[PDF] Baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 18 juin

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Durée : 4 heures

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Antilles-Guyane18 juin 2015

EXERCICE13 points

1.Le temps d"attente en minute àun péage est une variablealéatoire qui suit la loi exponentielle de

paramètreλ=0,2 (exprimé en min-1).

En moyenne une personne attend à ce péage :

a.2 minb.5 minc.10 mind.20 min

λ=10,2=5.

Réponse b.

2.La forme exponentielle du nombre complexez=-3+i3?

3 est :

a.3ei2π

3b.6ei2π3c.6e-i2π3d.-6e-i2π3

|z|=? (-3)2+(3?3)2=?9+27=?36=6 arg(z)=θtel que???????cosθ=-3

6= -12

sinθ=3? 3 6=? 3

2Doncθ=2π

3à 2πprès.

Réponse b.

3.On considère le complexez=?

2-i?2.

Le nombre complexez2est égal à :

a.z2=2b.z2=4c.z2=-4d.z2=-4i

Réponse d.

EXERCICE25 points

PartieA

On considère la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[parf(x)=ax+bln(x)+1 oùaetbsont deux réels.

C fest la représentation graphique de la fonctionfdans un repère orthonormé. Les points A et E sont deux points de la courbeCf. Le point A a pour coordonnées (1; 2) et le point E a pour abscisse 4.

La tangente àCfau point E est horizontale.

1.D"après le graphique, on voit quef(1)=2.

Comme la tangente àCfau point E d"abscisse 4 est horizontale, on peut dire quef?(4)=0.

2.La fonctionfest dérivable sur]0;+∞[etf?(x)=a+b

x

Baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

12345678910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

012345678910

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B CDC f xy E

3.f(x)=ax+bln(x)+1

f(1)=2??a+bln(1)+1=2??a=1 f ?(x)=a+b xeta=1 doncf?(x)=1+bx;f?(4)=0??1+b4=0??b=-4

On aa=1 etb=-4 doncf(x)=x-4ln(x)+1.

PartieB

Soit la fonctionfdéfinie sur]0 ;+∞[par :f(x)=x-4ln(x)+1. 1. limx→0ln(x)=-∞ =?limx→0-4ln(x)=+∞ lim x→0x=0=?limx→0x+1=1? =?limx→0f(x)=+∞ On peut en déduire que la droite d"équationx=0 est asymptote verticale à la courbeCf.

2.Pour toutx>0 :f(x)=x?

1-4ln(x)

x? +1.

On sait que lim

x→+∞ln(x) x=0 donc limx→+∞?

1-4ln(x)x?

=1 et donc limx→+∞x?

1-4ln(x)x?

On en déduit que lim

x→+∞f(x)=+∞

3.La fonctionfest dérivable sur]0;+∞[etf?(x)=1-4

x. On résout dans l"intervalle]0;+∞[l"inéquationf?(x)>0. f ?(x)>0??1-4 x>0??x-4x>0??x>4 puisquex>0. On calcule la valeur du minimum :f(4)=4-4ln(4)+1=5-4ln(4)≈-0,55. D"où le tableau de variations de la fonctionfsur]0;+∞[:

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x0 4+∞ f?(x)---0+++ f(x)

5-4ln(4)

PartieC

Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture. La formed"une pièce est donnée sur la figureci-contre et correspond àla zone hachurée sur le graphique précédent. On souhaite déterminer la mesure de l"aire de la pièce en unité d"aire. Le point D est le point de la courbeCfd"abscisse 2. Les points B et C ont pour coordonnées respectives (1; 0) et (2; 0). A B C D Soit la fonctionGdéfinie sur]0 ;+∞[parG(x)=xln(x)-x.

1.G?(x)=1×ln(x)+x×1

x-1=ln(x) Donc la fonctionGest une primitive de la fonction ln sur]0 ;+∞[.

2.La fonctionx?-→x+1 a pour primitivex?-→x2

2+xdonc la fonctionFdéfinie sur]0;+∞[par

F(x)=x2

2+x-4G(x) est une primitive de la fonctionf.

F(x)=x2

3.L"airedelaplaque estl"airedudomainedélimitéparl"axedesabscisses,lacourbeCfetlesdroites

d"équationsx=1 etx=2. Comme la fonctionfest positive sur[1 ;2], cette aire est égale à l"intégrale :I=? 2 1 f(t)dt I=? 2 1 f(t)dt=F(2)-F(1)=?4

2+10-8ln(2)?

