Représentation paramétrique de droites de plans Applications
Pour obtenir une représentation paramétrique du segment [AB] il suffit de prendre comme vecteur directeur. ???. AB
TERMINALE S Chapitre: Droites et plans de lespace Partie 1
Représentations paramétriques. Soit (O Représentation paramétrique d'une droite. ... Le Segment : défini par le point A(x0 ; y0 ; z0) et le vecteur.
representation-parametrique-droite-geometrie-espace-exos
Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d'une équation cartésienne de plan. • Exercice 12 : représentation paramétrique d'un segment et d'une
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES. ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES. Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc. I. Représentation paramétrique d'une droite.
01/03/2013 1 Les surfaces paramétriques Plan Représentation
1 mar. 2013 Représentation paramétrique. •. Forme générale d'une surface paramétrée: •. Pour une courbe un seul paramètre est nécessaire :.
Aix-Marseille Université - Géométrie et arithmétique 1
9 oct. 2015 Donner une équation paramétrique de la médiatrice mAB du segment [AB]. La mediatrice est la droite par le point H (.
Vecteurs droites et plans dans lespace
11 juil. 2021 5.1 Représentation paramétrique d'une droite . ... la mesure : deux segments de même longueur peuvent être représentés par.
Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes
26 jui. 2013 Pour un segment il suffit de remplacer t ? R par un intervalle fermé [?; ?]. 2.6.2 Exercices. 1) Donner la représentation paramétrique de la ...
I - Caractérisation vectorielle des droites et plans de lespace
Chapitre 5 - Représentations paramétriques. 2020-2021. I - Caractérisation vectorielle des droites et plans de l'espace. Un point M appartient à la droite
COURBES PARAMÉTRÉES
La représentation graphique d'une telle courbe à partir de son équation cartésienne peut être malaisée. Il est parfois plus commode d'exprimer séparément
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Ce dernier système est une représentation paramétrique de d avec
Droites et plans dans l'espace Terminale S - ac-noumeanc
2 Représentations paramétriques d’un segment d’une demi-droite A et B sont deux points distincts de l’espace et on note AB!!!" =u " L’appartenance d’un point M au segment [AB] ou bien à la demi-droite [AB) s’obtient en adaptant l’énoncé de la conclusion ci-dessus :
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Dans un repère de l’espace la droite passant par ( 0; 0; 0)et de vecteur directeur ??( ) est l’ensemble des points ????( ; ; )tels que Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de Remarque 2 : Une droite a une infinité de représentation paramétrique
Quel est le point de la représentation paramétrique?
En utilisant la représentation paramétrique de ( ), il existe un réel tel que { Dès l ors, il vient que ???????( ( ) ), c’est-à-dire ???????( D’où ??????? ?? ??????? ??? ??????? ??? ??????? ??? Le point est donc le point de ( ), de paramètre Ainsi, les coordonnées de sont données par {
Quelle est la représentation paramétrique de la droite?
) La droite ( ) passe par le point ( )et admet ??????( )pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de la droite ( ) est { ?????? ?????? ?????? , c’est-à-dire { ( ) où . Finalement, une représentation paramétrique de la droite ( )est { Remarque importante :
Quelle est la différence entre une représentation paramétrique et une équation du plan?
La droite ( )est dirigée par ??( et passe par ) ( )donc une représentation paramétrique de ( )est { De plus, une équation du plan ( )est . La droite ( )et le plan ( )ont pour intersection le point de coordonnées ( ).
Comment représenter un segment de ligne ?
En géométrie , les segments de ligne sont textuellement symbolisé par une ligne horizontale sur les étiquettes de points . À titre d'exemple , sur un triangle avec les coins étiquetés « a», « b » et « c », vous représenterez le segment de ligne à partir de points "a" à "b" comme "ab" avec une ligne horizontale sur les deux lettres.
Représentation paramétrique
de droites, de plansApplications
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Représentations paramétriques
21.1 Définition
21.2 Intersection de deux droites
22 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace
4Table des figures
Liste des tableaux
1 Positions relatives de deux droites
52 Positions relatives d"une droite et d"un plan
53 Positions relatives de deux plans
5Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace
1.1 Définition
On se place dans un repère
O;!{;!|;!k
de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.En passant aux coordonnées, on obtient :
8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+btz=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite
Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2RLe réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM
vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur
directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme
vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 3164[TransMath]
1.2 Intersection de deux droites
Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau
1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.Si !uet!vsont colinéaires :
Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.2. Type BAC.
3. Points équidistants de trois points.
4. Segments, demi-droites.
21 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites
Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repèreO;!{;!|;!k
de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2RÉtudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0
@2 4 31A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.
Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.
A2 D2()8
:6t+ 8 =112t+ 1 = 0
9t2 = 5()8
:t=32 t=112 t=79Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.
Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A
Les vecteurs
!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2On a donc :
8>< :1 + 2t=s+ 64t= 3s1
53t=2s+ 2()8
:s= 2t74t= 3(2t7)1
53t=2(2t7) + 2()8
:s= 2t74t= 6t22
53t=4t+ 16()8
:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3RÉFÉRENCES
Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il
fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x
valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace
Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0
@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéairesM(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires
!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02RLe système obtenu est appelé
représen tationparamétrique du plan P.On peut utiliser cette représentation paramétrique pour étudier les positions relatives d"une droite et d"un plan
(voir tableau 2 ) ou de deux plans (voir tableau 3Remarque :Il existe un moyen plus simple d"étudier ces positions relatives. il sera vu dans le chapitre
" Orthogonalité, produit scalaire » et fait intervenir les équations de plans.Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]
Références
[TransMath]T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)
24 5. Positions relatives de deux droites.
6. Type BAC.
4RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPositions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues
un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plancontenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droitesPositions relatives deDetPsécantsparallèles
DetPont un seul point
communDetPn"ont aucun pointcommunDest incluse dans le planP.Table2 - Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles
confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est videTable3 - Positions relatives de deux plans
5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] rapport jury agrégation interne espagnol 2014
[PDF] rapport jury agrégation externe lettres modernes 2003
[PDF] rapport jury agrégation externe lettres modernes 2007
[PDF] rapport jury agrégation externe lettres modernes 2004
[PDF] rapport jury agrégation lettres modernes 2004
[PDF] exercices figures planes cm1
[PDF] séquence sur les triangles cm1
[PDF] décrire et reproduire des figures cm1 exercices
[PDF] tri de triangles ce2
[PDF] jeu du portrait polygones cm1
[PDF] rapport de jury capes interne espagnol 2017
[PDF] rapport jury capeps externe 2016
[PDF] programme capeps interne 2017
[PDF] rapport de jury capeps session 2016
