Raisonnement 1 Différents types de raisonnements PDF

Pour montrer que pour tout entier naturel n

MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf

Raisonnement 1 Différents types de raisonnements

De même on peut démontrer que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 3 en considérant 3 cas : n congru à 0

Chapitre 1 : Raisonnement par récurrence

1 est un multiple de 3. Solution. On raisonne par récurrence. Pour n ? N on va montrer la propriété P(n) : ”4n. ? 1 est divisible par 3”.

TD 1 - Récurrence Ératosthène et Euclide

2. Le produit n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3. 3. Les entiers 2n + 1 et 3n + 2 1. Montrer que si n ? N n'est pas premier alors n admet un diviseur ...

Divisibilité dans Z. Nombres premiers.

Exercice n est un entier naturel. a=n3. ?n et b=2n3. + 3n2. + n. 1. Démontrer que a et b sont divisibles par 6. 2. Démontrer en utilisant un raisonnement

DIVISION EUCLIDIENNE - Exercices corrigés

Si a=3k+1 et b=3k'+3 alors a+b=3(k+k'+1) donc a+b est divisible par 3 Il s'agit de démontrer que le nombre N=2n(2n+2)(2n+4) est divisible par 48.

Devoir n°2 - 2016 corrigé

un entier relatif et A = n5 - n. Démontrer que A est divisible par 5. ... Ainsi pour tout entier naturel n n ? r (modulo 5) avec r?{0

Sans titre

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n

Eléments de base en arithmétique

3. Le produit de deux entiers impairs est-il toujours un nombre impair? 4. Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible

Feuille d'exercices o17 : Polynômes - CNRS

1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nXn+1 ?(n+ 1)Xn+ 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn(X+ 1)2 par (X+ 1)(X?2) 4 Déterminer pour quelles aleursv de nle polynôme (X?1)n?Xn+2X?1 est divisible par 2X3?3X2+X

(n-1)n(n+1) divisible par 3 - Forum FS Generation

Exercice 8 Montrer que 8n 2N : n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24; n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120: Exercice 9 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais egal a 3 Exercice 10 D emontrer que le nombre 7n + 1 est divisible

TD : Numération – Arithmétique - univ-angersfr

Exercice 16 Divisibilité par 11 et 25 1 Montrer qu'un entier (représenté en base 10) est divisible par 11 si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11 2 Déterminer a et b de manière que l'entier aabb10 soit un carré parfait

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut que la somme des chiffres qui le composent soit divisible par 3. je te laisse en déduire la démonstration à ton problème... en fait je t'induis un peu en erreur, l'explication est plus simple. donc...

Comment calculer la divisibilité ?

Par exemple, 4 divise 12 car 12 = 3 × 4 (ici k = 3). Il existe deux propriétés pour la divisibilité qui vont se retrouver dans les congruences : la transitivité et les combinaisons linéaires. si a divise b, alors par définition il existe un entier k tel que b = ka. Et comme b divise c, alors il existe un entier k’ tel que c = k’b.

Quels sont les propriétés de la divisibilité ?

Il existe deux propriétés pour la divisibilité qui vont se retrouver dans les congruences : la transitivité et les combinaisons linéaires. si a divise b, alors par définition il existe un entier k tel que b = ka.

Quelle est la différence entre la divisibilité et la congruence ?

La notion de congruence est étroitement liée à la divisibilité, ce pourquoi nous ferons des rappels sur la divisibilité et la division euclidienne avant de passer aux congruences. L’application la plus courante en exercice sur les congruences est la cryptographie, nous verrons cela dans les exercices en vidéo.

Raisonnement

Le raisonnement mathématique le plus courant est l"implication "directe", aussi appelé "raisonne-

ment déductif". On suppose une propriétéPvraie et on en déduit une propriétéQvraie, ce qu"on note

souventP=?Q. Certaines démonstrations utilisent des variantes très utiles du raisonnement déductif.

1 Différents types de raisonnements

1.1 Par disjonction des cas

Pour démontrer une propriété, il est parfois nécessaire d"étudier cas par cas. On peut par exemple étudier 2 cas :x= 0etx?= 0. Ce raisonnement est appelé "disjonction des cas". Pour démontrerP=?Q, on décompose ennsous-cas et on démontreP1=?Q,P2=?Q, ..., P n=?Q. Exemple : démontrer quen(2n+ 1)(7n+ 1)est divisible par2et3. Pour démontrer quen(2n+ 1)(7n+ 1)est divisible par2, on considère deux cas :nest pair etn est impair. Sinest pair, alorsn(2n+ 1)(7n+ 1)est divisible par2. Sinest impair, alors7nest impair et7n+ 1est pair, doncn(2n+ 1)(7n+ 1)est divisible par2. On a bien démontré en deux temps :P1=?Q,P2=?Q. De même, on peut démontrer quen(2n+ 1)(7n+ 1)est divisible par3en considérant 3 cas :n congru à0,1ou2modulo3.

1.2 Par élimination des cas

Il est parfois utile, quand le nombre de cas est fini, d"étudier toutes les possibilités et de ne retenir

que celles qui conviennent. Ce raisonnement très courant en arithmétique, qui est une variante de la

"disjonction des cas", est "l"élimination des cas".

Exemple : résoudre dansZ:xy= 1et3x+y=-4.

DansZ,3x+y=-4revient à étudier une infinité de cas : on ne peut pas faire un raisonnement

par "élimination des cas". Par contre, dansZ,xy= 1revient à étudier 2 cas : le cas :x= 1,y= 1et le

cas :x=-1,y=-1. On peut donc faire ici un raisonnement par "élimination des cas". Le premier donne dans la

deuxième équation4 =-4. Il n"est pas solution. Le deuxième est solution. L"équation a donc une

solution(x;y) = (-1;-1).