-?12+5-4ln(1)? =12-8ln(2)-112=132-8ln(2) ≈0,95 unité d"aire.

EXERCICE34 points

Étude de la production de plats préparés sous vide. L"entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide.

1.Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de 400 grammes. Un plat est

conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est supérieure à 394 grammes.

On noteMla variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe

sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoireMsuit la loi normale d"espérance 400 et d"écart type 5.

a.La probabilité qu"un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre 394 et 404 grammes

estP(394?M?404). À la calculatrice, on trouveP(394?M?404)≈0,673. b.La probabilité qu"un plat soit conforme estP(M?394)≈0,885.

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2.Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de 300.

On arrondit la probabilité de l"évènement "un plat préparé prélevé au hasard dans la production

n"est pas conforme» à 0,12. On prélève au hasard 300 plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

OnconsidèrelavariablealéatoireXqui, àun lotde300 plats, associe le nombredeplats préparés

non conformes qu"il contient.

a.La probabilité qu"un plat soit non conforme est 0,12.On prélève au hasard 300 plats dans la production. La production est assez importante pour

que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Donc la variable aléatoireXqui donne le nombre de plats défectueux dans le lot de 300 suit la loi binomiale de paramètresn=300 etp=0,12. b.L"espérance mathématique d"une variable aléatoire qui suit la loin binomialeB(n,p) est E(X)=np. Donc l"espérance mathématique de la variable aléatoireXest 300×0,12=36.

c.La probabilité que dans un échantillon de 300 plats prélevésau hasard, au moins 280 plats

soient conformes, est la probabilité que dans cet échantillon il y ait au plus 20 plats non conformes, c"est-à-direP(X?20). À la calculatrice, on trouve :P(X?20)≈0,002. se révèlent être non conformes. a.La fréquence de plats non conformes dans l"échantillon prélevé estf=150

1200=0,125.

b.Lorsque la proportionpdans la population est connue, l"intervalle de fluctuation asympto- tique à 95% d"une fréquence obtenue sur un échantillon de taillenest : I=? p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

Commen=1200 etp=0,12, l"intervalle est :

I=?

0,12-1,96?

0,12(1-0,12)

1200; 0,12+1,96?

0,12(1-0,12)

1200?
≈[0,10; 0,14] [0,10; 0,14]donc on peut considérer que l"échantillon est représentatif de la production du fabricant. EXERCICE4 ÉTUDE DU DÉFICIT D"UNE MULTINATIONALE4 points Le déficit d"une multinationale a été de 15 millions d"euros en 2014.

Devant l"ampleur de ce déficit, l"équipe de direction décidede prendre des mesures afin de ramener ce

déficitannuel àmoins de5millions d"euros.Jusqu"àcequecetobjectifsoitatteint, cette équipe s"engage

à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans. On définit la suite(un)de la manière suivante : on noteun

le déficiten milliond"eurosde cette multinationale lors de l"année 2014+n. Ainsiu0=15.

1. a.Une baisse de 8,6% revient à une multiplication par 1-8,6

100=0,914. Doncu1=0,914u0.

b.Le déficit de la multinationale en 2016 correspond àu2. Pour la même raison que dans la question précédente : u

2=0,914u1=0,914×0,914u0=0,914×0,914×15≈12,531 millions d"euros.

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c.Une baisse de 8,6% correspond à une multiplication par 0,914donc, pour tout entier naturel n,un+1=0,914un. On sait queu0=15. La suite (un) est géométrique de premier termeu0=15 et de raisonq=0,914.

Donc, pour toutn,un=u0×qn=15×0,914n.

2. a.0,914n?1

3??ln(0,914n)?ln13croissance de la fonction ln sur]0;+∞[

??n×ln(0,914)?ln1

3propriété de la fonction ln

??n?ln1 3 ln(0,914)car ln(0,914)<0 b. ln1 3 ln(0,914)≈12,217 doncl"engagement deramener ledéficitendessous des5 millions d"euros sera atteint au bout de 13 années, soit en 2014+13=2027.

3. a.L"algorithme suivant renvoie l"année à partir de laquelle le déficitde cette multinationale sera

ramené en dessous de 5 millions d"euros :

Variables

Nun entier naturel

QetUdeux nombres réels.

