Lignes de partage des eaux discr`etes : théorie et application `a la
1.4 Illustration introductive `a la ligne de partage des eaux en segmentation d'image. 13. 1.5 Graphe `a sommets valués sections inférieures et minima.
Segmentation dimages par la méthode de la Ligne de Partage des
La transformation morphologique par LPE consiste alors à diviser cette surface topographique en différents bassins séparés par des Lignes de Partage des Eaux en
Ligne de Partage des Eaux & Segmentation Hiérarchique
Les images gradient sont souvent bruitées et contiennent un grand nombre de minima. Chaque minimum génère un bassin versant dans la LPE. LPE CONTROLEE PAR
Segmentation tools in MM
La ligne de partage des eaux l'outil de segmentation en MM. - Definition
Segmentation par ligne de partage des eaux avec marqueurs
27 janv. 2012 Résumé – Du fait de son rôle majeur dans les systèmes d'analyse et de traitement des images le problème de la segmentation a fait l'objet.
Segmentation dimages et morphologie mathématique
20 oct. 2006 On introduit alors une hiérarchisation de l'image toujours basée sur la ligne de partage des eaux
Segmentation dImages Couleur: application à la cytologie des
18 mars 2014 cytoplasmiques et nucléaires sont bien déterminées. Mots clés. Analyse d'image Couleur
Ligne de partage des eaux stochastique par ordres de permutation
il y a 6 jours En segmentation d'images la ligne de partage des eaux (LPE) ... fectuée par des germes aléatoires sur une image de gradient [3].
Segmentation et Analyse dimage - TP 2
donne un exemple de segmentation d'image par watershed. Nous allons mettre en œuvre un algorithme de calcul de la ligne de partage des eaux proposé.
Analyse dimages - – Segmentation –
Une segmentation d'image est une partition de l'image en ensembles de pixels Segmentation par ligne de partage des eaux. ? Segmentation par contour ...
Lignes de partage des eaux discrètes: théorie et application
1 1 Classi cation de quelques approches discr etes de ligne de partage de eaux 97 1 2 Graphes de fusion : clivages et propri et es de la fusion de r egions 97 1 3 Graphes de fusion : lignes de partage des eaux et fusion de r egions 99 1 4 Ligne de partage des eaux dans les graphes a ar^etes valu ees 101
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Parmi ces méthodes l’approche par ligne de partage des eaux avec marqueurs est certainement l’une des plus employées Dans cet algorithme l’utilisateur fournit des marqueurs qui ne sont utilisés qu’en tant qu’initilisations spatiales des régions produites par le processus de segmentation
Quelle est la ligne de partage des eaux ?
Ce tracé longuement discuté, ne suit pas toujours la « Divisoria », la ligne de partage des eaux : c’est ainsi que le Val d’Aran dont les eaux (la Garonne) s’écoulent vers la France est espagnol.
Quelle est la différence entre un bassin versant et une ligne de partage des eaux ?
Un bassin versant est donc délimité par les frontières naturelles, que l’on appelle ligne de partage des eaux, qui sont généralement matérialisées par le relief (lignes de crêtes). La Loire est le plus grand fleuve français avec ses 1006 km et son bassin représente près d’un quart de la France (117 800 km²).
Qu'est-ce que le partage des eaux ?
C'est la Turquie où le Tigre, l'Euphrate et leurs grands affluents prennent leurs sources, qui capitalise les ressources les plus abondantes. En vertu du traité de Lausanne du 24 juillet 1924, La Syrie et l'Irak, issus du démembrement de l'Empire ottoman, s'appuient sur la théorie des droits acquis pour exiger un partage équitable des eaux.
Quelle est la ligne de partage des eaux entre l'Atlantique et la Méditerranée ?
