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Le cercle trigonométrique

I/ Rappels du collège

II/ Cercle trigonométrique

III/ Cosinus et sinus

IV/ Les angles associés en degrés

V/ Enroulement autour du cercle trigonométrique

VI/ Les quadrants

VII/ Démonstrations

VIII/ Les angles associés en radians

IX/ Les fonctions trigonométriques

I/ Rappels du collège : trigonométrie dans un triangle rectangle côté hypoténuse cos = adjacent hypoté nuse opposé sin = opposé hypoté nuse côté adjacent tan = sin cos D opposé adjacent < 90°. cos et sin étant des rapports de longueurs, cos > 0 et sin > 0. < 1 et sin < 1. Finalement, si 0° < < 90°, alors 0 < cos < 1 et 0 < sin < 1.

Exercice

Donner la longueur h

On a le côté opposé

30°

5 cos 30° =

5 h donc h = 5 30cos
5,77.

II/ Cercle trigonométrique

repère et de rayon 1. À tout point M du cercle trigonométrique on associe un angle . M

O A

90°

180° 0°

270°

Pour atteindre le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ), on peut faire trois quarts de tour à partir du

point A ( 1 ; 0 ). Autrement dit, le point de coordonnées ( 0 ; - aussi à - 90°. - 180°. etc.

90° ou - 270 °

180° ou - 180° 0° ou 360° ou - 360° etc.

270° ou - 90°

angles. Un angle qui tourne dans le sens trigonométrique a une mesure positive.

Un angle qui tour

collège).

III/ Cosinus et sinus

M O et sin . cos = OM OM donc cos

De même, sin =

MM OM Cela servira de définition du cosinus et du sinus :

Définition

Soit M un point du cercle trigonométrique.

Soit cos est sin

Exemples 90°

donc cos 0° = 1 et sin = 0. ( 0 ; 1 ) donc cos 90° = 0 et sin 90° = 1.

180° 0°

De même, cos 180° = - 1 et sin 180° = 0.

De même, cos ( - 90° ) = 0 et sin ( - 90° ) = - 1. De même, cos ( 270° ) = 0 et sin ( 270° ) = - 1. - 90°

On peut maintenant donner le cosinus

même si elle est très grande, même si elle est négative. Propriété : quel que soit le nombre , - 1 cos 1 et - 1 sin 1. Propriété : quel que soit le nombre , ( cos ) 2 + ( sin ) 2 = 1.

Démonstration

0° 30° 45° 60° 90°

cos 1 3 2 2 2 1 2 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Exercice : vérifiez que ( cos 30° ) 2 + ( sin 30° ) 2 = 1.

IV/ Les angles associés en degrés

Donner cos 120° et sin 120°

120° 60°

cos 60° = 1 2 et sin 60° = 3 2 1 2 3 2 Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée. donc les coordonnées de B sont ( - 1 2 3 2 donc cos 120° = - 1 2 et sin 120° = 3 2

Donner cos 135° et sin 135°

135° 45°

de 45° est représenté par le point A. cos 45° = 2 2 et sin 45° = 2 2 2 2 2 2 Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée. donc les coordonnées de B sont ( - 2 2 2 2 donc cos 135° = - 2 2 et sin 135° = 2 2

Donner cos 225° et sin 225°

45°

225°

cos 45° = 2 2 et sin 45° = 2 2 2 2 2 2 Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses et des ordonnées opposées donc les coordonnées de B sont ( - 2 2 2 2 donc cos 225° = - 2 2 et sin 225° = - 2 2

Donner cos ( - 30° ) et sin ( - 30° )

Faites-le vous même.

On trouve cos ( - 30° ) =

3 2 et sin ( - 30° ) = - 1 2

V/ Les quadrants

Le cercle trigonométrique est composé de quatre quadrants.

2 e 1 er cos < 0 cos > 0

quadrant quadrant sin > 0 sin > 0

3 e 4 e cos < 0 cos > 0

quadrant quadrant sin < 0 sin < 0 Les angles représentés par un point du premier quadrant ont - une mesure comprise entre 0° et 90° - un cosinus positif - un sinus positif. Ce sont les angles utilisés par la trigonométrie du collège. Les angles représentés par un point du deuxième quadrant ont - une mesure comprise entre 90° et 180° - un cosinus négatif - un sinus positif. etc. Voir le cercle plus haut. VI/ Enroulement autour du cercle trigonométrique On fixe une corde au point A et on enroule cette corde autour du cercle trigonométrique. M

O A O A

Question: quelle est la longueur de corde enroulée autour du cercle entre les points A et M ? est grand, plus cette longueur de corde est grande. aussi deux fois plus grande.

Cela indique que .

Bon, mais comment la calculer ?

Cherchons la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet (du point A au point A). -à-dire 2 R où R est le rayon du cercle trigonométrique. Comme le rayon du rayon du cercle trigonométrique est 1, la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet est 2 .

On enroule maintenant seulement sur un demi-tour.

eur de corde est deux fois plus petite. La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un demi-tour est . On enroule maintenant seulement sur un quart de tour.

La longueur de corde est encore divisée par 2.

La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un quart de tour est 2

Correspondance avec les angles

longueur de corde de 2 .

Quand on a enroulé sur un demi-

longueur de corde de . longueur de corde de 2 2 S 2 4 0

360° 180° 90° 45° 0°

La longueur de corde enroulée est une autre façon de mesurer un angle. radian. 2 on trouve une longueur de corde de 1 2 2 4 on trouve une longueur de corde de 1 3 2 6 on trouve une longueur de corde de 2 3 2 3

Mesure en radians 0

6 4 3 2 S Mesure en degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° 2 0 - S 3 2 2 2 3 3 4 3 5 3 2 2 3 3 5 6 6 S 7 6 11 6 4 3 5 3 3 2

On a vu que sin 30° =

1 2 . On dira donc que sin 6 1 2

De même, on dira que cos = - 1 ; sin

2 = 1 ; cos 4 2 2 ; sin 2 = 0 etc.

On peut même dire que cos

5 4 2 2 ; cos ( - 3 1 2 ; sin 2 3 3 2 etc.

VII/ Démonstrations

Calcul de cos 45° et de sin 45°

On utilise un triangle isocèle rectangle.

Si les deux côtés de même longueur ont pour longueur 1, ongueur 2 donc cos 45° = 1 2 12 22
u 2 2 et

45° sin 45° =

1 2 12 22
u 2 2 Calcul de cos 30°, sin 30°, cos 60° et sin 60° On utilise un triangle équilatéral de côté 1. Avec le théorème de Pythagore, on trouve que 1 2

30° - longueur

3 2

60° cos 60° =

1 2 et sin 60 ° = 3 2 3 2 , le côté oppos longueur 1 2 3 2 et sin 30 ° = 1 2

Finalement

0° 30° 45° 60° 90°

cos 1 3 2 2 2 1 2 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1

VIII/ Les angles associés en radians

0 6 4 3 2 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1

À partir de cos

3 et de sin 3 , le cercle trigonométrique permet de donner cos 2 3 et sin 2 3

On dit que

3 et 2 3 sont associés.

Donner cos

2 3 et sinquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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