I Module et Argument dun nombre complexe
Calculer (1 + i?3)5 ;. 2. Déterminer une forme trigonométrique de ?. ?3 + i. ?1 ? i . 3. Déterminer
Nombres complexes
Calcul : pour z = a + jb on a.
Columelle 3 3
https://www.jstor.org/stable/43605877
Fiche pour le calcul darguments en SLCI
06-Nov-2016 Réponse harmonique des systèmes du 1° et 2° ordre. Denis DEFAUCHY. 06/11/2016. Fiche argument. Page 2 sur 7. A.I.2 Calcul de l'argument.
Les frères Huygens et le calcul des aages: Largument du pari
ET LE <CALCUL DES AAGES>>. L'argument du pari 6quitable. Jean-Marc ROHRBASSER* Jacques VERON*. II serait sarement abusif de compter des savants comme.
Calcul avec les nombres complexes/Module et argument
Calculer la distance où et sont les affixes des deux points. La distance AB est donc. 2)] Argument d'un nombre complexe non nul. Définition.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
I. Module et argument d'un nombre complexe Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe ... 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u.
Nombres complexes
Nombre de module 3 et d'argument -?/8. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u =.
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Module et argument de l'opposé et du conjugué . Remarques : Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que :.
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
Exercice 3 Effectuer les calculs suivants : 1. (3 + 2i)(1 ? 3i). 2. Produit du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le
1 Modulus and argument - Loughborough University
The argument of zis argz= = arctan y x :-Re 6 Im y uz= x+iy x 3 r Note: When calculating you must take account of the quadrant in which zlies - if in doubt draw an Argand diagram The principle value of the argument is denoted by Argz and is the unique value of argzsuch that ?
Exercices : Argument d’un nombre complexe Savoir d eterminer
Savoir utiliser les propri et es des arguments 1) D eterminer un argument de z 1 = 1 + iet z 2 = 3 + p 3i 2) En d eduire un argument des nombres suivants : z 1 z 2 3 p 3i 1 2 (1 + i) 1 i (3 p 3i)2 (1 i)3 Pi eges a eviter sur les arguments 1) D eterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 2(cos ? 4 + isin ? 4) z 2
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ment Le cas échéant ces propositions acquièrent ensuite un statut de savoir aux yeux des élèves Nous avons également pu préciser certaines caractéristiques favorables pour ces situations notamment : l’existence d’un enjeu explicite de preuve la dévolution d’un travail de preuve le
Comment formuler un argument ?
La formulation de l’argument doit montrer au correcteur que le sujet est toujours au cœur de votre réflexion : il faut donc ne pas cesser, tout au long de la copie, d’en reprendre les termes, comme si chaque nouvel argument permettait de creuser davantage le sujet et le sens des mots-clés de la problématique.
Comment déterminer le module et un argument d'un nombre complexe ?
Méthode : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe Afin de calculer le module ?z? et un argument ? d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a +ib. On applique ensuite les formules du cours.
Comment calculer l’argument d’un complexe?
où X 0 est le module du complexe x ( t ) et ( ? t + ? ) est l’argument du complexe x ( t ) . La solution générale de (1) : x ( t ) = X 0 ( cos? t + ? ) est la partie réelle du complexe ( ) x ( t ) = X 0 e j ? t +? .
Comment rédiger des arguments?
Varier les arguments en s’appuyant sur différents domaines de réflexion, chercher des exemples pertinents. 2 – Faire une concession : à partir des commentaires sur un blog en réaction à un sujet, classer les arguments en deux groupes selon les points de vue défendus.
Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :3+6i34i;1+i2i
2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.
2.Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.
Calculer le module et l"argument deu=p6ip2
2 etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.Calculer les racines carrées de
1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).
1Résoudre dansCles équations suivantes :
z2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;
z2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;
z4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:
Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.