J'ai constaté que de nombreux visiteurs s'intéressaient à la ligne de partage des eaux entre Atlantique et Méditerranée. Je l'ai donc reconstituée à partir des cartes IGN, depuis la prise d'eau d'Alzeau dans la Montagne Noire, jusqu'au seuil de Naurouze. Le Canal du Midi est un Canal à point de partage (voir lexique).
GB;M2 /2 T`i;2 /2b 2mt biQ+?biB[m2 T` Q`/`2b /2
T2`KmiiBQM
hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM, Ligne de partage des eaux stochastique par ordres de permutationOlivier L
´ezoray
Normandie Univ, UNICAEN, ENSICAEN, CNRS, GREYC, 14000 Caen, France olivier.lezoray@unicaen.fr R´esum´e -La ligne de partage des eaux stochastique est une approche morphologique de la segmentation qui r´ep`ete l"application d"une LPE`a
partirdesqui repose sur plusieurs ordres de permutation obtenus par des chemins Hamiltoniens sur graphe. Contrairement
`a la LPE stochastique classique, notre approche permet de prendre en compte n"importe quelles caract´eristiques associ´ees aux pixels.
Abstract -The stochastic watershed is a morphological approach to segmentation that repeats the application of a seeded watershed from series
of uniform random markers to construct a probability density function. We propose an alternative approach that relies on several permutation
orderings obtained by Hamiltonian path on graphs. In contrast to the classical stochastic watershed, our approach enables to take into account
any features associated to pixels. 1Intr oduction
est une m ´ethode de morphologie math´ematique (MM) tr`es po- pulaire. Partant des minima du gradient, la LPE effectue une croissance de r´egions sur une image de gradient. La LPE est
sensible au bruit et produit une forte sur-segmentation [1]. An- gulo et Jeulin on propos´e une solution`a ce probl`eme par la LPE
stochastique [2]. Ils consid `erent, au lieu du gradient, une fonc- tion qui r ´eduit les minima`a l"int´erieur des objets et rehausse les contours. La LPE est alors r´ep´et´ee avec comme germes des
marqueurs al ´eatoires uniformes. Les contours obtenus par les segmentations sont ensuite combin´es pour construire une fonc-
tiondedensit de converger vers la probabilit´e que les germes tombent des
deux c ˆot´es de chaque contour. Dans cet article nous proposons une approche alternative. Dans [2], chaque simulation est ef- fectu ´ee par des germes al´eatoires sur une image de gradient [3] qui ne tient compte que de diff´erences de couleur qui ne permet
pas de consid ´erer des caract´eristiques de pixel de plus haut ni- veau, tel que des patchs. Nous pr´esentons une approche pour
construire une pdf qui peut consid´erer n"importe quelle ca-
ract ´eristique d´ecrivant un pixel. Notre approche repose sur plu- sieurs ordres de permutation obtenus par des chemins Hamilto- niens sur graphe [4]. Dans la section 2, nous pr´esentons com-
ment construire de tels chemins Hamiltoniens stochastiques et construire une pdf. Dans la section 3, nous pr´esentons quelques
r ´esultats et comparaisons. La derni`ere section conclut. 2Ligne departagedeseauxstochastique
par ordres de permutation 2.1Notations
Nousconsid
´eronsledomaine
del"imagecommeungraphe G= (V;E)dont les noeudsV=fv1;:::;vmgsont les pixels et les ar ˆeteseij= (vi;vj)les connectent. Les images sont alorsrepr ´esent´ees comme des signaux sur graphes [5] qui associent un vecteur aux noeuds :f:V!Rn.`A chaque noeud est as- soci ´e un vecteurvi=f(vi), et on d´efinitT=fv1;;vmg avec la notationT[i] =vi. Le grapheGutilis´e pour repr´esenter une image peut ˆetre : i) Un graphe deB-adjacence (not´eGB) o `u chaque noeudviest connect´e`a ceux contenus dans un carr´e de taille(2B+ 1)(2B+ 1)autour devi. Un graphe grille en8-adjacence sera not´eG1. ii) Un graphe desK-plus proches voisins (not ´eGK) o`u chaque noeudviest connect´e`a sesKplus proches voisins (en terme de distance spectrale) parmi l"en- semble de tous les noeuds. Le premier type de graphe consid `ere uniquement la proximit´e spatiale pour connecter les noeuds