Début

Nprend la valeur 0

Qprend la valeur 0,914

Uprend la valeur 15

TantqueU?5faire

Nprend la valeurN+1

Uprend la valeurQ×U

Fin Tantque

AfficherN

Fin b.L"algorithme suivant affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jus- qu"à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d"euros :

Variables

Nun entier naturel

QetUdeux nombres réels.

Début

Nprend la valeur 0

Qprend la valeur 0,914

Uprend la valeur 15

TantqueU?5faire

Nprend la valeurN+1

Uprend la valeurQ×U

AfficherU

Fin Tantque

AfficherN

Fin

4. a.La somme des déficits sur onze ans à partir de l"année 2014 comprise, c"est-à-dire :u0+u1+

u

2+···+u10, correspond à la sommme des 11 premiers termes de la suite géométrique (un) :

u

0+u1+u2+···+u10=u0×1-qnombre de termes

1-q=15×1-0,914111-0,914≈109,555 millions d"euros.

b.L"algorithme suivant donne cette somme en sortie :

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Variables

Nun entier naturel

QetUdeux nombres réels

Sun nombre réel

Début

Qprend la valeur 0,914

Uprend la valeur 15

Sprend la valeurU

PourNvariantde 1 à 10 faire

Uprend la valeurQ×U

Sprend la valeurS+U

Fin Pour

AfficherS

Fin

EXERCICE54 points

On étudie la charge d"un condensateur et l"on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

•une source de tension continueEde 10 V.

•une résistanceRde 105Ω.

•un condensateur de capacitéCde 10-6F.

RC E u On noteula tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tensionuest une fonction du tempstexprimé en seconde.

La fonctionuest définie et dérivable sur[0 ;+∞[; elle vérifie l"équation différentielleRCu?+u=Eoù

u ?est la fonction dérivée deu.

1.D"après le texte,E=10,R=105etC=10-6; donc :

RCu

2. a.La forme générale des solutions de l"équation différentielley?+ay=besty=ke-at+b

aoùk

est un réel quelconque, donc la forme générale de l"équationdifférentielleu?+10u=100 est

u(t)=ke-10t+10. b.On considère qu"à l"instantt=0, le condensateur est déchargé. u(t)=ke-10t+10 u(0)=0? =?ke0+10=0??k=-10 L"unique fonctionutelle queu(0)=0 est définie paru(t)=10-10e-10t.

c.On sait, d"après le cours, que limx→+∞e-x=0, donc limt→+∞e-10t=0; on en déduit que limt→+∞10-

10e -10t=10 et donc que limt→+∞u(t)=10. Cela signifie que la charge du condensateur tend vers 10 voltsquand le tempstaugmente indéfiniment.

3.On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonctionuqui vient d"être obtenue à la

question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l"axe des abscisses et 1 unité

pour 1 volt sur l"axe des ordonnées. On appelleTle temps de charge en seconde pour queu(T) soit égal à 95% deE.

OrE=10 donc 95% deEest égal à 9,5.

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1234567891011

0,5 1,0 1,5

xy

Chargedu condensateur en

fonction du temps 9,5 0,3 a.On détermine graphiquement le temps de chargeT(voir graphique).

On trouveT≈0,3 seconde.

b.On détermine le temps de charge par le calcul en résolvant l"équationu(t)=9,5 : u(t)=9,5??10-10e-10t=9,5 ??0,5=10e-10t ??0,05=e-10t ??ln(0,05)= -10t ln(0,05) 10=t

La valeur arrondie à 10

-4de-ln(0,05)

10est 0,2996.

4.Enconservant lesvaleurs deCetdeE,onobtient l"équation différentielleR×10-6u?+u=10??

u ?+106

Ru=106R×10

La forme des solutions estu(t)=ke-106

Rt+10; commeu(0)=0, on déduit quek=-10.

On résout l"équationu(t)=9,5 :

u(t)=9,5??10-10e-106

Rt=9,5

??0,5=10e-106 Rt ??0,05=e-106 Rt ??ln(0,05)= -106 Rt R

106ln(0,05)=t

Donc le temps de charge est proportionnel à la résistance; ilsuffit de doubler la valeur de la résistance pour que le temps de charge soit multiplié par deux.

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