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Université Lumière Lyon 2
École Doctorale EPIC
ED 485 - Éducation - Psychologie - Information et CommunicationUnité Mixte de Recherche : UMR 5191 ICAR
Institut de Sciences et Pratiques de l"Éducation et de la FormationEnseignement et apprentis
sage de la résolution de problèmes mathématiquesLe cas des problèmes numériques au cycle 3 de l"école primaire française Approches didactique et ergonomique
Par Maryvonne PRIOLET
Thèse présentée pour le Do
ctorat de l"Université Lyon 2 en Sciences de l"Éducation Sous la direction de Jean-Claude RÉGNIERSoutenue publiquement le 6 mai 2008
Devant le jury composé de :
Mme Nadja Acioly-Régnier, Maître de Conférence, IUFM de Lyon-Université Lyon1 M. Michel Fayol, Professeur des Universités, UBP Clermont-Ferrand Mme Jarmila Novotnà, Professeure d"Université, Charles University, PragueM. François
Pluvinage, Professeur des Universités, CINVESTAV Mexico M. Jean-Claude Régnier, Professeur des Universités, Université de LyonUniversité Lumière Lyon 2
École Doctorale EPIC
ED 485 - Éducation - Psychologie - Information et CommunicationUnité Mixte de Recherche : UMR 5191 ICAR
Institut de Sciences et Pratiques de l"Éducation et de la FormationEnseignement et apprentissage de la
résolution de problèmes mathématiques Le cas des problèmes numériques au cycle 3 de l"école primaire françaiseApproches didactique et ergonomique
Par Maryvonne PRIOLET
Thèse présentée pour le Doctorat de l"Université Lyon 2 en Sciences de l"ÉducationSous la direction de Jean-Claude RÉGNIER
Sommaire
INTRODUCTION GÉNÉRALE...............................................................................................2
PARTIE 1 : Cadre de la recherche.........................................................................................13
Chapitre 1 : D"un point de vue étymologique et historique : Qu"est-ce qu"un problème ?Qu"est-ce résoudre un problème ?.................................................................................................15
1.1. Qu"est-ce qu"un problème en mathématiques ?....................................................................................15
1.2. Qu"est-ce que l"énoncé d"un problème ?..............................................................................................16
1.3. Depuis quand résout-on des problèmes en mathématiques ?................................................................19
1.4. Quelle place à l"école pour les problèmes mathématiques ?................................................................23
1.5. Problème ou exercice ?.........................................................................................................................38
1.6. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................39
Chapitre 2 : Du point de vue des mathématiciens : que revêt le concept de problème dans lechamp des mathématiques ?..........................................................................................................41
2.1. La conception platonicienne des mathématiques..................................................................................41
2.2. La conception formaliste des mathématiques.......................................................................................42
2.3. La conception constructiviste des mathématiques................................................................................44
2.4. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................45
Chapitre 3 : Du point de vue des didacticiens des mathématiques : Qu"est-ce qu"unproblème ? Comment en enseigner la résolution ?......................................................................47
3.1. La théorie des situations didactiques selon Brousseau.........................................................................49
3.2. Les travaux en didactique des mathématiques selon Glaeser et l"école de Strasbourg.........................59
3.3. La théorie des champs conceptuels dans sa dimension didactique selon Vergnaud.............................65
3.4. Une voie ouverte à d"autres recherches en didactique des mathématiques...........................................69
3.5. Conclusion du chapitre.........................................................................................................................80
Chapitre 4 : Du point de vue des psychologues : Qu"est-ce qu"un problème ? Quelles sont lesprincipales difficultés d"apprentissage liées à la résolution de problèmes?...............................82
4.1. Qu"est-ce qu"un problème ?.................................................................................................................82
4.2. Théories de l"apprentissage : qu"est-ce qu"apprendre ? et comment ?.................................................83
4.3. Impact des caractéristiques des problèmes et de leurs énoncés sur les performances des élèves à
résoudre les problèmes..............................................................................................................................102
4.4. Conclusion du chapitre.......................................................................................................................119
Chapitre 5 : Cadre théorique retenu pour la recherche............................................................122
5.1. Quelles finalités pour l"enseignement des mathématiques ?..............................................................122
5.2. Qu"entendons-nous par problème ?....................................................................................................122
5.3. L"enseignement et l"apprentissage de la résolution de problèmes......................................................124
5.4. Cadre d"observation et d"analyse de l"activité de l"enseignant...........................................................125
PARTIE 2 : Premières investigations - Première étape de la construction de l"objet deChapitre 1 : Évaluations internationales et nationales..............................................................134
1.1. Regard critique sur les performances des élèves de 15 ans à l"échelle internationale........................134
1.2. Regard critique sur les performances des élèves aux évaluations nationales CE2 et 6ème, sur la période
1.3. Conclusion du chapitre 1....................................................................................................................146
Chapitre 2 : Étude longitudinale d"une résolution de problème sur quatre années...............148
2.1. Description de l"étude longitudinale...................................................................................................148
2.2. Résultats de l"étude longitudinale.......................................................................................................161
Chapitre 3 : Pratiques d"enseignement de la résolution de problèmes : ce que disent les3.1. Fréquence des séances de résolution de problèmes dans des classes de CE2.....................................191
