[PDF] Année 2002

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?Baccalauréat S 2002?

L"intégrale d"avril 2002 à mars 2003

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bleus

Pondichéry avril 2002

....................................3

Amérique du Nord juin 2002

.............................6

Antilles-Guyanejuin 2002

..............................10

Asie juin 2002

Centres étrangers juin 2002

.............................17

Métropole juin 2002

....................................20

La Réunion juin 2002

....................................24

Polynésie juin 2002

......................................29

Antilles-Guyaneseptembre 2002

.......................32

Métropole septembre 2002

.............................36

Polynésie spécialité septembre 2002

...................40

Nouvelle-Calédonie novembre 2002

...................43

Amérique du Sud décembre2002

......................46

Nouvelle-Calédonie mars 2003

.........................49 Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P. 2 ?Baccalauréat S Pondichéry avril 2002?

EXERCICE14 points

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

; unité gra- phique 2 cm. On désigne par A le point d"affixezA=1, et par (C) le cercle de centre

A et de rayon 1.

PartieA

Soit F le point d"affixe 2, B le point d"affixezB=1+eiπ

3et E le point d"affixe?1+z2

B?.

1. a.Montrer que le point B appartient au cercle (C).

b.Déterminer une mesure en radians de l"angle de vecteurs?-→AF ;--→AB? . Pla- cer le point B.

2. a.Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB-zA) et

(zE-zA). b.En déduire que les points A , B et E sont alignés.

3.Placer le point E.

PartieB

Pourtout nombrecomplexeztel quez?=1, onconsidèreles pointsMetM?d"affixes respectiveszetz?oùz?=1+z2.

1.Pourz?=0 etz?=1, donner, à l"aide des points A,MetM?, une interprétation

géométrique d"un argument du nombre complexe z?-1 z-1.

2.En déduire que A,MetM?sont alignés si et seulement siz2

z-1est un réel.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementobligatoire

PartieA

Une urne contientnboules blanches (n?Netn?2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l"urne .

1.Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches?

2.On notep(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

a.Montrer quep(n)=n2-n+26 (n+8)(n+7) b.Calculer limn→+∞p(n). Interpréter ce résultat.

PartieB

Pour les questions suivantesn=4.

1.Calculerp(4).

2.Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l"urne.

le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros.

Pour chaque tirage :

Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P. — si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, — si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain du joueur la différence, à l"issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne parXla variable aléatoire égale au gain du joueur. a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l"espérance deX.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.Calculer le P.G.C.D. de 45-1 et de 46-1.

Soitula suite numérique définie par :

u

0=0,u1=1 et, pour tout entier natureln,

u n+2=5un+1-4un.

2.Calculer les termesu2,u3etu4de la suiteu.

3. a.Montrer que la suiteuvérifie, pour tout entier natureln,un+1=4un+1.

b.Montrer que, pour tout entier natureln,unest un entier naturel. c.En déduire, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. deunetun+1.

4.Soitvla suite définie pour tout entier naturelnparvn=un+1

3. a.Montrer quevest une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier termev0. b.Exprimervnpuisunen fonction den. c.Déterminer, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. de 4n+1-1 et de 4n-1.

PROBLÈME11points

La partieBpeut être traitée indépendamment de la partieA.

Le plan est muni d"un repère orthonormal

O,-→ı,-→??

; unité graphique : 2 cm. Pour tout entier natureln, on considère la fonctionfndéfinie surRpar : f n(x)=ex enx(1+ex). On désigne parCnla courbe représentative defndans le repère?

O,-→ı,-→??

Partie A

Danscette partie,on s"intéresse seulement aux fonctionsf0etf1correspondantres- pectivement àn=0 etn=1. On considère d"abord la fonctionf0définie surRparf0(x)=ex 1+ex.

1. a.Déterminer la limite def0(x) quandxtend vers-∞.

b.Déterminer la limite def0(x) quandxtend vers+∞. c.En déduire les asymptotes deC0.

Pondichéry4avril 2002

Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P.

2.Montrer que le point K?

