[PDF] Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2003

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?Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2003?

EXERCICE14 points

PartieA

1.AB2=8+16=24=24;

AC

2=2+6+16=24=24;

AD

2=2+6+16=24=24;

BC

2=18+6=24=24;

BD

2=18+6=24=24;

CD 2=24. On a donc AB = AC = AD = BC = BD = CD : le tétraèdre est régulier.

2.Dans le triangle ACD, le segment [RS] joint les milieux de deux côtés; on a

donc RS=1

2--→CD ; de même dans le triangle BCD, on a--→UT=12--→CD ; on en

déduit que :

RS=--→UT??(RSTU) est un parallélogramme.

3.On a R?

2 2;-? 6 2; 1? et T? 2 2;? 6 2;-1? , c"est-à-dire des coordonnées op- posées : donc O est le milieu de [RT]. Conclusion : le centre du parallélogramme RSTU est le point O.

Dans le triangle ABC, on a

RU=1

2--→AB , soit en prenant les normes RU =12AB,

mais l"égalité obtenue ci-dessus RS=1

2--→CD donne en normes RS =12CD.

Or on a vu que AB = CD =

24=2?6. Conclusion RS = RU : le parallélo-

grammeRSTU adeuxcôtésconsécutifs demême longueur :c"estunlosange.

D"autre part--→AB·--→CD=2?

2×0+0×2?6+(-4)×0=0 : les vecteurs sont

orthogonaux donc les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Comme les droites (RS) et (RU) sont respectivement parallèles aux droites (AB) et (CD), elles sont perpendiculaires. Finalement le losange (RSTU) a deux côtés consécutifs perpendiculaires : c"est uncarré.

PartieB

1.Sur chaque tétraèdre il y a deux faces rouges : si le tétraèdretombe sur une

face rouge (cachée) il en restera une visible. Comme on lancetrois tétraèdres la probabilité pour qu"au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres est égale à 1.

2.Il y a une face bleue sur quatre faces. La probabilité que l"onne voit pas de

bleu en lançant un tétraèdre est égale à 1

4. Les lancers des trois tétraèdres

sont indépendants, donclaprobabilitédenepasvoir debleuenlançanttrois tétraèdres est égale à 1

4×14×14=164.

3.Il y a une chance sur deux que le tétraèdre tombe sur la face bleue ou sur la

face jaune, donc la probabilité de l"évènement E est égale à 1

2×12×12=18.

4.La variable aléatoire comptant le nombre de réalisations del"évènement E

suit une loi binomiale de paramètresnetp=1 8. La probabilité que l"évènement E ne soit jamais réalisé est égale à n 0??1 8? 0

×?78?

n =7n8n.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Donc la probabilitépnpour que l"évènement E soit réalisé au moins une fois est égale à 1-7n

8n. Comme-1<78<1, on sait que-1<7n8n<1 et que

lim n→+∞7 n

8n=0, donc limn→+∞pn=1.

EXERCICE2 (Obligatoire)5 points

1. a.On a E(3; 1) et F(1; 3)

b.Puisque EHF est rectangle isocèle H appartient à la médiatrice de [EF] et au cercle de diamètre [EF]. On choisit entre les deux points communs à la droite et au cercle celui pour lequel EHF est un triangle rectangle isocèle direct. c.EFH est isocèle en H, donc HE = HF?HE

HF=1??|ZE-ZH||ZF-ZH|=1??

3+i-ZH|

|1+3i-ZH|=1??????3+i-ZH1+3i-ZH???? =1.

On sait d"autre part que :

HF ,--→HE?

2[2π] ce qui se traduit en terme d"argument par :

arg?ZE-ZH

ZF-ZH?

=π2[2π]??arg?3+i-ZH1+3i-ZH? =π2[2π]. Les deux résultats précédents traduisent l"égalité :

3+i-ZH

1+3i-ZH=i??3+i-ZH=i(1+3i-ZH)??ZH(-1+i)= -6??

Z H=6

1-i=6(1+i)2=3+3i.

Le point H a pour coordonnées (3; 3).

03 0 3 EF H O -→u-→ v

2.A, B, C et D sont quatre points du planP.

a.On construit ces points de la même façon que le point H. Voir ci-dessous. b.Les droites (IK) et (LJ) semblent être perpendiculaires et il semble que

IK = LJ.

