I Module et Argument dun nombre complexe PDF

I Module et Argument dun nombre complexe

Calculer (1 + i?3)5 ;. 2. Déterminer une forme trigonométrique de ?. ?3 + i. ?1 ? i . 3. Déterminer

Fiche pour le calcul darguments en SLCI

06-Nov-2016 Réponse harmonique des systèmes du 1° et 2° ordre. Denis DEFAUCHY. 06/11/2016. Fiche argument. Page 2 sur 7. A.I.2 Calcul de l'argument.

Les frères Huygens et le calcul des aages: Largument du pari

ET LE <CALCUL DES AAGES>>. L'argument du pari 6quitable. Jean-Marc ROHRBASSER* Jacques VERON*. II serait sarement abusif de compter des savants comme.

Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

Calculer la distance où et sont les affixes des deux points. La distance AB est donc. 2)] Argument d'un nombre complexe non nul. Définition.

NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe ... 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u.

Nombres complexes

Nombre de module 3 et d'argument -?/8. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u =.

Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

Module et argument de l'opposé et du conjugué . Remarques : Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que :.

Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire

Exercice 3 Effectuer les calculs suivants : 1. (3 + 2i)(1 ? 3i). 2. Produit du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le

1 Modulus and argument - Loughborough University

The argument of zis argz= = arctan y x :-Re 6 Im y uz= x+iy x 3 r Note: When calculating you must take account of the quadrant in which zlies - if in doubt draw an Argand diagram The principle value of the argument is denoted by Argz and is the unique value of argzsuch that ?

Exercices : Argument d’un nombre complexe Savoir d eterminer

Savoir utiliser les propri et es des arguments 1) D eterminer un argument de z 1 = 1 + iet z 2 = 3 + p 3i 2) En d eduire un argument des nombres suivants : z 1 z 2 3 p 3i 1 2 (1 + i) 1 i (3 p 3i)2 (1 i)3 Pi eges a eviter sur les arguments 1) D eterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 2(cos ? 4 + isin ? 4) z 2

Searches related to calculer un argument PDF

ment Le cas échéant ces propositions acquièrent ensuite un statut de savoir aux yeux des élèves Nous avons également pu préciser certaines caractéristiques favorables pour ces situations notamment : l’existence d’un enjeu explicite de preuve la dévolution d’un travail de preuve le

Comment formuler un argument ?

La formulation de l’argument doit montrer au correcteur que le sujet est toujours au cœur de votre réflexion : il faut donc ne pas cesser, tout au long de la copie, d’en reprendre les termes, comme si chaque nouvel argument permettait de creuser davantage le sujet et le sens des mots-clés de la problématique.

Comment déterminer le module et un argument d'un nombre complexe ?

Méthode : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe Afin de calculer le module ?z? et un argument ? d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a +ib. On applique ensuite les formules du cours.

Comment calculer l’argument d’un complexe?

où X 0 est le module du complexe x ( t ) et ( ? t + ? ) est l’argument du complexe x ( t ) . La solution générale de (1) : x ( t ) = X 0 ( cos? t + ? ) est la partie réelle du complexe ( ) x ( t ) = X 0 e j ? t +? .

Comment rédiger des arguments?

Varier les arguments en s’appuyant sur différents domaines de réflexion, chercher des exemples pertinents. 2 – Faire une concession : à partir des commentaires sur un blog en réaction à un sujet, classer les arguments en deux groupes selon les points de vue défendus.

TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013

I Module et Argument d"un nombre complexe

Tout pointMdu plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r,θ) (r >0,θréel)

rest la distanceOM;

θest une mesure de l"angle (?u,--→OM). Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires : (r,θ) est un couple de coordonnées polaires deMet (x,y) les coordonnées cartésiennes deM: 0?u ?v? M r=OM On a :x=rcosθety=rsinθ?r=?x2+y2etcos(θ) =xr,sin(θ) =yr.