3.2. Outils mis à disposition des élèves par l"enseignant...........................................................................191
3.3. Rôle et travail de l"enseignant............................................................................................................193
3.4. Conclusion du chapitre 3....................................................................................................................196
Conclusion de la partie 2..............................................................................................................198
PARTIE 3 : De la construction de la problématique à la discussion des résultats obtenusChapitre 1 : Construction de la problématique.........................................................................202
1.1. À l"origine de nos travaux : des constats, des questions, des présupposés théoriques........................202
1.2. Problématisation.................................................................................................................................207
Chapitre 2 : Méthodologie : présentation, mise en oeuvre et discussion sur les méthodes pour
construire, traiter et analyser les données..................................................................................211
2.1. Cadre général de l"expérimentation....................................................................................................211
2.2. Méthodes et techniques pour construire, traiter et analyser les données............................................212
2.3. Population-élèves et sa représentation................................................................................................214
2.4. Population-enseignants.......................................................................................................................222
2.5. Expérimentation.................................................................................................................................225
Chapitre 3 : Interprétation des résultats et discussion..............................................................241
3.1. Analyse des pratiques initiales des enseignants en situation d"enseigner la résolution de problèmes
3.2. Analyse des performances des élèves (pré-test et post-test)...............................................................268
3.3. Analyse des pratiques des 4 enseignants du groupe-expérimental : mise en oeuvre du cadre didactique
RChapitre 4 : Discussion générale..................................................................................................306
4.1. Résultats des élèves............................................................................................................................306
4.2. Pratiques des enseignants lors des séances de type n°1......................................................................307
4.3. Effets du cadre didactique R2C2 au travers des pratiques d"enseignement de la résolution de problèmes
lors des séances de type n°2......................................................................................................................310
4.4. Portée et limites des analyses de notre expérimentation.....................................................................317
CONCLUSION GÉNÉRALE...............................................................................................321
1. De la polysémie du mot problème à la construction de l"objet de notre recherche.............321
2. Du questionnement sur les performances des élèves à l"observation des pratiques des
2.1. Les comparaisons internationales.......................................................................................................322
2.2. Les évaluations nationales..................................................................................................................322
2.3. L"étude longitudinale d"un échantillon de 213 élèves pendant quatre ans.........................................323
3. De la mise à l"épreuve du cadre didactique R2C2 à nos conclusions.....................................324
3.1. Le dispositif........................................................................................................................................324
3.2. Quelques résultats...............................................................................................................................325
3.3. L"opérationnalisation du cadre didactique R²C².................................................................................326
4. De nos conclusions à nos perspectives de recherche..............................................................327
4.1. Une dominante didactique..................................................................................................................327
4.2. Une dominante méthodologique.........................................................................................................327
4.3. Une dominante d"ouverture................................................................................................................328
Index des auteurs..........................................................................................................................347
Index des figures...........................................................................................................................349
Index des graphiques....................................................................................................................351
Index des tableaux.........................................................................................................................352
Table des matières.................................................................................................................354
Remerciements
Mes remerciements s"adresseront d"abord à Jean-Claude Régnier qui a accepté en 1998 de diriger mon mémoire de maîtrise et qui est devenu, quelques années plus tard, mondirecteur de thèse. Travailler avec cet expert en statistique constitue une aide précieuse, mais
appartenir à son groupe de doctorants conduit aussi à un parcours rempli d"humanité. Je tiens
à le remercier très chaleureusement d"avoir accepté de diriger cette thèse. Qu"il trouve ici
l"expression de ma profonde gratitude. Je remercie Jarmila Novotnà et François Pluvinage d"avoir accepté d"être les rapporteurs de ce travail. Je suis sûre que leurs remarques et commentaires viendront nourriret enrichir mes réflexions. À travers leur présence, je retrouve les premières étapes d"un
parcours qu"ils ont, chacun à leur manière, contribué à tracer en ma faveur. Grâce à Jarmila
Novotnà, ce fut pour moi en 2001 la première participation à un congrès européen et grâce à
François Pluvinage, j"ai eu l"occasion de rencontrer en 2002 les membres de l"école deStrasbourg lors du colloque Argentoratum.