0 ;12?

est un centre de symétrie deC0

3.Étudier les variations def0.

4. a.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC0au point K.

b.Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par rapport à la courbeC0, il suffit d"étudier surRle signe deg(x), où g(x)=2ex-xex-2-x. c.Calculerg?(x) etg??(x). d.Déterminer, en les justifiant, les signes deg??(x),g?(x) etg(x) suivant les valeurs dex. e.En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbeC0.

5.TracerC0et T dans le repère?

O,-→ı,-→??

6. a.Montrer que pour tout réelx, les pointsM(x;f0(x)) etM??x;f1(x)?sont

symétriques par rapport à la droite (d) d"équationy=1 2. b.Comment obtient-onC1à partir deC0? TracerC1.

Partie B

Étude de la suiteudéfinie pour tout entier naturelnpar : u n=? 1 0 fn(x)dx.

1.Montrer queu0=ln?1+e

2?

2.Montrer queu0+u1=1. En déduireu1.

3.Montrer que la suiteuest positive.

4.On posek(x)=fn+1(x)-fn(x),

a.Montrer que, pour toutxréel,k(x)=1-ex enx(1+ex). b.Etudier le signe dek(x) pourx?[0 ; 1]. c.En déduire que la suiteuest décroissante.

5. a.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a :

u n-1+un=1-e-(n-1) n-1. b.Calculeru2.

6.Soitvla suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 par :

v n=un-1+un 2. a.Calculer la limite devnquandntend vers+∞. b.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a :

0?un?vn.

c.En déduire la limite deunquandntend vers+∞.

Pondichéry5avril 2002

?Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2002?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière indépen- dante.

PartieI

1.Dans un questionnaire à choix multiple (Q. C. M.), pour une question don-

née, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse exacte rapportenpoint(s) et une réponse fausse fait perdrep point(s). SoitNla variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par lecandidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question. a.Donner la loi de probabilité deN. b.Quelle relation doit exister entrenetppour que l"espérance mathéma- tique deNsoit nulle?

2.À un concours un candidat doit répondre à un Q. C. M. de 4 questions com-

portant chacune trois propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu"il répond à chaque question, au hasard. Calculerla probabilité qu"il réponde correctement à3 questions exactement (donner cette probabi- lité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).

PartieII

Répondre au Q. C. M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).

Documentà rendreavecla copie

Pourchaquequestion, uneseule réponse est exacte.Ilestseulement demandéd"en- tourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions. L"absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée. a. On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un "paquet». Combien de "paquets» contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former?

Réponse 1 :Réponse 2 :Réponse 3 :

180330110

b.A et B sont deux évènements d"un espace probabilisé tels que : p(A)=0,4p(B)=0,5p(

A?B)=0,35.

Combien vautp(A∩B)?

Réponse 1 :Réponse 2 :Réponse 3 :

p(A∩B)=0,1p(A∩B)=0,25Les données sont insuffisantes pour répondre. c.A et B sont deux évènements d"un espace probabilisé tels que p(B∩A)=1

6,pA(B)=0,25 (probabilité conditionnelle de B sachant que A est

réalisé). Combien vautp(A)? Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P.

Réponse 1 :Réponse 2 :Réponse 3 :

p(A)=23p(A)=124p(A)=112 d.Une variable aléatoireXa pour loi de probabilité : xi124 pi1 2 1 4 1 4

Combien vaut l"écart type deX?

Réponse 1 :Réponse 2 :Réponse 3 :

σ=32σ=?3

2σ=2

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est muni d"un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

. On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère l"applicationFdu plan dans lui même qui, à tout pointMd"affixez, associe le pointM?d"affixez?tel que : z ?=(1+i)z+2.

1.Soit A le point d"affixe-2+2i.

Déterminer les affixes des points A

?et B vérifiant respectivement A?=F(A)et

F(B) = A.

2.Méthode de construction de l"image deM.

a.Montrer qu"il existe un point confondu avec son image. On noteraΩce point etωson affixe. b.Établir que pour tout complexezdistinct deω,z?-z

ω-z=-i.