I.1 Définition :

Définition 1Soitzun nombre complexe non nul,Mle point d"affixezet(r,θ)un couple de coordonnées polaires

deM. On décide des termes suivants :

rest le module dezet cela se noter=|z|;

θest un argument dezet cela se noteθ=arg(z)[2π];

I.2 Propriétés :

z=x+ iy, on a :|z|=?

x2+y2ou encore|z|2=x2+y2=zz SoitMd"affixez, arg(z) = (-→u;--→OM)(2π) Pour tout réelx, le module dexest la valeur absolue dexet : ?six >0, arg(x) = 0(2π); ?six <0, arg(x) =π2π);

z?= 0,zimaginaire pur?arg(z) =±π

2(2π)

|z|=|

z|etarg(z) =-arg(z)(2π);

| -z|=|z|et arg(-z) =π+arg(z)(2π);

Exemple 1Calculer le module et l"argument dez1= 1 +i,z2= 1 +i⎷

3,z3=-3ietz4= 2 + 3i

I.3 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

Théorème 1Tout nombre complexeznon nul peut s"écrire sous la forme z=r(cosθ+ isinθ) oùr=|z|etθ=arg(z)(2π).

Réciproquement : Si un nombre complexe non nulzs"écrit sous la formez=r(cosθ+ isinθ) avecr >0 alors

|z|=ret arg(z) =θ(2π).

L"écriture

z=r(cosθ+ isinθ) s"appelle la forme trigonométrique dez.

My Maths Space1 sur 5

TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013 EXERCICE 11. Quelle est la forme trigonométrique dez1=-1 + i⎷3.

2.z2est un nombre complexe de module 3 et d"argument-π

4. Quelle est la forme algébrique dez2?

3.z3=-3(cosθ+ isinθ).z3est-il écrit sous forme trigonométrique?

Théorème 2Soitz=r(cosθ+ isinθ) etz?=r?(cosθ?+ isinθ?) deux nombres complexes. Alors, on a :

zz?=rr?(cos(θ+θ?) + isin(θ+θ?));

z z?=rr?(cos(θ-θ?) + isin(θ-θ?)) (z??= 0); Tableau récapitulatif des propriétés vérifiées par module et argument : Quels que soient les nombres complexeszetz?(z??= 0) : Produit|z×z?|=|z| × |z?|arg(zz?) =arg(z)+arg(z?)(2π)

Puissance|zn|=|z|narg(zn) =narg(z)(2π)

Inverse????1z????

=1|z|arg?1z? =-arg(z)(2π)

Quotient???zz????

=|z||z?|arg?zz?? =arg(z)-arg(z?)(2π)

Conjugu´e|z|=|z|arg(z) =-arg(z)(2π)

Oppos´e| -z|=|z|arg(-z) =π+arg(z)(2π)

Exemple 2d"utilisation de la forme trigonométrique :

1. Calculer(1 +i⎷

3)5;

2. Déterminer une forme trigonométrique de

3 +i -1-i.

3. Déterminer une forme trigonométrique de(⎷

3 + 3i)(3-i⎷3).

EXERCICE 2On considère le nombre complexe :

z= 1-⎷

3 + i(1 +⎷3)

1. Écrirez2sous forme algébrique.

2. Déterminer le module et un argument dez2.

3. Indiquer le signe de la partie réelle dezet celui de la partie imaginaire, puis, à l"aide des propriétés sur module

et arguments, déterminer le module et un argument dez.

4. Déduire de ce qui précéde les lignes trigonométriques de

7π

12, puis deπ12.

My Maths Space2 sur 5

TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013

II Notation Exponentielle

II.1 Notation

Si l"on posef(θ) =cosθ+ isinθ, le théorème 2 prouve quef(θ+θ?) =f(θ)×f(θ?)

De plus si l"on applique la formule de la dérivée d"une somme àla fonctionf=cos+ isin, on obtient :f?(θ) = if(θ),

d"où par analogie avec les relations vérifiées par l"exponentielle, on définit :

Définition :Pour tout réelθ, on pose

eiθ=cosθ+ isinθ

Conséquences :

Tout nombre complexeznon nul, de moduleret d"argumentθs"écritz=reiθ: cette écriture est appeléeforme

exponentielle dezet réciproquement, de la même manière qu"avec la forme trigonométrique : siz=reiθet

r >0, alors|z|=retarg(z) =θ[2π]. (important)|eiθ|= 1 etarg(eiθ) =θ[2π].

