercices 4
Exercice 1. Soit (X d) un espace métrique
Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct
Exercice III.17 Ch3-Exercice17. Montrer en utilisant les suites de Cauchy
Corrigé de la série de TD N˚2 Exercice N˚1 Exercice N˚2
Étude de la nature des suites en utilisant le critère de Cauchy : 1. Un = n. ∑ k=1. 1 k. =1+. 1. 2. +. 1. 3. + +. 1 n. Par définition d'un suite de Cauchy.
Exercices dAnalyse (suite)
(b) Toute suite de Cauchy est convergente. (c) Deux suites adjacentes sont convergentes. Exercice 8 Soit (un) définie par u0 et u1 strictement positifs et un+1
1 Suites de Cauchy
Suites numériques II. 1 Suites de Cauchy. Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n?N une suite de nombres réels telle
1 Suites de Cauchy
Suites numériques II. 1 Suites de Cauchy. Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n?N une suite de nombres réels telle
Suites
Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer Si ( ) ?? est une suite de Cauchy de nombres réels alors est bornée.
n xn x 1 n xn 2.
1 nov. 2018 Exercice 1. [Suites récurrentes et Suites de Cauchy]. Déterminer si les suites suivantes sont de Cauchy ou non. Calculer leur limite dans l' ...
Feuille dexercices 5 : Suites monotones suites de Cauchy
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Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct
Solution : La convergence de la suite (un) vers l s'écrit Solution : Puisqu'il y a équivalence entre suite de Cauchy et suite convergente ...
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire la limite de la suite (un). [007022]. Exercice 98 Récurrence de Cauchy et application. Soit A une partie de N? contenant 1 et telle que.
1 Bornes Sup et Inf 2 Suites de Cauchy suites adjacentes
Exercice 1.1. Soit X une partie non vide de R. Rappeler les définitions suivantes : 1. majorants/minorants de X. 2. borne supérieure/borne inférieure de X.
Exercices de licence
Exercice 234 Soit E un espace vectoriel normé. 1. Soit (xn) une suite de Cauchy de E ; montrer qu'on peut en extraire une sous-suite (xnk ) telle que la
MHT 202 2010 Feuille dexercices n°1 un = ?
EXERCICE 1. Pour chacune des suites suivantes trouver un encadrement
III Complétude Suites de Cauchy et espaces métriques complets
n) une suite de Cauchy dans E Elle est donc bornée par la proposition 1 Soit B¯(ar) une boule fermée la contenant Comme E est de dimension ?nie cette boule est compacte Etant une suite de Cauchy dans un compact la suite (x n) converge Exemple Reprenons l’exemple précédent
Comment calculer une suite de Cauchy ?
Toute suite de Cauchy réelle, converge. Soit la suite U = (un) U = ( u n) définie par : u0 = a u 0 = a un réel et pour tout entier n, un+1 = un + a un 2 u n + 1 = u n + a u n 2 La suite U est une suite qui converge dans R ? vers ?a ? a, donc c'est une suite de Cauchy.
Quelle est la définition d'une suite de Cauchy ?
En gros c'est cela, la définition d'une suite de Cauchy est la suivante : une suite est dite de Cauchy, si . Dans un espace complet (ce qui est le cas de R), les suites de Cauchy et les suites convergentes sont les mêmes.
Quelle est la différence entre une suite de Cauchy et une suite qui converge ?
1si, et seulement si, elle est de Cauchy pour la distanced 2. 2. On veri?e aussi que l’image d’une suite de Cauchy par une´ application uniformement continue, est de Cauchy.´ 1.1.2 Les suites convergentes sont de Cauchy Proposition 1.1. Une suite qui converge est une suite de Cauchy.
Quel est le problème de Cauchy ?
LE PROBLÈME DE CAUCHY POUR LES FONCTIONS pET6. Cherchons à quelles conditions est possible la détermination de deux fonctions p (x, y), ô (x, y), solutions de (3), prenant sur un arc Y (£, *n) ap partenant au massif et constituant tout ou par tie de sa frontière, les valeurs p (£, t)
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Exercices - Corrig´e 7
Exercice 1.[Suites r´ecurrentes et Suites de Cauchy]D´eterminer si les suites suivantes sont de Cauchy ou non. Calculerleur limite dans l"affirmative.