SoitMun point distinct deΩ.

ComparerMM?etMΩet déterminer une mesure de l"angle (--→MΩ,---→MM?). En déduire une méthode de construction deM?à partir deM.

3.Étude de l"image d"un ensemble de points.

a.Donner la nature et les éléments caractéristiques de l"ensembleΓ, des points du plan dont l"affixezvérifie|z+2-2i|=? 2.

Vérifier que B est un point deΓ.

b.Démontrer que, pour toutzélément deC z ?+2=(1+i)(z+2-2i). Démontrer que l"image parFdetout point deΓappartient au cercleΓ'de centre A ?et de rayon 2.

Placer O, A, B, A

?,ΓetΓ?sur une même figure.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité Soit (E) l"ensemble des entiers naturels écrits, en base 10,sous la forme abbaoùa est un chiffre supérieur ou égal à 2 etbest un chiffre quelconque. Exemples d"éléments de (E) : 2002; 3773; 9119. Les parties A et B peuvent être trai- tées séparément. PartieA : Nombre d"éléments de (E)ayant11 comme pluspetit facteur premier.

Amérique du Nord7juin 2002

Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P.

1. a.Décomposer 1001 en produit de facteurs premiers.

b.Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.

2. a.Quel est le nombre d"éléments de (E)?

b.Quel est le nombre d"éléments de (E) qui ne sont ni divisiblespar 2 ni par 5?

3.Soitnun élément de (E) s"écrivant sous la forme

abba. a.Montrer que : "nest divisible par 3 » équivaut à "a+best divisible par

3».

b.Montrer que : "nest divisible par 7» équivaut à "best divisible par 7».

11 comme plus petit facteur premier.

PartieB : Étude des élémentsde (E) correspondantà une annéebissextile. Soit (F) l"ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile. On admet que pour tout élémentnde (F), il existe des entiers naturelspetqtels que : n=2000+4petn=2002+11q.

1.On considère l"équation (e) : 4p-11q=2 oùpetqsont des entiers relatifs.

tion (e).

2.En déduire que tout entiernde (F) peut s"écrire sous la forme 2024 + 44koù

kest un entier relatif.

3.À l"aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).

N. B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37.

PROBLÈME10points

Commun à tous les candidats

Pour tout réelkstrictement positif, on considère la fonctionfkdéfinie sur [0 ;+∞[ par : f k(x)=ln(ex+kx)-x. SoitCkla courbe représentative de la fonctionfkdans le plan muni d"un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

, (unités graphiques : 5 cm sur l"axe des abscisses et 10 cm sur l"axe des ordonnées). Étude préliminaire: mise enplace d"une inégalité. On considère la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ par : g(x)=ln(1+x)-x.

1.Étudier le sens de variation deg.

2.En déduire que pour tout réelapositif ou nul ln(1+a)?a.

PartieA : Étude de la fonctionf1définie sur [0 ;+∞[ parf1(x)=ln(ex+x)-x.

1.Calculerf?1(x) pour tout réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[ et en dé-

duire le sens de variation de la fonctionf1.

2.Montrer que pour tout réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[,

f

1(x)=ln?

1+x ex? . En déduire la limite def1en+∞.

Amérique du Nord8juin 2002

Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P.

3.Dresser le tableau de variation def1.

PartieB : Étude et propriétésdes fonctionsfk.

1.Calculerfk(x) pour tout réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[ et en dé-

duire le sens de variation de la fonctionfk.

2.Montrer que pour tout réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[

f k(x)=ln? 1+kx ex? . En déduire la limite defk, en+∞.

3. a.Dresser le tableau de variation defk.

b.Montrer que pour tout réelxde l"intervalle [0 ;+∞[, on afk(x)?k e.

4.Déterminer une équation de la tangenteTkàCkau point O.

5.Soitpetmdeux réels strictement positifs tels quep

Étudier la position relative deCpetCm.

6.Tracer les courbesC1etC2ainsi que leurs tangentes respectivesT1etT2en

O.

PartieC : Majorationd"une intégrale.