alors que le second consid `ere uniquement la proximit´e spec- trale. 2.2T reilliscomplets
Laconstructionclassiquedesop
´erateursalg´ebriquesmorpholo-
giques repose sur des treillis complets [6]. Un treillis complet (T;) est un ensemble non vide´equip´e d"une relation d"ordre total, tel que chaque sous-ensemble non videPdeTa une borne inf ´erieure^Pet une borne sup´erieure_P. Si la MM est bien d ´efinie pour les fonctions scalaires, il n"existe pas d"ex- tension g ´en´erale admise sur les vecteurs puisqu"il n"existe pas d"ordre naturel des vecteurs. Si de nombreuses approches ont et´e propos´ees pour les images couleur [7], tr`es peu traitent des patchs. Dans cet article, nous d´efinissons la relation d"ordre
entre les vecteurs d"un ensembleTen utilisant lesh-ordres [8].Cela correspond
`a d´efinir une transformation surjectivehde TversLo`uLest un treillis complet´equip´e de l"ordre total conditionnel [8]. Nous d´esignons parhl"ordrehdonn´e par
h:T ! Letv!h(v);8(vi;vj)2 T T,vihvj, h(vi)h(vj). Il n"est alors plus n´ecessaire queTsoit un treillis complet, puisque l"ordre deTpeutˆetre induit surLau moyen deh. Lorsquehest bijective, cela correspond`a d´efinir une courbe de remplissage d"espace et nous utiliserons cette propri´et´e dans la suite.
2.3Chemin Hamiltonien stochastique
Pour construire un treillis complet surT, nous construisons une courbe de remplissage d"espace sur un grapheGassoci´e`a l"image. Cela correspond `a la construction d"un chemin hamil- tonien sur l"image : un chemin qui passe par tous les sommets du graphe et qui traverse chaque sommet une seule fois. Cela revient `a d´efinir une permutation tri´eeP=PTdes vecteurs deTavecPune matrice de permutation de taillemm. Soit une permutation de l"ensemble d"indexJ=f1;;mg. Si (i) =j, alorsPij= 1et0sinon. La permutation induite estToute permutation n"est pas int
´eressante, et nous recherche-
rons une permutation lisse. Le caract `ere lisse d"un ensemble ordonn ´e est exprim´e par la variation totale de ses´el´ements kT kTV=m1P
i=1kvivi+1k. La permutation optimale peut alors ˆetre obtenue en minimisantP= argminPkPT kTV. Ce probl `eme d"optimisation fournit une permutation telle que le chemin Hamiltonien correspondant est le plus court et´equivaut
a la r´esolution du probl`eme du voyageur de commerce. Ce probl `eme peutˆetre r´esolu`a l"aide d"une version randomis´ee d"une heuristique de plus proches voisins pr´esent´ee dans [9].
Cet algorithme part d"un sommet choisi al
´eatoirement, trouve
les deux sommets voisins inexplor´es les plus proches et choi-
sit l"un d"eux au hasard. Ces deux choix al´eatoires rendent
stochastique la permutation obtenue. Apr `es la construction de la permutation, nous d´efinissons leh-ordre`a partir de la per-
mutation parh(vi) =(i). Partant d"un signal sur graphe f:V! T, une nouvelle repr´esentation est obtenue sous la forme d"une paire(I;P)avecI(vi) =(i).Pest l"en- semble desvitri´es (une palette) etIune image d"index. LaFigure 1 pr
´esente la construction d"un chemin Hamiltonien sur Le signal original sur graphefpeutˆetre directement recons- truit puisquef(vi) =P[I(vi)] =T[i] =vi. Il peutˆetre01 202123
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