[PDF] Planche dexercices 37 Exercice 1. Soient E un K-e.v. et (fg) ? L(E





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Chapitre 4 Quelques types de raisonnement

(=proposition `a démontrer) : il faut savoir clairement distinguer ce qui est connu ou admis de ce qui est `a montrer. Montrer une inclusion d'ensembles.



Chapitre 2 : ensembles

La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d'ailleurs de procéder par double inclusion c'est à dire de montrer d'abord que A 



corrigé du devoir en temps libre no 7 1 PC

1 déc. 2016 x = fk(f(y)) montre que x appartient aussi `a Im(fk). On a alors montré l'inclusion Im(fk+1) ? Im(fk) pour tout entier k compris entre 0 et ...







P2 Correction DM 2 - Injectivité et surjectivité pour des applications

Montrer que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective. que f est injective on cherche `a montrer l'inclusion réciproque dans la.



Corrigé du devoir 2 TD2-Exercice 3 1. (a) x ? Ker u ? u( x)=0 ? u 2

Puisque l'on a déj`a montré Ker u ? Ker u2 il suffit maintenant de montrer termine de démontrer l'inclusion. ... Ce qui montre que E = Im u + Ker u.



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Montrer que F(q) est un sous-espace vectoriel de E. Corrigé ? Par inclusion et égalité de dimensions ... de montrer la plus simple des deux inclusions.



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Méthodes en algèbre linéaire SV concours (2017-2018)

23 nov. 2017 Montrer que F est le noyau d'une certaine application linéaire définie sur E ... montre l'inclusion réciproque).



Chapitre 4 Quelques types de raisonnement

5 1 Montrer une inclusion d’ensembles Soit A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E Pour montrer que A ? B on cosid´ere un ´el´ement quelconque de l’ensemble A et on montre qu’il est ´el´ement de B Exercice -Montrer que A ? A? B et A ?B ? A 5 2 Montrer une ´egalit´e d’ensembles

Comment montrer une inclusion d’ensembles ?

Montrer une inclusion d’ensembles Soit A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E. Pour montrer que A ? B, on cosid´ere un ´el´ement quelconque de l’ensemble A et on montre qu’il est ´el´ement de B. Exercice -Montrer que A ? A? B et A ?B ? A. 5.2.

Comment agir en matière d’inclusion ?

Agir en matière d’inclusion témoigne d’un engagement sociétal qui inscrit l’organisation en phase avec les enjeux du futur du travail. Cela repose sur une culture inclusive qui transparait dans les comportements individuels et collectifs et dans les modes de fonctionnement.

Qu'est-ce que la société inclusive ?

La société inclusive est appelée à envisager « les conditions de vie et les exigences de fonctionnement de façon à inclure ses différentes composantes et à leur permettre de vivre ensemble, avec les mêmes droits [18] [18] Jean-René Loubat, « Personnes en situation de handicap : de… ».

Comment montrer que les deux implications sont vraies ?

Par deux implications Il est fortement conseill´e de d´emontrer une ´equivalence P ?? Q en montrant que les deux implications P =? Q et Q =? P sont vraies. Exercice -R´esoudre x = ? 2?x. 4.2. Cas de plusieurs ´equivalences Pour montrer que P ?? Q ?? R, on n’est pas oblig´e de montrer 6 implications.

Planche d'exercices 37

Exercice 1.SoientEunK-e.v. et(f;g)?L(E)2.

a) Comparer ker(f○g)et kergpour l'inclusion. b) Comparer Im(f○g)et Imfpour l'inclusion. c) On suppose desormais queEest de dim. nie. En utilisantles deux questions precedentes, d) Dans le cas oufest bijective, montrer que rg(f○g)=rg(g). e) SiE1est un s.e.v. deE, comment peut-on exprimer ker(f?E1)? f) En appliquant le theoreme du rang a une application bien choisie sur un espace bien choisi, montrer que, siE1est un s.e.v deEalors : dimf(E1)=dimE1-dim(E1∩kerf):

Exercice 2.SoitEunK-e.v. etf?L(E).

a) Comparer, pour l'inclusion, kerfet kerf2. b) M^eme question pour Imfet Imf2. c) On suppose desormais queEde dimension nie. Montrer qu'on a kerf=kerf2?Imf= Imf2. d) On suppose ici que kerf=kerf2. Que dire d'unx?kerf∩Imf? Qu'en conclure sur la position relative des s.e.v. kerfet Imfdans ce cas. e) On suppose que kerf?Imf=E, montrer que kerf2=kerf. f) Donner un exemple d'endomorphismefd'un e.v.Ede votre choix, tel que kerfet Imfne sont pas supplementaires. Exercice 3.Soitf?L(E;F)etg?L(F;G)ouE;F;Gsont troisK-e.v. de dim. nie. a) Exprimer ker(g?Im(f))en fonction de ker(g)et Im(f). b) Justier que rg(g○f)=rg(g?Imf). c) En deduire que rg(g○f)=rg(f)-dim(kerg∩Im(f)). c) Montrer alors que rg(g○f)≥rg(f)+rg(g)-dim(F). Exercice 4(rang d'une somme).SoientEetFdeuxK-e.v. de dimension nie. Soit(f;g)?

