[PDF] TS Exercices sur droites et plans de lespace

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TS Exercices sur droites et plans de l'espace

Faire une figure pour chaque exercice.

1 Soit ABCDEFGH un cube.

On note I, J, K, L les milieux respectifs de [AD], [BC], [EF], [GH]. Recopier et compléter sans justifier par ou : E ... (ABF) F ... (ABG) K ... (EFG) J ... (BEH) A ... (BHI)

2 On reprend les hypothèses de l'exercice précédent.

Dire pour chacune si les droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires. (AE) et (BF) (EH) et (CG) (AI) et (DJ) (KL) et (BC) (AB) et (FH)

3 Soit ABCDEFGH un cube.

Soit M un point quelconque de ]EH[ et N un point quelconque de ]GH[.

Étudier la position relative des droites.

1°) (MN) et (FG) 2°) (AM) et (CG) 3°) (FM) et (EN) 4°) (AN) et (BH) 4°) (FM) et (AN)

4 Soit ABCDEFGH un cube.

Soit I un point de la demi-droite [AB) n'appartenant pas au segment [AB].

Les droites (DI) et (AC) se coupent en J.

On note K un point quelconque de [CG].

Les droites (CE) et (AK) se coupent en L.

Citer tous les points de la figure qui appartiennent au plan (ABC) ; au plan (ABF) ; au plan (ACE) ; au plan (CDH).

5 Soit ABCDEFGH un cube.

Soit M un point quelconque de [BF].

Construire l'intersection de la droite (MH) et du plan (ABC).

6 Soit ABCDEFGH un cube.

Dans chaque cas, déterminer si les plans sont sécants ou parallèles. Lorsqu'ils sont sécants, préciser la droite d'intersection.

1°) (AEF) et (BCG) 2°) (ABF) et (CDG) 3°) (AEC) et (EFG) 4°) (ABC) et (ADC)

7 Soit ABCD un tétraèdre.

Soit I un point quelconque de [CD] et J un point quelconque de [AB]. Déterminer l'intersection des plans (ABI) et (CDJ).

8 Soit ABCDEFGH un cube.

Déterminer l'intersection des plans (AEC) et (BFD).

9 Soit SABCD une pyramide régulière de sommet S dont la base ABCD est un carré de centre O.

Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).

10 Soit ABCDEFGH un cube.

Déterminer l'intersection des plans (AFC) et (BEG).

11 Soit ABCD un tétraèdre.

Soit I un point quelconque de [AB] et J un point quelconque de [BC]. Déterminer l'intersection des plans (CDI) et (ADJ).

12 Soit ABCDEFGH un cube.

Soit M un point quelconque de [BF].

1°) Construire le point d'intersection I de (EM) et (AB).

2°) Construire le point d'intersection J de (GM) et (BC).

3°) Déterminer la droite d'intersection des plans (ABC) et (EGM).

13 Une droite D coupe (ou " perce ») un plan P en un point O.

Soit A et B deux points de D tels que O est entre A et B. Soit M un point tel que (MA) coupe P en I et (MB) coupe P en J.

1°) Faire une figure.

2°) Justifier que les points O et I appartiennent au plan (MAB).

3°) Les points O, I, J sont-ils alignés ?

14 Soit SABCD une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un quadrilatère quelconque.

S A B C D Reproduire la figure et tracer la droite d'intersection des plans (SAB) et (SCD).

15 Représenter un prisme droit de bases ABC et DEF.

Tracer la droite d'intersection des plans (AEC) et (BDF).

16 Soit ABCD un tétraèdre.

On note M, N, P des points appartenant respectivement à [AB], [AC], [AD] tels que (MN) ne soit pas parallèle

à (BC) et (NP) ne soit pas parallèle à (CD). Déterminer l'intersection des plans (MNP) et (BCD).

17 Soit ABCD un tétraèdre.

On note M un point quelconque de [BD] et N un point quelconque de [CD]. Déterminer l'intersection du plan (AMN) avec les plans (ABD), (ACD) et (BCD).

18 Soit ABCDEFGH un cube.

On note O le centre de la face ABFE.

Construire le point d'intersection I de la droite (OH) avec le plan (ABC).

19 Soit P un plan de l'espace et A, B, C trois points non alignés qui n'appartiennent pas à P.

On suppose que (AB) coupe P en C', que (AC) coupe P en B' et que (BC) coupe P en A'. Démontrer que les points A', B', C' sont alignés.

Refaire la figure au propre.