Mes remerciements vont également à Nadja Acioly-Régnier et à Michel Fayol, d"une part, pour avoir bien voulu être membres de ce jury, d"autre part, pour m"avoir respectivementfait partager un peu de la culture de la terre brésilienne et ouvert les portes de la littérature
anglo-saxonne. Un grand merci à tous les membres du groupe ADATIC, en particulier à mes amis brésiliens Nubia, Elayne, Clovis, Valdir, dont j"apprécie la gentillesse, l"enthousiasme et le soutien en toutes circonstances. Merci aussi à Patrick Chignol d"avoir ouvert la voie de la soutenance aux membres de notre groupe. Avec des remerciements spécifiques à Jean-Claude Oriol qui, avec son regard critique et ses " 1000 courages » dans le cadre des relectures de cemémoire de thèse, m"a permis de garder optimisme et sérénité lors des dernières semaines de
rédaction. Je tiens à remercier tous les enseignants et leurs inspecteurs qui ont autorisé le recueildes données. Merci aussi à tous les enfants des écoles concernées. Sans eux, rien n"aurait été
possible. Que tous ceux et celles qui m"ont encouragée et soutenue dans ces tâches d"exploration et de rédaction et qui ont permis la réalisation de ce travail trouvent ici l"expression de ma reconnaissance. Enfin, merci à Michel pour son soutien indéfectible et son aide au quotidien. Mais le plus important est de cultiver l"intelligence qui est l"aptitude à faire face à des situations nouvelles et à saisir des relations. C"est la recherche de ''problèmes"" qui est donc l"activité mathématique la plus importante. Georges Glaeser (Le livre du problème, fascicule 1, Pédagogie de l"exercice et du problème, 1973, p. 19)À mes parents
et grands-parents,à ma petite soeur du Brésil,
à Michel
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Introduction générale
Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 2
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Dans les années 1980-1990, institutrice dans la classe de CM2 d"Ainay-le- Château, nous étions loin d"imaginer que les questions que nous nous posions sur les difficultés rencontrées par nos élèves en résolution de problèmes mathématiques nous conduiraient des années plus tard à soutenir, à l"Université de Lyon 2, une thèse portée par ces mêmes interrogations. C"est en effet essentiellement dans l"exercice de notre métier d"institutrice, face auconstat réitéré de difficultés d"apprentissage rencontrées par nos élèves dans le champ de la
résolution de problèmes que sont apparus un besoin et une ferme volonté de nous intéresser
aux travaux de recherche liés à l"enseignement des mathématiques. Dans le même temps,c"est grâce à notre parcours d"étudiante en psychologie, pour la préparation d"un Diplôme
d"Études Universitaires Générales à l"Université Blaise Pascal à Clermont-Ferrand puis pour
celle d"une Licence à l"Université Paris 8, que nous est offerte l"opportunité de découvrir des
travaux universitaires sur les questions étroitement liées à l"apprentissage. Des lectures s"ensuivent : L"enfant et le nombre (Fayol, 1990), Les activités mentales (Richard, 1990), Les chemins du nombre (Bideaud, Meljac et Fischer, 1991). Tout cela complété par l"envie de découvrir plus avant les travaux des concepteurs de situations didactiques telles que la Course à 20 (in Brousseau, 1973) dont la mise en oeuvre vient rompre avec celle des autres problèmesextraits des manuels scolaires que nous proposons habituellement à nos élèves. Le pas vers un
intérêt grandissant pour les travaux relevant de la didactique des mathématiques est franchi.