1.Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines
de 1+z+z2=0. 2.Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2+
+zn1=0. Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z6+(7i)z388i=0:
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)4 Géométrie
Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : 1. z3z5 =1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique.Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé
(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O1i1.Donner lesaffixesw0;:::;w4despointsA0;:::;A4. Montrerquewk=w1kpourk2f0;1;2;3;4g. Montrer
que 1+w1+w21+w31+w41=0. 2.En déduire que cos (2p5
)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 =cos2p5 4.On cons idèrele point Id"affixei2
, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection de Cavec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.5.Application:Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
5 Trigonométrie
Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n)en fonction deretq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.
1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avec
ab=1. 3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]
il existeqetrdansZ[i]vérifiant : a=bq+ravecjrjcalculer cosqet sinq.Indication pourl"exer cice3 NPassez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :
eiaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que
jwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de 1+ip2 =eip4de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour
l"exer cice13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour
l"exer cice15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour
l"exer cice16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.5
Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur
par son conjugué nous obtenons un nombre réel. =35 +65i:
Calculons
1+i2i=(1+i)(2+i)5
=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:
Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32
+72iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip3 2 ) =1+ip3.
2.z2=3eip8
=3cosp83isinp8
=3p2+p2 23ip2p2
2 Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p8 et sinp8 : posonsq=p8 , alors 2q=p4 et donc cos(2q)=p2 2 =sin(2q). Mais cos(2q)=2cos2q1. Donc cos2q=cos(2q)+12 =14 (2+p2). Et ensuite sin2q=1cos2q=14
(2p2). Comme 06q=p8 6p2 , cosqet sinqsont des nombres positifs. Donc cos p8 =12 q2+p2;sinp8 =12 q2p2:Correction del"exer cice3 NNous avons u=p6p2i2 =p2 p3 2 i2 =p2 cosp6 isinp6 =p2eip6 puis v=1i=p2eip4Il ne reste plus qu"à calculer le quotient :
uv =p2eip6p2eip4 =eip6 +ip4 =eip12 :Correction del"exer cice4 ND"après la formule de Moivre poureianous avons : e eia=ecosa+isina=ecosaeisina: Orecosa>0 donc l"écriture précédente est bien de la forme "module-argument". 6De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
. En effet e iu+eiv=eiu+v2 eiuv2 +eiuv2 =eiu+v22cosuv2
=2cosuv2 eiu+v2 Ce qui est proche de l"écriture en coordonées polaires.Pour le cas qui nous concerne :
z=eiq+e2iq=e3iq2 h eiq2 +eiq2 i =2cosq2 e3iq2 Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si cos q2 >0 alors 2cosq2 est le module dezet 3q=2 est son argument ; par contre si cosq2 <0 le module est 2jcosq2 jet l"argument3q=2+p(le+pcompense le changement de signe careip=1).Correction del"exer cice5 NRacines carrées.Soitz=a+ibun nombre complexe aveca;b2R; nous cherchons les complexesw2Ctels
quew2=z. Écrivonsw=a+ib. Nous raisonnons par équivalence : w2=z,(a+ib)2=a+ib
,a2b2+2iab=a+ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires : a2b2=a 2ab=b Sans changer l"équivalence nous rajoutons la conditionjwj2=jzj. 8 :a2+b2=pa
2+b2 a 2b2=a 2ab=b Par somme et différence des deux premières lignes : 8 :a2=a+pa
2+b22 b2=a+pa
2+b22 2ab=b ,8 >:a=qa+pa 2+b22 b=qa+pa 2+b22 abest du même signe queb Cela donne deux couples(a;b)de solutions et donc deux racines carrées (opposées)w=a+ibdez. 7 En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pourz=86i, w2=z,(a+ib)2=86i
,a2b2+2iab=86i a2b2=8 2ab=6 ,8 :a2+b2=p8
2+(6)2=10 le module dez
a 2b2=8 2ab=6 ,8 :2a2=18 b 2=1 2ab=6 ,8 :a=p9=3 b=1 aetbde signes opposés ,8 :a=3 etb=1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] argument de 1 i
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