A B' CB A' C' P

20 Soit ABCDEFGH un cube.

Soit I un point quelconque de ]AE[ et J un point quelconque de ]BF[. Le plan (HIJ) coupe le plan (ABC) selon une droite . Représenter sur une figure en perspective cavalière.

A B

DC E F GH

21 Un cube ABCDEFGH a été tronqué en un coin tel que IJ = JK = KI = EI = KG = JB.

1°) Où doit-on placer le carré et le triangle manquants pour obtenir un patron de ce solide ?

A B

DC E F GH I J K

2°) Réaliser un patron du solide en prenant 4 cm pour arête du cube.

22 Soit ABCDEFGH un cube.

Démontrer que (BEG) / / (ACH).

Citer le théorème utilisé.

23 Soit ABCD un tétraèdre.

On note I, J, K les milieux respectifs des segments [DA], [DB], [DC].

Démontrer que (IJK) // (ABC).

Citer le théorème utilisé.

24 Soit ABCDEFGH un cube.

Le plan (BEG) coupe le plan (ABC) selon une droite .

1°) Déterminer un point de .

2°) Démontrer que // (EG).

3°) Tracer sur une figure en perspective cavalière.

25 Soit SABCD une pyramide régulière de sommet S dont la base ABCD est un carré.

Déterminer la droite d'intersection des plans (SAB) et (SCD). a b c d 1 2 3

26 Soit D et D deux droites de l'espace contenues dans un plan P et sécantes en un point A.

Soit M un point n'appartenant pas au plan P.

On note Q le plan défini par le point M et la droite D et Q le plan défini par le point M et la droite D.

Pourquoi les plans Q et Q sont-ils sécants ? Quelle est l'intersection de Q et Q ?

27 On considère un cube ABCDEFGH.

Soit U un point de ]AB[ et V un point de ]AE[.

Citer sans justifier deux droites définies par des arêtes, autres que (AB) et (AE), que rencontre la droite (UV).

A B

DC E F GH

28 Dans chaque cas, tracer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).

On nommera les points de construction.

On n'est pas obligé de numéroter les étapes.

I [EF] ; J [EH] ; K [AB]

A B

DC E F GH K J I

I [EF] ; J [GH] ; K [BC]

A B

DC E F GH K J I

29 Dans chaque cas, représenter un cube ABCDEFGH et placer les points M et N comme indiqué.

Construire la section du cube par le plan (AMN).

1er cas : M ]BC[ et N ]EF[ 2e cas : M ]BC[ et N ]GH[

A B

DC E F GH

A B

DC E F GH

30 Tracer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK).

B C D A JI K

31 Soit ABCDEFGH un cube et I un point fixé de ]AB[. Tracer la section du cube par le plan (ICH).

A B

DC E F GH

32 Sur le cube ci-dessous tracer la section par le plan (IJK).

A B

DC EF

H G

K J I

33 Dans chaque cas, on a dessiné le patron d'un cube et, en rouge, l'intersection d'un plan P avec faces du

cube.

Reproduire les patrons.

Déterminer la nature de la section du cube par le plan P et, toujours en rouge, la représenter sur une figure en

perspective du cube.

34 Même exercice que le précédent.

Corrigé

De nombreux exercices font appel aux constructions (vision dans l'espace et éventuellement raisonnement) avec explications écrites ou non.

Quelques exercices portent sur des démonstrations (avec ou sans utilisation des théorèmes de

parallélisme). Faire une figure assez grande pour chaque exercice.

1 ABCDEFGH : cube

I : milieu de [AD]

J : milieu de [BC]

K : milieu de [EF]

L : milieu de [GH]

Faire une figure.

A B

DC E F GH I J K L

E (ABF) F (ABG) K (EFG) J (BEH) A (BHI)

Cet exercice s'appuie sur la vision dans l'espace et un peu aussi sur le raisonnement.

Exemple :

Le plan BEH est le plan contenant les points B, C, E, H.

J appartient à (BC).

(BC) est incluse dans (EBH) donc J appartient à (EBH).

2 Positions relatives de droites dans l'espace

ABCDEFGH : cube

I : milieu de [AD]

J : milieu de [BC]

K : milieu de [EF]

L : milieu de [GH]

Faire une figure.

A B

DC E F GH I J K L (AE) et (BF) sont parallèles. (EH) et (CG) sont non coplanaires. (AI) et (DJ) sont sécantes. (KL) et (BC) sont parallèles. (AB) et (FH) sont non coplanaires.

3 Positions relatives de droites dans l'espace

Faire une figure.

