Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers juin 2003
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EXERCICE15points
Commun à tous les candidats
Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n"est demandé dans cet exercice.
PartieA
Le tableau suivant donne l"évolution de la production annuelle de turbots dans une ferme aquacole.
Année199719981999200020012002
Rang de l"annéexi123456
Productionyi6507601190162026005050
1.Construire le nuage de points associé à la série statistique?xi;yi?dans un repère orthogonal
R : sur l"axe des abscisses, on placera 0 à l"origine et on choisira 2 cm pour une année, sur l"axe
des ordonnées, on placera 600 à l"origine et on choisira 1 cm pour 200 turbots.2.D"après l"allure du nuage quel type d"ajustement peut-on envisager?
PartieB
Les résultats des questions1, 2et 3seront arrondis à 10-3.1.On posezi=ln(yi).
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :Année199719981199200020012002
Rang de l"annéexi123456
zi Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la série (xi;zi).2. a.En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation
de la droite d"ajustement affine dezenx. b.Exprimeryen fonction dex. En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions suivantes :Quelle production peut-on prévoir en 2005?
À partir de quelle année peut-on prévoir que la production annuelle dépassera 30000 tur- bots?EXERCICE25points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialitéUn théâtre propose deux types d"abonnements pour une année :un abonnement A donnant droit à
six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.On considère un groupe de 2500 personnes qui s"abonnent tousles ans.nétant un entier naturel, on
note : a nla probabilité qu"une personne ait choisi un abonnement A l"annéen; b nla probabilité qu"une personne ait choisi un abonnement B l"annéen; P nla matrice [anbn] traduisant l"état probabiliste à l"annéen. Tous les ans 85% des personnes qui ont choisi l"abonnement A et 55 % des personnes qui ont choisi l"abonnement B conservent ce type d"abonnement l"année suivante. Les autres personnes changent d"abonnement.Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
1.On suppose que, l"année zéro, 1500 personnes ont choisi l"abonnement A et 1000 l"abonne-
ment B. Déterminer l"état initialP0=[a0b0].2. a.Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l"énoncé.
b.Déterminer la matrice de transition M de ce graphe. c.En déduire le nombre d"abonnés pour chaque type d"abonnement l"année un.3.SoitP=[x y] l"état stable, oùxetysont deux nombres réels positifs tels quex+y=1.
Justifier quexetyvérifient l"équationx=0,85x+0,45y.Déterminerxety.
En déduire la limite de la suite (an) quandntend vers plus l"infini. Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d"abonnements de type A.PROBLÈME10points
Commun à tous les candidats
La commercialisation d"un article sur un marché suit une fonction d"offre notéefet une fonction
demandée notéeg. Elle sont définies sur l"intervalle [0 ;+∞[ par f(x)=ex-18etg(x)=120ex+15
oùxreprésente la quantité exprimée en milliers d"articles,f(x) représente le prix de vente exprimé
en euro pour une quantitéxofferte, etg(x) représente le prix de vente exprimé en euro pour une
quantitéxdemandée. Le plan est rapporté à un repère orthonormal?O,-→ı,-→??
(unité graphique : 2 cm). On désigne respectivement parCfetCgles courbes représentatives des fonctionsfetgdans ce repère.La courbeCfest donnée dans le repère?
O,-→ı,-→??
sur l"annexe jointe au sujet. L"annexe sera complétée et jointe à la copie.PartieA Étude de la fonctiondemande
Déterminationde la quantité échangéeet du prix d"équilibredu marché1.Déterminer la limite degen+∞.
En déduire l"existence d"une asymptote que l"on précisera.2.g?désigne la fonction dérivée de la fonctiongsur l"intervalle [0 ;+∞[.
Justifier que :g?(x)=-120ex
(ex+15)2.3.Déterminer le sens de variation de la fonctiongsur [0 ;+∞[ puis dresser le tableau de varia-
tions degsur [0 ;+∞[.4. a.Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs (arrondir les résultats à 10-1).
x00,51233,54567 g(x) b.Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbeCgau point d"abscisse 0. c.Tracer la courbe représentativeCget la tangente T sur l"annexe jointe au sujet.5.On admet que sur l"intervalle [0 ;+∞[ l"équationf(x)=g(x) a une solution uniquenappelée
quantité échangée. On notep=f(q)=g(q)le prix d"équilibre correspondant. a.Faire apparaître sur le graphique les valeurspetq.Liban2juin 2003
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
b.Vérifier queq=ln(25).En déduire la valeur dep.
PartieB Calculdu "surplusdu consommateur»
1.Dest le domaine du plan défini par {M(x;y)/0?x?qetp?y?g(x)}, oùpetqsont les
valeurs déterminées dans la partieA. 5..Hachurer ce domaineDsur l"annexe jointe au sujet.
2.SoitGla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par :
G(x)=8?x-ln?ex+15??
Démontrer queGest une primitive degsur [0 ;+∞[.3.On appelle "surplus du consommateur» (en milliers d"euro) le nombre :
R=? q 0 g(x)dx-pq Justifier queRreprésente, en unité d"aire, l"aire du domaineD.Calculer la valeur exacte deR.
Donner une valeur approchée deRà l"euro près.Liban3juin 2003
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
Annexe à rendreavecla copie
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7Oxy
CfLiban4juin 2003
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