C"est dans l"exercice depuis 1991 de notre fonction de conseillère pédagogique de circonscription, formatrice d"enseignants du premier degré, que nous remarquons que notrequestionnement, portant sur les difficultés des élèves à résoudre des problèmes et sur les
difficultés des professeurs à en assurer l"enseignement, est largement partagé par bon nombre
de nos collègues dans leurs classes. C"est donc avec le souhait d"engager une réflexion sur cet
enseignement dans ce champ précis des mathématiques que nous sollicitons une inscriptionen maîtrise de Sciences de l"Education à l"Université Lumière Lyon 2. De ce premier contact
en 1998 avec le Professeur Jean-Claude Régnier qui deviendra notre directeur de thèse, nous retenons aujourd"hui un premier échange sur les différentes formes que peuvent revêtiraujourd"hui les énoncés de problèmes mathématiques dans les manuels scolaires, intégrant de
plus en plus de représentations iconiques. On peut dès lors considérer que notre réflexion sur
la place, le rôle et l"usage des différents registres de représentations sémiotiques débute ce
Introduction générale
Maryvonne Priolet - ED485 - EPIC - Université de Lyon 3
jour-là lorsque Jean-Claude Régnier nous suggère la lecture de l"ouvrage Sémiosis et Pensée
humaine de Raymond Duval (1995). En nous référant au cadre théorique développé par ce chercheur en psychologie de l"apprentissage et en didactique des mathématiques, nousconduisons une étude centrée sur les effets produits par la forme de présentation des données
d"un énoncé de problème scolaire à données numériques sur la résolution de ce problème par
des élèves de CE2. Nos premières analyses de données sont effectuées à partir, d"une part, des
réponses écrites fournies par un échantillon de 1081 élèves à l"occasion de travaux de
résolution de problèmes numériques proposés en classes de CE2 et, d"autre part, d"uneenquête par questionnaire auprès d"un échantillon de 81 enseignants du cycle 3 de l"école
primaire. L"échantillon d"enseignants et celui des élèves sont issus des écoles de trois circonscriptions scolaires relevant de deux académies différentes. Les traitements des données, sous l"enseignement et le contrôle rigoureux de Jean-Claude Régnier, nous conduisent à formuler plusieurs conclusions. Dans les limites de cette expérimentation, les traitements statistiques suggèrent qu"à partir d"un même type d"énoncé de problèmenumérique dont les données sont présentées sous différentes formes relevant de différents
registres de représentation sémiotique, la forme rédactionnelle de l"énoncé n"influe pas sur la
réussite au problème considéré. En comparant ensuite les résultats issus de la résolution des
problèmes selon que les données de l"énoncé sont présentées sous la forme de représentations
non discursives ou sous une forme exclusivement textuelle, nous observons que les élèves quirésolvent les problèmes dont les données sont présentées soit sous la forme d"un schéma, soit
sous la forme d"un tableau, soit sous la forme d"un texte assorti de dessins extérieurs autraitement des données, soit sous trois formes simultanées différentes (texte, tableau, schéma),
n"obtiennent pas de performances significativement différentes de celles des élèves qui ne disposent que d"une forme exclusivement textuelle. En revanche, les élèves auxquels nousavons proposé la résolution de problèmes avec une présentation des données sous la forme de
graphiques obtiennent des scores de réussite moins élevés que ceux qui se sont vu attribuer un
énoncé sous une forme exclusivement textuelle. Ce travail est présenté en 2000 lors de la
soutenance de notre mémoire de maîtrise (Master 1) en Sciences et Pratiques d"éducation etde formation à l"Université Lyon2 (Priolet, 2000). Ces premières investigations, complétées
par de nombreux échanges dans les séminaires à l"Université ou en ligne au sein du groupe
ADATIC
1 fondé en 2000 par Jean-Claude Régnier, constituent un premier pas vers la
construction de notre parcours de recherche.Faisant suite à une annonce de ERME
2 pour le 2ème Congrès Européen de Recherche sur
l©Enseignement des Mathématiques, CERME 2, et sans trop envisager alors les barrières de la langue, nous soumettons un projet de communication par affiche au comité scientifiqued"organisation de ce congrès. Ce projet destiné à présenter les résultats en rapport avec nos
travaux de maîtrise est accepté, non pas pour une communication par affiche comme nous le1 Apprentissage, Didactique, Autoformation & Technologies de l"Information et de la Communication : groupe
de recherche encadré par Jean-Claude Régnier, réunissant l"ensemble des étudiants dont il encadre ou a encadré
les travaux de recherche (Master et Doctorat).2 European Society for Research in Mathematics Education
Introduction générale
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