[PDF] Corrigé du baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Métropole





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?Corrigé du baccalauréat STI2Det STL spécialitéSPCL?

Métropole - 7 septembre2017

EXERCICE14 points

1.On donne ci-dessous la courbeCreprésentative d"une fonctionfdéfinie et dérivable sur

[0 ;+∞[.

On poseI=?

2 1 f(x)dx. Un encadrement deIest : a.6Explications Sur l"intervalle[1 ; 2], la fonctionfest positive, donc l"intégraleIest égale à l"aire du domaine compris entre la courbeC, l"axe des abscisses, et les deux droites d"équations x=1 etx=2. Le polygone intérieur au domaine hachuré en rouge a une aire de 3 qui est inférieure àI. Le polygone extérieur au domaine colorié en vert a une aire de4 plus grande queI.

2.La fonctiongest définie sur l"intervalle]0 ;+∞[parg(x)=(-2x+1)ln(x)+5.

La limite de cette fonctiongen+∞est égale à : a.+∞b.-∞ c.0d.5

Explications

lim x→+∞(-2x+1)=-∞ lim x→+∞ln(x)=+∞? donc lim x→+∞(-2x+1)ln(x)=-∞et donc limx→+∞f(x)=-∞

3.La suite (vn) est géométrique de premier termev0=4 et de raisonq=0,5.

La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à : a.4×0,58b.1-0,59

1-0,5c.8×(1-0,59)

d.6,9

Explications

La sommeSdes premiers termes d"une suite géométrique est donnée par :

S=premier terme×1-raisonnombre de termes

1-raison, ce qui donne ici :v0×1-q91-q=41-0,591-0,5=

8(1-0,59).

4.La suite (un) est la suite géométrique de premier termeu0=300 et de raisonq=1,05.

L"algorithme qui calculeet affichetous les termes strictement inférieurs à405 decettesuite est : Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCL -A. P. M. E. P. a. Variables n: un nombre entier naturel u: un nombre réel

Initialisation

nprend la valeur 0 uprend la valeur 300

Traitement

Tant quen<450

Afficheru

nprend la valeurn+1 uprend la valeur 300×1,05n

Fin Tant queb. Variables

u: un nombre réel

Initialisation

uprend la valeur 300

Traitement

Tant queu<450

uprend la valeur 1,05×u

Fin Tant que

Sortie

Afficheru

c.

Variables

u: un nombre réel

Initialisation

uprend la valeur 300

Traitement

Tant queu<450

Afficheru

uprend la valeur 1,05×u

Fin Tant que

d. Variables n: un nombre entier naturel u: un nombre réel

Initialisation

nprend la valeur 0 uprend la valeur 300

Traitement

Tant queu<450

nprend la valeurn+1 uprend la valeur 1,05×u

Fin Tant que

Sortie

Afficheru

Explications

L"algorithme doit afficher tous les termes de la suite, donc l"affichage doit se faire à l"intérieur de

la boucle "Tant que». On peut donc éliminer les algorithmesb.etd. Onpeut éliminer l"algorithmea.car la condition sur la boucle porte surnalors qu"on veut que ce soituqui reste inférieur à 450. Le bon algorithme est lec.

EXERCICE26 points

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur

est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l"appareil envoie des impulsions électriques régu-

lières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant. Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants :un condensateur de capacitéC égale à 4×10-7farad, et un conducteur ohmique de résistanceRégale à 2×106ohms. Unefoislecondensateur chargé,latensionàsesbornesestégaleà5,6volts.Ilsedéchargeensuite dans le conducteur ohmique.

PartieA

La tensionu, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du tempst, en secondes. On

admet queu(0)=5,6 et que cette fonctionu, définie et dérivable sur l"intervalle[0 ;+∞[, vérifie

pour tout nombretde l"intervalle[0 ;+∞[la relation : u ?(t)+1

RC×u(t)=0.

1. a.D"après le texte,C=4×10-7etR=2×106doncRC=8×10-1et donc1

RC=1,25.

Doncuest solution de l"équation différentielley?+1,25y=0. b.Une équation différentielle de premier ordre du typey?+ay=0 a pour solutions les fonctionsfdéfinies parf(t)=ke-atoùkest un réel quelconque. On en déduit que les solutions de l"équation différentielley?+1,25y=0 sont les fonc- tionsudéfinies paru(t)=ke-1,25t, oùkest un réel quelconque.

Métropole27 septembre 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCL -A. P. M. E. P. c.u(t)=ke-1,25tetu(0)=5,6 doncke0=5,6??k=5,6.

Doncuest définie paru(t)=5,6e-1,25t.

2. a.u(t)=5,6e-1,25tdoncu?(t)=5,6×(-1,25)e-1,25t=-7e-1,25t<0 sur[0 ;+∞[.

La fonctionuest donc strictement décroissante sur[0 ;+∞[. b.Ce résultat était prévisible car la fonctionureprésente la tension aux bornes d"un condensateur et on sait que cette tension décroit avec le temps.

PartieB

En réalité, lorsque la tensionuaux bornes du condensateur a perdu 63% de sa valeur initiale u(0), le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un bat- tement. Onconsidèrequelecondensateur serechargeinstantanément etquelatension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.61

2345
u

1. a.Si la tension perd 63% de sa valeur, il en reste 37% et 5,6×37100=2,02.