A B

DC E F GHMN Les droites (MN) et (FG) sont coplanaires et sécantes.

Les droites (AM) et (CG) ne sont pas coplanaires.

Les droites (FM) et (EN) sont sécantes.

Les droites (AN) et (BH) ne sont pas coplanaires.

Les droites (FM) et (AN) ne sont pas coplanaires.

4 Figure

A B

DC E F GH K J I L

I [AB)

I [AB]

(DI) (AC) = { J }

K [CG]

(CE) (AK) = { L }

A, B, C, D, I, J appartiennent au plan (ABC)

A, B, F, E, I appartiennent au plan (ABF)

A, C, G, E, J, K, L appartiennent au plan (ACE)

C, D, H, G, K appartiennent (CDH)

5 ABCDEFGH : cube

M : point quelconque de [BF].

Construisons l'intersection de la droite (MH) et du plan (ABC).

A B

DC E F GH M I L'intersection d'une droite et d'un plan non parallèle est un point.

On obtient le point d'intersection de (MH) et de (ABC) en prolongeant la droite (MH) et la droite (BD) (tracé

hors solide). On construit l'intersection des droites (MH) et (BD) qui sont deux droites coplanaires sécantes.

6 Intersections de plans dans un cube

A B

DC E F GH

1°) (AEF) et (BCG) sont sécants selon la droite (BF).

On peut écrire : (AEF) (BCG) = (BF)

2°) (ABF) et (CDG) sont strictement parallèles.

3°) (AEC) et (EFG) sont sécants selon la droite (EG).

On peut écrire : (AEC) (EFG) = (EG)

4°) (ABC) et (ADC) sont confondus.

7 ABCD : tétraèdre

I : [CD]

J : [AB]

Déterminons l'intersection des plans (ABI) et (CDJ). On faut colorier les plans " triangulaires » pour plus de lisibilité. A B C D J I A B C D J I

I (ABI) de manière évidente.

J (AB) donc J (ABI).

J (CDJ) de manière évidente.

J (CD) donc J (CDJ).

I et J appartiennent tous les deux aux plans (ABI) et (CDJ). Donc (ABI) et (CDJ) sont sécants selon la droite (IJ).

Autres formulations possibles :

L'intersection des plans (ABI) et (CDJ) est la droite (IJ). (ABI) (CDJ) = (IJ)

8 ABCDEFGH : cube

Déterminons l'intersection des plans (AEC) et (BFD).

A B

DC E F GH I J Soit I le centre de la face ABCD et J le centre de la face EFGH. L'intersection des plans (AEC) et (BFD) est la droite (IJ).

9 SABCD : pyramide régulière de sommet S dont la base ABCD est un carré de centre O

Faire une figure.

S A B C O D On utilise des couleurs pour visualiser les plans (SAC) et (SBD). S A B C O D L'intersection des plans (SAC) et (SBD) est la droite (SO).

10 ABCDEFGH : cube

Déterminons l'intersection des plans (AFC) et (BEG).

A B

DC EF GH I J On note I le centre de la face ABFE et J le centre de la face BCGF.

Les points I et J appartiennent aux plans (BEG) et (AFC) donc l'intersection de (BEG) et (AFC) est la droite

(IJ).

11 ABCD : tétraèdre

I : point quelconque de [AB]

J : point quelconque de [BC]

Déterminons l'intersection des plans (CDI) et (ADJ).

Propriété à utiliser :

Si deux plans distincts P et Q ont un point A en commun, alors il sont sécants et leur intersection est une droite

passant par A.

Les deux plans (CDI) et (ADJ) sont distincts.

Ils ont par ailleurs le point D en commun. Donc leur intersection est une droite passant par D. On ne connaît alors qu'un seul point de cette droite.

On peut " créer » un point.

On note K le point d'intersection des droites (CI) et (AI). (ADJ) (DCI) = (DK) A B C D JI K

12 1°) et 2°) figure ci-dessous

A B

DC E F GH I J M

3°) La droite d'intersection des plans (ABC) et (EGM) est la droite (IJ) (car I appartient à (AB) et (EM) et J

appartient à (BC) et (GM)).

13 1°) Figure

Il n'y a pas moyen de faire une figure exacte au départ. Au départ, on fait juste une figure pour raisonner.

C'est seulement après le résultat qui va être démontré que l'on pourra faire une figure exacte.

A O B M I J D P A O B M I J D P

2°) Justifions que les points O et I appartiennent au plan (MAB).

Démontrons que O appartient à (MAB).

Le point O appartient à la droite (AB).

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