Grâce aux propriétés des formes trigonométriques (th.2.) vues précédemment, l"exponentielle complexe possède

des propriétés qui rappellent celles de l"exponentielle réelle : eiθ×eiθ?=ei(θ+θ?);eiθ

EXERCICE 3:

Écrire les nombres suivants sous forme algébrique :eiπ

6et 4eiπ4.

Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1;-1; i;-i;1

2+ i⎷

2; 1 + i; (1-i)8.

II.2 FORMULES de MOIVRE et D"EULER

Théorème 3Formules de MOIVRE : Pour toutθet tout entiern: (cosθ+ isinθ)n=cos(nθ) + isin(nθ) (reformulation de (eiθ)n=einθ) (cosθ-isinθ)n=cos(nθ)-isin(nθ) (changement en-θdans la formule précédente)

Formules d"EULER :

Pour tout réelθ:

III Nombres complexes en géométrie

III.1 Module et argument de l"affixe d"un vecteur

Soit?wun vecteur d"affixez?wetAle point tel que-→OA=?w. D"après ce qui précède,z?w=z--→OA=zA-zO=zAcarzO= 0, donc nous avons : ?|z?w|=|zA|=OA=||?w|| arg(z?w) =arg(zA) = (?u,-→OA) = (?u, ?w)[2π] 0?u ?v? A r=OA ?w

My Maths Space3 sur 5

TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013

III.1.1 Module et argument dezB-zA

Théorème 4AetBsont deux points d"affixes respectiveszAetzBdans le plan complexe repéré par (O;?u,?v)

orthonormé. On a : |zB-zA|=AB démonstration : ...... Exemple 3SoitA(1-2i),B(3 + 2i)etC(-3). Quelle est la nature du triangleABC? =?Utilisation dans la recherche d"ensemble de points :

M(z) vérifie|z-z1|=r(r >0). On pose ......

M(z) vérifie|z-z1|=|z-z2|. On pose ......

Exemple 4Quel est l"ensemble des pointsM(z)qui vérifient|z+ 3i|=|z-1 +i|?

Théorème 5AetBsont deux points d"affixes respectiveszAetzBdans le plan complexe repéré par (O;?u,?v)

orthonormé direct. On a : arg(zB-zA) = (-→u;--→AB) démonstration : ...... Exemple 5SoitA(-2-2i),B(3 + 3i). Calculer(-→u;-→BA). Remarque 1Il faudra être vigilant car|zB-zA|=|zA-zB|en effetAB=BAmais arg(zB-zA)?=arg(zA-zB).

A vérifier .......

My Maths Space4 sur 5

TSChapitre 10 : Les nombres complexes (2ème partie)2012-2013

III.1.2 Module et argument dezD-zCzB-zA

Propriété 1Soit?wet?w?des vecteurs non nuls d"affixes respectivesz?wetz?w?, on a : arg?z˜w?z˜w? = (˜w,˜w?) (2π) démonstration : ......

Propriétés :

Soit˜wet˜w?des vecteurs non nuls d"affixes respectivesz?wetz?w?.

˜wet˜w?colinéaires?z˜w?

z˜wréel;

˜wet˜w?orthogonaux?z˜w?

z˜wimaginaire pur .

Exemple 6d"utilisation :

A,B,CetDsont quatre points deux à deux distincts d"affixes respectiveszA,zB,zcetzD. Exprimer en fonction d"un angle orienté

de vecteurs arg?zD-zCzB-zA? . Exprimer???zD-zCzB-zA??? en fonction deABetCD.

Propriété 2En résumé,

?z D-zC zB-zA???? =CDABetarg?zD-zCzB-zA? = (--→AB;--→CD) (2π)

Remarque 2En particulier,????z

C-zAzB-zA????

=............et arg?zC-zAzB-zA? =......................(2π)

EXERCICE 4Reprendre l"exemple 3 et prouver, en utilisant la relation avec les angles orientés de vecteurs que le

triangleABCest rectangle enA.