Donc la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l"envoi d"une impulsion

électrique au coeur est de 2,072 volts.

b.On résout dans l"intervalle[0 ;+∞[l"équation : 5,6e-1,25t=2,072 : 5,6e -1,25t=2,072??e-1,25t=2,072

5,6??e-1,25t=0,37?? -1,25t=ln(0,37)??

t=-ln(0,37)

1,25donct≈0,7954

c.Il faudra donc déclencher l"envoi d"une impulsion électrique environ toutes les 0,8 secondes. On admet que le stimulateur cardiaque d"un patient souffrant d"insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes. On cherche combien d"impulsions seront émises en une minutedonc en 60 secondes :60

0,8=75. Envoyerune impulsion toutes les0,8 secondes entraîne 75 pulsations par minute,

ce qui correspond au rythme d"un adulte en bonne santé.

EXERCICE35 points

PartieA

Dans le plan complexe muni d"une repère orthonormé direct?

O ;-→u,-→v?

, on représente les ex-

trémités des pales d"une éolienne par le point A de coordonnées (0 ; 3) et par les points B et C

d"affixes respectives : z B=3? 3

2-32i etzC=3e-i5π

6.

1.SoitzAl"affixe du point A.

Métropole37 septembre 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCL -A. P. M. E. P. a.La forme algébrique dezAest 3i. b.La forme exponentielle dezAest 3eiπ 2.

2.zB=3?

3

2-32i donc|zB|=?????3?

3

2-32i?????

3? 3 2? 2 -32? 2 27

4+94=?9=3

z B=3? 3

2-12i?

On chercheθtel que cos(θ)=?

3

2et sin(θ)=-12; doncθ=-π6+k×2πoùkentier relatif.

L"écriture exponentielle dezBest donc 3e-iπ

6.

3.Onadmetquelorsquel"hélice tourned"unangledeπ

2radiansdanslesens direct,lespoints

A, B et C sont transformés respectivement en A

?, B?et C?tels que : A?a pour affixezA?= z

A×eiπ

2, B?a pour affixezB?=zB×eiπ2, et C?a pour affixezC?=zC×eiπ2.

DonczC?=zC×eiπ

=3e-iπ3.

PartieB

La durée de vie, en jours, d"un des composants électroniquesd"une éolienne est modélisée par

une variable aléatoireTqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=0,002.

1.La durée de vie moyenne d"un composant de ce type estE(T)=1

λ=500 jours.

2. a.On considère la fonctionfdéfinie sur[0 ;+∞[parf(x)=0,002e-0,002x.

SoitFla fonction définie sur l"intervalle[0 ;+∞[parF(x)=-e-0,002x. F ?(x)= -0,002×?-e-0,002x?=0,002e-0,002x=f(x) donc la fonctionFest une primi- tive de la fonctionfsur l"intervalle[0 ;+∞[. b.On rappelle que, pour tout nombre réel de[0 ;+∞[,P(T?t)=? t 0 f(x)dx.

On a doncP(T?t)=1-e-0,002t.

Lefabricantaffirme:"laprobabilitéque laduréedevie ducomposant soit supérieure

à 100 jours est d"au moins 0,8.»

On peut donc dire que le fabricant a raison.

EXERCICE45 points

L"entrepriseCOFRUITfabriquedelaconfituredefruits,qu"elle conditionne enpots.Ilestindiqué

680 grammes de confiture sur l"étiquette du pot. En fin de chaîne de remplissage, les pots sont

pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas

commercialisés.

PartieA

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoireX

qui suit la loi normale d"espéranceμ=680 et d"écart-typeσ=2,65.

1.La probabilité que la masse de confiture d"un pot, pris au hasard dans la production, soit

comprise entre 677 grammes et 683 grammes est :P(677?X?683)≈0,742.

2.Un pot est non commercialisé si la masse de confiture est inférieure à 675 grammes donc

la probabilité qu"un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé estP(X?

675)≈0,970.

Métropole47 septembre 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL/SPCL -A. P. M. E. P.

PartieB

Dans cette partie, on considère qu"une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la

proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%. On s"intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1.Lors d"un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de200 pots, 8 ne sont pas

commercialisables. n=200?30;p=0,03 doncnp=6?5 etn(1-p)=194?5 Les conditions sont vérifiées pour que l"on établisse un intervalle de fluctuation asympto- tique à 95% de la proportion de pots non commercialisables : p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

0,03-1,96?

0,03×0,97

200; 0,03+1,96?

0,03×0,97

200?
≈[0,006 ; 0,054] La fréquence de pots non commercialisables dans l"échantillon estf=8

200=0,04.

Cette fréquence appartient à l"intervalle de fluctuation donc il n"y a pas de raison de modi- fier le réglage de la machine.

2.On rappelle dans cette question queμ=680 etσ=2,65.

On suppose que la machine est bien réglée. L"entreprise décide de vendreles pots de confi- On admet que la masse de confiture, en grammes, d"un lot de 2 pots est une variable aléa- toireYqui suit la loi normale d"espérance 2μet d"écart-type?

2×σ.

a.La variable aléatoireYsuit la loi normale d"espérance 2μ=1360 et d"écart-type? 2×

σ≈3,748.

DoncP(Y?1350)≈0,004.

b.D"après les questions précédentes, on peut estimer qu"il y aune proportion de lots de

2 pots non commercialisables de 0,4% bien plus faible que la proportion de pots non

commercialisables de 3% quand on les considère individuellement. Ilest doncplus intéressant pour l"entreprise COFRUITdevendreses potsdeconfiture par lots de 2.

Métropole57 septembre 2017

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