Soitλun réel strictement positif, on noteA(λ) l"aire, en unités d"aire, du domaine délimité par l"axe des abscisses, la courbeCket les droites d"équationx=0 etx=λ.

1.Sans calculerA(λ), montrer queA(λ)?k?

0 xe-xdx(on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).

2.Calculer à l"aide d"une intégration par parties l"intégrale?

0 xe-xdx.

3.On admet queA(λ) admet une limite en +∞.

Montrer que limλ→+∞A(λ)?k.

Interpréter graphiquement ce résultat

Amérique du Nord9juin 2002

?Baccalauréat S Antilles-Guyanejuin 2002?

EXERCICE14 points

Commun à tous les candidats

Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage,une société immobi- lière fait contrôler les chaudières de son parc de logementspendant l"été. On sait que 20% des chaudières sont sous garantie. Parmiles chaudières sous garantie,la probabilitéqu"une chaudièresoit défectueuse est de 1 100.
Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu"une chaudière soit défectueuse est de 1 10. On appelleGl"évènement suivant : "la chaudière est sous garantie».

1.Calculer la probabilité des évènement suivants :

A: "la chaudière est garantie et est défectueuse»;

B: "la chaudière est défectueuse».

2.Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité

qu"elle soit sous garantie est de 1 41.

3.Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Ilcoûte 80 euros si la

chaudière n"est plus sous garantie et n"est pas défectueuse. Il coûte 280 eu- ros si la chaudière n"est plus sous garantie et est défectueuse. On noteXla variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d"unechaudière. Déter- miner la loi de probabilité deXet son espérance mathématique.

4.Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses.

Quelle est la probabilité qu"au moins l"une d"entre elles soit sous garantie?

EXERCICE25 points

Enseignementobligatoire

Le planPest rapporté au repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

, (unité graphique

2 cm).

On considère les points I et A d"affixe respectives 1 et-2. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle (C) le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

1.Soit B le point d"affixeb=1+4i

1-2i. Écrirebsous forme algébrique et montrer

que B appartient au cercle (C).

2.Soit D le point du cercle (C) tel que l"angle?-→KI ,--→KD?

3+2kπoùkest un

entier relatif et soitdl"affixe de D. a.Quel est le module ded+1

2? Donner un argument ded+12.

b.En déduire qued=1 4+3i? 3 4. c.Déterminer un réelavérifiant l"égalité1+2ia

1-ia=14+3i?

3 4.

1-ix.OnposeZ=(m-1)(m+2).

CalculerZet en déduire la nature du triangle AIM. Baccalauréat S : l"intégrale 2002A. P. M. E. P.

4.SoitNun point, différent de A du cercle (C) etnson affixe.

Démontrer qu"il existe un réelytel quen=1+2iy 1-iy.

EXERCICE25 points

Enseignementde spécialité

Le planPest rapporté à un repère orthonormé direct?

O,-→OI ,-→OJ?

(unité graphique 4 cm)

1.On considère les points A, B , C , D et E d"affixes respectives :

Z

A=eiπ

6,ZB=ei2π3,ZC=-1,ZD=-i etZE=e-iπ6.

a.Faire la figure

b.Montrer que EA = ED et que EB = EC.Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC]

c.Déterminer les points K et L images respectives de A et de B parla trans- lationtde vecteur-→OI . Placer les points K et L sur la figure.

2.On considèrel"applicationFqui àtout pointMd"affixeZassocie le pointM?

d"affixeZ?=? 1 2-i? 3

2?Z, oùZdésigne le conjugué deZ.

a.Justifier l"égalitéF=R◦SoùSest la réflexion ou symétrie axiale d"axe (OI) etRune rotation dont on précisera le centre et l"angle. b.Montrer queFest une réflexion dont on précisera l"axe.

3.SoitGl"application qui, à tout pointMd"affixeZassocie le pointM??dont

l"affixeZ??définie par la formuleZ??=? 1 2-i? 3

2?Z+1.

Déterminer une applicationTtelle queG=T◦F. En déduire queGest unquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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