3. a.De la même façon qu"à la question 1. l"égalitéIA

IB=1 se traduit par

?b-ZI a-ZI???? =1.

Polynésie2juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

CA B D I J KL

L"angle droit en I se traduit par

?-→IA ,-→IB?

2=arg?b-ZIa-ZI?

[2π]. Ces deux informations se traduisent tout simplement par l"égalité : b-ZI a-ZI=i L"égalité précédente est équivalente à : b-ZI=i(a-ZI)??b-ai=Z1(1-i)??ZI=b-ai 1-i. b.En remplaçant dans la démonstration précédente les points Bet A par les points C et B, on obtientZL=c-bi 1-i c.De même on obtient :ZK=d-ci

1-ietZJ=a-di1-i.

d.Calcul dezL-zJ=c-bi

1-i-a-di1-i=c-a+(d-b)i1-i.

Calcul dezK-zI=d-ci

1-i-b-ai1-i=d-b+(a-c)i1-i.

En multipliant cette dernière égalité par i, on obtient bien: i (zK-zI)=(d-b)i-(a-c)

1-i=c-a+(d-b)i1-i=zL-zJ.

Cette dernière égalité donne en modules : zL-zJ??=|i(zK-zI)|=1????zL-zJ??=|(zK-zI|??JL = IK.

En arguments sachant que l"argument de i est

2: z L-zJ zK-zI=i??-→IK ,-→JL? =π2[2π], donc on a bien (IK)?(JL).

PROBLÈME11 points

PartieA

1.On sait que pour tout réelx,

-1?cosx?1

Polynésie3juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

En multipliant chaque membre par le nombre supérieur à zéro ex, on ob- tient : -ex?f(x)?ex.

On sait que lim

x→-∞ex=0, donc limx→-∞excosx=0 puisquef(x) est encadré par deux nombres qui ont pour limite 0. L"axe des abscisses est donc asymptote horizontale au voisinage de moins l"infini àCf.

2.On résoutf(x)=0??excosx=0??cosx=0 puisque ex?=0.

Les solutions sont donc les nombres

2+kπ,k?Z.

3.Pour tout réelx??

2;+π2?

on a : cosx-sinx=?

2×?2

2(cosx-sinx)=?2?

?2

2cosx-?

2

2sinx?

=?2cos? x+π4?

4.Sur l"intervalle considéré,fproduit de fonctions dérivables est dérivable et

sur cet intervalle : f D"après la question précédentef?(x) peut s"écrire : f ?(x)=ex×? 2cos? x+π4? Comme

2>et exquel que soitx, le signe de la dérivée est donc celui de

cos? x+π 4?

Or-π

2?x?π4?-π+π4?x?π4+π4

soit-π

4?x+π4?π2.

La fonction cos est positive sur

2;π2?

, donc a fortiori sur? -π4;π2? Finalementf?(x)>0 : la fonctionfest strictement croissante sur?

2;π4?

On montre de même que sur?π

4;π2?

,f?(x)<0 : sur cet intervalle la fonction fest strictement décroissante.

On af?-π

2?=e-π2cos?-π2?=0.

f

4?=e-π4cos?-π4?=?

2

2eπ4≈1,55.

f?π

2?=eπ2cos?π2?=0.

5.TracerCfsur l"intervalle?

2;+π2?

sur le graphique ci-dessous x-π2π4π2 f ?(x)+0- f 0? 2

2eπ4

0

Polynésie4juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-11 0

4π2-π4-π2

T

6.On af?

2

2eπ

4? ≈1,55 etf?π4?=0; sur l"intervalle?π4;π2? la fonctionf continue prend une seule fois toutes les valeurs entre 2

2eπ

4et 0; en parti-

culier il existe un seul réelαde l"intervalle?π

4;π2?

tel quef(α)=12.

La calculatrice donneα≈1,453≈1,45.

7.f?produit de fonctions dérivables est dérivable et sur?

2;+π2?

f Sur? 2, 2? , la fonction sin est négative, doncf??(x)>0 : la fonctionf?est croissante sur? 2, 2? Sur

0 ;π

2?quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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