L(E;F)2.

a) Comparer Im(f+g)a Imf+Img. b) Comparer dim(Imf+Img)avec rg(f)+rg(g). c) A l'aide desdeuxquestions precedentes, comparer rg(f+g)avec rg(f)+rg(g). d) Montrer que l'on a l'egalite rg(f+g)=rg(f)+rg(g)si, et seulement si, Im(f+g)=Imf?Img. Exercice 5(L'importante suite des noyaux iteres).SoitEun espace vectoriel de dim.net u?L(E). a) Pour touti?N, on noteKi=kerui, ouuidesigne la composee deupar lui-m^emeifois, comparerKietKi+1pour l'inclusion. b) Montrer qu'il existe un entierNtel que?i≥N;Ki=KN(la suite des noyaux est stationnaire a partir du rangN) et tel que?iPlanche d'exercices 37 En revanche, on n'a pas de comparaison en general deIm(f○g)et deImg. On ruse, on passe par le noyau et le theoreme du rang d) Sifest bijective deEdansE, alorsf?Imgest encore injective et Im(f?Img)=Im(f○g). Doncf?Imgest une bijection de Img→Im(f○g)d'ou l'egalite des dimensions : e) ker(f?E1)=kerf∩E1. f) On consideref?E1?L(E1;E), le theoreme du rang donne : dimE1=ker(f?E1)+Im(f?E1); et par les deux questions precedentes, on en deduit : dimE1=dim(kerf∩E1)+dimf(E1): Solution 2a) On a toujours kerf?kerf2. Car six?kerf, i.e.f(x)=0 alorsf2(x)= f(f(x))=f(0)=0 parflineaire, doncx?kerf2. b) On a toujours Imf2?Imf. Car six?Imf2on unz?Etel quex=f2(z)=f(f(z))donc en posanty=f(z)on a en particulierx=f(y)i.e.x?Imf. c) On a toujours kerf?kerf2et Imf?Imf2. En dim. nie, par theoreme du rang, si l'une des inclusions est une egalite alors dans l'autre les deux membres ont aussi m^eme dimension donc sont egaux. d) soitx?kerf∩Imf. On af(x)=0 ety=f(z). Doncf(f(z))=0 i.e.z?kerf2et donc par hyp.z?kerfi.e.f(z)=0 i.e.x=0. Donc kerf=kerf2?kerf∩Imf={0}. Comme par theoreme du rang, on a toujours dimkerf+dimImf=dimE, on conclut que kerfet Imfsont supplementaires i.e.E= kerf?Imf. e)Il est peut-^etre plus naturel de prouver queE=kerf?Imf?Imf=Imf2cf. correction pl. 17, ce qui donne la conclusion aussi. Mais suivons l'enonce :Soitx?kerf2alors f(x)?kerf. Mais doncf(x)?kerf∩Imf={0}. doncx?kerf. f) Prendre par ex. dansEde dim. 2. avec(e1;e2)une base,f?L(E1)tel quef(e1)=e2et f(e2)=0, alors kerf=Imf=vect(e2). Solution 32) a) Montrons que ker(g?Im(f))=ker(g)∩Im(f)(idem. cours ) Par equivalence : b) Montrons que Im(g?Im(f))=Im(g○f), ce qui montrera en part. l'egalite de leur dimension, et donc l'egalite de l'enonce.

Double inclusion :

?Soity?Im(gIm(f)). Par def.?x?Im(f); y=g(x). Mais commex?Im(f), on a unz?E, tel quex=f(z), et doncy=g(f(z))doncy?Im(g○f). ?Recip. Soity?Im(g○f). On a unz?Etel quey=g(f(z)). On posex=f(z).

On az?Im(f)ety=g(x)doncy=gIm(f)(x)et doncy?Im(g?Im(f)).c) Par b), il sut de montrer que rg(g?Im(f))=rg(f)-dim(ker(g)∩Im(f)).