i)xn ?1 ?4 5xn ?15pour toutn
?0 etx0?0. ii)xn ?1 ?x2npour toutn?0 etx0?a?R. iii)xn ?1 ?2xnpour toutn?0 etx0?1. iv)xn ?1 ?x2n?1 pour toutn?0 etx0?0.Solution:Pour certains points de cet exercice nous utiliserons le crit`ere suivant qui donne une condition
suffisante pour qu"une suite soit de Cauchy: Soit ?xn?une suite num´erique telle qu"il existe0?λ?1etc?0avec?xn ?1 ?xn??cλn. Alors?xn?est une suite de Cauchy (et donc convergente). i) Pour toutn ?1 on calcule?xn ?1 ?xn?et on trouve ?xn ?1 ?xn???4 5xn ?1 5 ??4 5xn ?1 ?1 5 ???4 5 ?xn?xn ?1Ainsi, pour toutn?1 on a?xn
?1 ?xn???4 5 ?n ?x1?x0?. Commex1?x0?x1?15on conclut que
?xn ?1 ?xn??1 5 ??4 5 ?npour toutn ?0. Ainsi la suite est de Cauchy par le crit`ere ci-dessus. Pour trouver sa limite on r´esoud l"´equationx ?4 5x ?15et on trouve limn
???xn?x?1 ii) On remarque que la suite s"´ecritxn ?a2n(et on le prouve par r´ecurrence). Ainsi, si?a??1 la suite est non born´ee et donc elle ne peut pas ˆetre de Cauchy. Si ?a??1 alors la suite est constante `a partir den ?1 c"est donc une suite de Cauchy et sa limite vaut 1. Si?a??1 alors la suitexn?a2nconverge vers 0, elle est donc de Cauchy. iii) Observons d"abord que 1 ?xn?2 pour toutn?N(se d´emontre par r´ecurrence). Ensuite, pour tout n ?Non calcule?xn ?1 ?xn?et on trouve ?xn ?1 ?xn??? ?2xn? ?2xn ?1 ???2xn?2xn ?1 ?2xn? ?2xn ?1 ??2 2 ?2 ?xn?xn ?1 ??1 ?2 ?xn?xn ?1Donc, pour toutn?Non trouve?xn
?1 ?xn???1 ?2 n ?x1?x0??? ?2?1? ?1 ?2 n. Donc la suite est de Cauchy d"apr`es le crit`ere ci-dessus. Sa limite se trouve en r´esolvant l"´equationx ?2xet en tenant compte des valeurs de la suite. On trouvex ?0 oux?2 et comme 1?xn?2 pour toutnon en d´eduit quex ?limn ???xn?2. iv) Ici on observe facilement que la suite est non born´ee. Elle n"est donc pas de Cauchy.Solutions des exercices du 1 novembre 2018
Analyse I (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFLExercice 2.[Vrai ou Faux (Suites)]
V F 1) Si ?yn?est sous-suite de?xn?et?zn?est sous-suite de?yn?, alors?zn?est sous-suite de?xn?.??2) Une suite qui v´erifie?xn
?1 ?xn??10 ?npour toutn ?Nest de Cauchy.??3) Si limn
?xn ?4 ?xn??0 alors?xn?est de Cauchy.??4) Une suite g´eom´etrique est toujours de Cauchy.??
5) Si?xn?est de Cauchy etxn??0 pour toutn?N, alors?1
xn ?est de Cauchy.??6) Toute suite constante est de Cauchy.??
7) Une suite de Cauchy est toujours born´ee.??
8) Une sous-suite d"une suite de Cauchy est de Cauchy.??
9) Si?x2n?est de Cauchy alors?xn?est aussi de Cauchy.??
10) Si?xn?est de Cauchy alors limn
?xn ?k ?xn??0 pour toutk?N.??Solution:
1) Vrai. Cela d´ecoule du fait que la composition de deux fonction strictement croissantesf,g
?N?Nest encore strictement croissante.2) Vrai. C"est un cas particulier du crit`ere vu dans la solution de l"exercice 1.
3) Faux. On peut prendrexn
?nqui v´erifie la condition mais qui est non born´ee, donc pas de Cauchy.4) Faux. Si la raisonrde la suite g´eom´etrique v´erifie
?r??1 alors la suite n"est pas born´ee et ne peut donc pas ˆetre de Cauchy.5) Faux. Prenonsxn
?1 n?1. Cette suite est convergente donc de Cauchy. De plusxn ?0 pour toutn. Par contre la suite des inverses 1 xn ?n?1 n"est pas born´ee donc pas de Cauchy.6) Vrai. Une suite constante est banalement de Cauchy car
?xm?xn??0 pour tousm,n?N.7) Vrai. On le montre avec la d´efinition ou on utilise le fait qu"une suite deCauchy est convergente donc
born´ee.8) Vrai. Comme une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente et que tout sous-suite
d"une suite convergente est convergente on en d´eduit le r´esultat.9) Faux. La suitexn
???1?nn"est pas de Cauchy (car non convergente) mais son carr´e l"est carx2n ?1 pour toutn.10) Vrai. On sait que pour toutε
?0 il existenε?Ntel que sim,n?nεalors?xm?xn??ε. En prenant m ?n?kon obtient que?xn ?k ?xn??εce qui montre l"assertion.Solutions des exercices du 1 novembre 2018
Analyse I (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFLExercice 3.[S´eries - QCM calculatoire]
Etudier la convergence et/ou donner la valeur de chaque s´erie ci-dessous 1) k?05 ?k1????diverge?0? 2) k?18 ?k ?? ?diverge?1 7 ?8 7 3) k?0sin ?k3?k1?diverge????0? 4) k?1 ?1 ?k ?1 ?k?1 ?0??? ?1 2 ?1? 5) k?21k2?112 ?2 3 ?3 4 ?diverge? 6) k?01k2?5k?612 ?2 3 ?3 4 7) k?0k ?2 k3?5k2?8k?4diverge 10 ?1???? 8) k?13k?k?3? 13 6 ?11 6 ?2?Solution:
1) Commexn
?5 ?nest une suite strictement positive et strictement croissante on a que la suite des sommes partielles tend vers2) Il s"agit d"une s´erie g´eom´etrique de raisonr?1
8mais qui commence aveck
?1. On a donc k?18 ?k k?0 ?1 8 k ?1?1 1?1 8 ?1?8 7 ?1?1 73) La suite sin
?k3?kne converge pas vers 0 (Pour s"en convaincre il suffit de remarquerqu"il existe une infinit´e d"entierskpour lesquels sin ?k3??12par exemple). Donc la s´erie de terme sin
?k3?kdiverge. Par contre il n"est pas ´evident de savoir si k?0sin ?k3?k???ou??ou aucun des deux cas n"est possible.A ce jour je ne connais pas la r´eponse!
4) Pour ´etudier ce genre de s´erie on regarde les sommes partiellessn
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