1.3 Par contraposée

Il est parfois plus pratique de démontrernonQ=?nonPplutôt queP=?Q.

Les deux implications sont équivalentes (nous l"admettrons ici) et l"utilisation de la première s"ap-

pelle le "raisonnement par contraposée". Exemple : démontrer que si2n-1est premier alorsnest premier. Il est équivalent de démontrer la contraposée : "sinn"est pas premier alors2n-1n"est pas premier". Sinn"est pas premier, il possède un diviseurddifférent de1et den. On peut écriren=kd. 1 Alors2n-1 = (2d-1)(2(k-1)d+ 2(k-2)d+...+ 1)et2n-1admet un diviseur2d-1autre que1et lui-même, donc2n-1n"est pas premier.

1.4 Par l"absurde

Pour démontrer qu"une propositionPest vraie, on peut supposer quePest fausse et on cherche une contradiction.

Exemple : le théorème d"Euclide qui affirme que l"ensemble des nombres premiers est infini. (Voir

en fin de document d"autres démonstrations). Quand on veut démontrer que l"implicationP=?Qest vraie, on suppose que cette implication est fausse. Ceci est logiquement équivalent (et nous l"admettrons ici) à supposer quePest vraie etQest

fausse. Ensuite, on cherche à aboutir à une contradiction. Ce raisonnement est appelé le "raisonnement

par l"absurde". Exemple :, démontrer que sixetysont des nombres premiers tels quex2-y2=pqavecpetq premiers supérieurs à2, alorsy= 2. Supposons quePest vraie :xetysont des nombres premiers tels que :x2-y2=pqavecpetq premiers supérieurs à2 etQest fausse : l"égalité "y= 2" fausse signifie queyest un nombre premier impair. Doncy2est aussi impair et commexest un nombre premier plus grand quey(sinonx2-y2serait

négatif, ce qui est impossible), alorsxest aussi impair de même quex2. Par conséquent,x2-y2est

pair. Orpetqsont des nombres premiers supérieurs à2, doncpetqsont impairs, etpq=x2-y2est impair.

On a une contradiction. On peut donc conclure que la propriété demandée est démontrée.

1.5 Par récurrence

Le "raisonnement par récurrence" est un raisonnement très spécifique. Soit une assertionP(n): le

raisonnement par récurrence sert à démontrer que, sous certaines conditions,P(n)est vraie pour tout

entiernsupérieur ou égal àn0.

Les conditions sont les suivantes :

1.P(n0)est vraie

2. SiP(n)est vraie alorsP(n+ 1)est vraie.

Exemple : démontrer que2n>5(n+ 1)pournentier supérieur ou égal à5.

La propriétéP(n)est "2n>5(n+ 1)".

1.n0= 5:P(5)est vrai car25>5(5 + 1).

2. SiP(n)est vraie, alors en multipliant par2:2(2n)>2[5(n+ 1)].

Or2.[5(n+ 1)] = 10n+ 2et10n+ 2>5(n+ 2)est équivalente àn >8/5. Ceci est donc vrai pour toutn≥5.

Donc2n+1>5(n+ 2), soitP(n+ 1)est vraie.

Conclusion : pour toutn≥5,P(n)est vraie.

1.6 Recheche de conjecture

Certaines questions sont données "ouvertes". On ne sait pas si la propriété est vraie ou fausse. Il

s"agit de se faire une opinion sur des exemples.

Si on pense que la propriété est fausse, il suffira de trouver un exemple qui le prouve, appelé

"contre exemple".

Si, après avoir traité de nombreux exemples, on pense que la propriété est vraie, on va la poser

comme "conjecture". Il restera à la démontrer. Exemple 1 : pour tout entiernnon multiple de5, le nombre6n+ 5est-il premier? Pour se forger une opinion, on prend des exemples : pourn= 1,2,3,4,6, le nombre6n+ 5est premier. Si on pose comme conjecture que la propriété est vraie, il faut la démontrer. Si on pense qu"elle peut être fausse, il suffit de trouver un contre exemple. Avec un peu de persévérance, on trouve pourn= 12, quad6n+ 5 = 77 = 7×11. On a donc démontré que la propriété est fausse. Exemple 2 : déterminer tous les entiersntels quen,n+ 2,n+ 6,n+ 8,n+ 12,n+ 14soient premiers. Pour se forger une opinion on prend des exemples :nn+ 2n+ 6n+ 8n+ 12n+ 14solution

248101416non

359111517non

5711131719oui

7913151921non

111317192325non

131519212527non

Il y a une solution pourn= 5. Que peut-on conjecturer pourn >13? On peut émettre la conjecture que5est la seule solution. Mais comment le prouver? L"observation des non solutions (en dehors de2qui est pair) fait apparaître des multiples de3et de5(pourn= 13,7,3). Cependant pour n= 11, on a seulement un multiple de5. L"idée, ici, est de conjecturer que "au moins un des nombres de la suite est multiple de5". La démonstration se fait facilement avec les congruences modulo5:n+6congru àn+1,n+8 congru àn+ 3,n+ 2etn+ 12congrus àn+ 2,n+ 14congru àn+ 4). Donc un des cinq nombres n,n+ 2,n+ 6,n+ 8,n+ 12,n+ 14est multiple de5.

2 Quelques idées et méthodes

Avant de choisir quel type de raisonnement peut convenir, il s"agit de savoir ce que l"on veutquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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