Or si on considere l'applicationh=gIm(f)et qu'on applique le theoreme du rang ah?Im(f)→G, ce theoreme du rang dit que : dim(Im(f))=dim(ker(h))+rg(h) (?). Or par a) dim(ker(h))=dim(ker(g)∩Im(f))et rg(h)=rg(g○f)par b). Donc(?)donne la conclusion : dim(Im(f))=dim(kerg∩Im(f))+rg(g○f). d) Par theoreme du rang applique ag?F→G, on sait que dim(F)=dim(ker(g))+rg(g) (??). En mettant cette inegalite dans celle du c), on a la conclusion du d)2

Planche d'exercices 37

Solution 41) a) Par denition,?x?E,(f+g)(x)=f(x)+g(x). Soity?Im(f+g). On a unx?E;tel quey=(f+g)(x)=f(x)+g(x) (1). Orf(x)?Im(f)etg(x)?Im(g)donc par (1),y?Im(f)+Im(g).

Donc on a une inclusion : Im(f+g)?Imf+Img.

Idee {A priori en revanche, un element de Imf+Imgs'ecritf(x)+g(x′)avecx′a priori dierent dex, donc n'est pas necessairement dans Im(f+g) Validons cette idee par un contre-exemple :SoitEunK-e.v. qcq. Soitf=idEetg=-idE. Alorsf+g=0 l'application nulle. Donc Im(f+g)=Im(0)={0}.

Alors que Im(f)=Eet Im(g)=E, donc Im(f)+Im(g)=E.

On a alors Im(f+g)≠Im(f)+Im(g).

b)Par la formule des quatre dim. de Grassmann, dim(Imf+Img)=dimImf+dimImg- On voit aussi par ce qui precede que si Imf∩Img≠{0}alors cette inegalite est stricte. d) Sens?: on a donc rg(f+g)=rg(f)+rg(g) (H).

On veut montrer que Im(f)?Im(g)=Im(f+g)(C)

Or la conclusion(C)equivaut a montrer que⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Im(f)∩Im(g)={0} (1);

dim(Im(f))+dim(Im(g))=dim(Im(f+g)) (2). Or(2)est exactement la m^eme chose que l'hypothese(H). Reste a prouver(1). Or avec(H)dans c), lesinegalites ecrite aux c)sont des egalites, en particulier on a l'egalite : dim(Imf+Img)=dim(Im(f))+dim(Img), ce qui montre par Grassmann (cf. b)) que Im(f)∩Im(g)={0}d'ou(1)et la conclusion(C).

Sens?: on a Im(f+g)=Im(f)?Im(g).

En particulier dim(Im(f+g))=dim(Im(f))+dim(Im(g))(dimension d'une somme directe), et donc rg(f+g)=rg(f)+rg(g).Solution 5a) Soiti?N. Montrons queKi?Ki+1. Soitx?Ki. Alorsu(i+1)(x)=u(ui(x))et par def.ui(x)=0, donc commeuest lineaire u(ui(x))=u(0)=0. Doncx?Ki+1. b) (i) Il est exclu que?i?N,Ki≠Ki+1, sinon, vu le a), on aurait pour touti?N, dim(Ki+1)> dim(Ki)et la suite(dim(Ki))serait une suite d'entiers naturel strictement croissante, ce qui est absurde car elle est majoree par dim(E). (ii) Donc il existe uni?Ntel queKi=Ki+1. SoitN=min{i?N; Ki=Ki+1}. On sait donc que K

N=KN+1et que?i

Reste seulement a montrer que?i≥N,Ki=Ki+1.

Soiti≥N, notanti=N+kaveck≥0 : on veut montrer l'inclusionKi+1?Kipuisque l'autre est donnee par le a). Soitx?Ki+1. Par def.ui+1(x)=0 doncuN+k+1(x)=0, doncu(N+1)(uk(x))=0. Doncuk(x)?KN+1. Or par hyp.KN+1=KN, doncuk(x)?KN, doncuN+k(x)=0 donc x?KN+k=Ki. L'inclusionKi+1?Kiest bien demontree.c) Montrons que Im(ui+1)?Imui: soitx?Im(ui+1)on a unz?Etel quex=ui+1(z)doncx=ui(u(z))doncx?Im(ui). d) Pouri≥N, on a l'inclusion du c), et en outre l'egaliteKi=Ki+1donne, par theoreme du rang, dim(Im(ui))=dim(Im(ui+1).

Donc Im(ui)=Im(ui+1).e) Decomposition de Fitting : par theoreme du rang, on sait que dim(ker(uN))+dim(Im(uN))=

dim(E). Pour montrer la conclusion, il sut de montrer que ker(uN)∩Im(uN)={0}.

Soity?ker(uN)∩Im(uN).

Commey?Im(uN), on a unx?Etel quey=uN(x).

Commey?ker(uN), on auN(y)=0 doncu2N(x)=0, autrement ditx?ker(u2N). Mais par def. deN, ker(u2N)=ker(uN)doncx?ker(uN)doncy=uN(x)=0. On a bien montre que ker(uN)∩Im(uN)={0}et la conclusion.3quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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