My Maths Space5 sur 5

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] nombres complexes montrer que deux droites sont parallèles

[PDF] argument de 1 i

[PDF] complexe droite perpendiculaire

[PDF] compensation de masse définition

[PDF] cercle trigo

[PDF] l'art et la réalité dissertation

[PDF] l'art nous détourne t il de la réalité intro

[PDF] l'art nous éloigne t il de la réalité plan

[PDF] figure acrosport

[PDF] l art modifie t il notre rapport ? la réalité plan

[PDF] démontrer que 3 points appartiennent ? un même cercle

[PDF] influence de la philosophie sur la psychologie

[PDF] histoire de la psychologie de l'antiquité ? nos jours

[PDF] l'objet de la psychologie

[PDF] pv d'expertise automobile

[PDF] I Module et Argument dun nombre complexe

Comment formuler un argument ?

Comment déterminer le module et un argument d'un nombre complexe ?

Comment calculer l’argument d’un complexe?

Comment rédiger des arguments?

I Module et Argument d"un nombre complexe

rest la distanceOM;

I.1 Définition :

rest le module dezet cela se noter=|z|;

I.2 Propriétés :

z=x+ iy, on a :|z|=?

z?= 0,zimaginaire pur?arg(z) =±π

2(2π)

 |z|=|

 | -z|=|z|et arg(-z) =π+arg(z)(2π);

3,z3=-3ietz4= 2 + 3i

I.3 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

L"écriture

My Maths Space1 sur 5

2.z2est un nombre complexe de module 3 et d"argument-π

4. Quelle est la forme algébrique dez2?

3.z3=-3(cosθ+ isinθ).z3est-il écrit sous forme trigonométrique?

zz?=rr?(cos(θ+θ?) + isin(θ+θ?));

Puissance|zn|=|z|narg(zn) =narg(z)(2π)

Inverse????1z????

Quotient???zz????

Conjugu´e|z|=|z|arg(z) =-arg(z)(2π)

Oppos´e| -z|=|z|arg(-z) =π+arg(z)(2π)

1. Calculer(1 +i⎷

2. Déterminer une forme trigonométrique de

3. Déterminer une forme trigonométrique de(⎷

3 + 3i)(3-i⎷3).

EXERCICE 2On considère le nombre complexe :

3 + i(1 +⎷3)

1. Écrirez2sous forme algébrique.

2. Déterminer le module et un argument dez2.

3. Indiquer le signe de la partie réelle dezet celui de la partie imaginaire, puis, à l"aide des propriétés sur module

4. Déduire de ce qui précéde les lignes trigonométriques de

12, puis deπ12.

My Maths Space2 sur 5

II Notation Exponentielle

II.1 Notation

Définition :Pour tout réelθ, on pose

Conséquences :

EXERCICE 3:

6et 4eiπ4.

2+ i⎷

2; 1 + i; (1-i)8.

II.2 FORMULES de MOIVRE et D"EULER

Formules d"EULER :

Pour tout réelθ:

III Nombres complexes en géométrie

III.1 Module et argument de l"affixe d"un vecteur

My Maths Space3 sur 5

III.1.1 Module et argument dezB-zA

M(z) vérifie|z-z1|=r(r >0). On pose ......

M(z) vérifie|z-z1|=|z-z2|. On pose ......

A vérifier .......

My Maths Space4 sur 5

III.1.2 Module et argument dezD-zCzB-zA

Propriétés :

˜wet˜w?colinéaires?z˜w?

˜wet˜w?orthogonaux?z˜w?

Exemple 6d"utilisation :

Propriété 2En résumé,

Remarque 2En particulier,????z

C-zAzB-zA????

My Maths Space5 sur 5

rest la distanceOM;

rest le module dezet cela se noter=|z|;

z=x+ iy, on a :|z|=?

z?= 0,zimaginaire pur?arg(z) =±π

|z|=|

| -z|=|z|et arg(-z) =π+arg(z)(2π);

zz?=rr?(cos(θ+θ?) + isin(θ+θ?));

M(z) vérifie|z-z1|=r(r >0). On pose ......

M(z) vérifie|z-z1|=|z-z2|. On pose ......

˜wet˜w?colinéaires?z˜w?

˜wet˜w?orthogonaux?z˜w?