Corrigé Devoir surveillé n° 1 Terminale S spécialité
Pour montrer que pour tout entier naturel n
MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
De même on peut démontrer que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 3 en considérant 3 cas : n congru à 0
Chapitre 1 : Raisonnement par récurrence
1 est un multiple de 3. Solution. On raisonne par récurrence. Pour n ? N on va montrer la propriété P(n) : ”4n. ? 1 est divisible par 3”.
TD 1 - Récurrence Ératosthène et Euclide
2. Le produit n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3. 3. Les entiers 2n + 1 et 3n + 2 1. Montrer que si n ? N n'est pas premier alors n admet un diviseur ...
Divisibilité dans Z. Nombres premiers.
Exercice n est un entier naturel. a=n3. ?n et b=2n3. + 3n2. + n. 1. Démontrer que a et b sont divisibles par 6. 2. Démontrer en utilisant un raisonnement
DIVISION EUCLIDIENNE - Exercices corrigés
Si a=3k+1 et b=3k'+3 alors a+b=3(k+k'+1) donc a+b est divisible par 3 Il s'agit de démontrer que le nombre N=2n(2n+2)(2n+4) est divisible par 48.
Devoir n°2 - 2016 corrigé
un entier relatif et A = n5 - n. Démontrer que A est divisible par 5. ... Ainsi pour tout entier naturel n n ? r (modulo 5) avec r?{0
Sans titre
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Eléments de base en arithmétique
3. Le produit de deux entiers impairs est-il toujours un nombre impair? 4. Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible
Feuille d'exercices o17 : Polynômes - CNRS
1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nXn+1 ?(n+ 1)Xn+ 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn(X+ 1)2 par (X+ 1)(X?2) 4 Déterminer pour quelles aleursv de nle polynôme (X?1)n?Xn+2X?1 est divisible par 2X3?3X2+X
(n-1)n(n+1) divisible par 3 - Forum FS Generation
Exercice 8 Montrer que 8n 2N : n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24; n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120: Exercice 9 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais egal a 3 Exercice 10 D emontrer que le nombre 7n + 1 est divisible
TD : Numération – Arithmétique - univ-angersfr
Exercice 16 Divisibilité par 11 et 25 1 Montrer qu'un entier (représenté en base 10) est divisible par 11 si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11 2 Déterminer a et b de manière que l'entier aabb10 soit un carré parfait
Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?
pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut que la somme des chiffres qui le composent soit divisible par 3. je te laisse en déduire la démonstration à ton problème... en fait je t'induis un peu en erreur, l'explication est plus simple. donc...
Comment calculer la divisibilité ?
Par exemple, 4 divise 12 car 12 = 3 × 4 (ici k = 3). Il existe deux propriétés pour la divisibilité qui vont se retrouver dans les congruences : la transitivité et les combinaisons linéaires. si a divise b, alors par définition il existe un entier k tel que b = ka. Et comme b divise c, alors il existe un entier k’ tel que c = k’b.
Quels sont les propriétés de la divisibilité ?
Il existe deux propriétés pour la divisibilité qui vont se retrouver dans les congruences : la transitivité et les combinaisons linéaires. si a divise b, alors par définition il existe un entier k tel que b = ka.
Quelle est la différence entre la divisibilité et la congruence ?
La notion de congruence est étroitement liée à la divisibilité, ce pourquoi nous ferons des rappels sur la divisibilité et la division euclidienne avant de passer aux congruences. L’application la plus courante en exercice sur les congruences est la cryptographie, nous verrons cela dans les exercices en vidéo.
DIVISION EUCLIDIENNE - Exercices corrigés
Exercice 1
Le reste de la division euclidienne de m par 17 est 8, celui de n est 12. Déterminer le reste de la division euclidienne par 17 de m + n, m.n, m2. Méthode : - Ecrire, pour le diviseur b, les relations de la forme a = bq + r, 0 T r < b.- Effectuer les opérations demandés puis mettre en facteur le diviseur b pour faire apparaître
le reste. - Ecrivons la division euclidienne de m et n par 17. - Effectuons les calculs demandés puis factorisons 17 m + n = 17 ( q + q' ) + 20 = 17 ( q + q' ) + 17.1 + 3 = 17 ( q + q' +1 ) + 3 le reste de la division euclidienne de m + n par 17 est 3. m.n = 17 ( 17 qq' + 12 q + 8q' + 5 ) + 11 m2 = 17 ( 17 q2 + 16 q +3 ) + 13Exercice 2
Démontrer que, quels que soient les entiers relatifs a et b, le nombre n=ab(a2-b2) est
divisible par 3.On a n=ab(a2-b2)= ab(a+b)(a-b).
1er cas : a ou b est divisible par 3, (a=3k ou b=3k), alors n l'est aussi.
2ème cas : ni a ni b n'est divisible par 3. Donc a=3k+1 ou a=3k+2, b=3k+1 ou b=3k+2.
Si a=3k+1 et b=3k'+1 alors a-b=3(k-k') donc a-b est divisible par 3, donc n aussi. Si a=3k+1 et b=3k'+3 alors a+b=3(k+k'+1) donc a+b est divisible par 3, donc n aussi.Exercice 3
Démontrer que le produit de trois naturels pairs consécutifs est divisible par 48. Il s'agit de démontrer que le nombre N=2n(2n+2)(2n+4) est divisible par 48. Comme N=8n(n+1)(n+2), il suffit de prouver que n(n+1)(n+2)=N' est divisible par 6. Or6=3x2 et 3 et 2 sont premiers entre eux, donc il suffit de montrer que N' est divisible par 2 et
par 3.n, (n+1) et (n+2) sont trois entiers consécutifs. L'un d'eux , est nécessairement est divisible
par 2 (sinon cela voudrait dire que deux multiples de 2 sont séparés d'au moins quatre unités). De même l'un deux est divisible par 3. Donc n(n+1)(n+2) est divisible par 6.Exercice 4
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, n3-n est divisible par 6. b) Déterminer les entiers naturels n tels que n2-n soit divisible par 6. http://www.accesmad.org Date de version : septembre 2017 Auteur : Ivo Siansa 2/4 a) Pour tout entier naturel n, n3-n = (n-1) n (n+1). Le produit de deux entiers consécutifs est pair; le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 3. Puisque 2 et 3 sont premiers entre eux, n3-n est divisible par 6. b) La relation n2-n = n (n-1) montre que n2-n est pair. Par suite, n2-n est divisible par 6 si et seulement si n est congru à 0 ou à 1 modulo 3.Exercice 5
On considère la fraction
1n2 nn3 , n entier strictement positif.1. Prouver que tout diviseur commun d à 2n+1 et n3+n, est premier avec n.
2. En déduire que d divise n2+1, puis que d =1 ou d = 5.
3. Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles la fraction est irréductible ?
1. Soit d' un diviseur commun à d et n. comme d divise 2n+1, d' divise aussi 2n+1; et
comme d' divise n, il divise aussi 2n, donc aussi (2n+1)-2n, c'est-à-dire 1. d'où n et d sont premier entre eux.2. d divise n3+n = n(n2+1) ; d étant premier avec n, le théorème de Gauss permet de
conclure que d divise (n2+1). d divise (n2+1) et 2n+1, donc il divise la différence (n2+1) ± (2n+1) = n(n-2). D'après le théorème de Gauss, d est premier avec n donc il divise n-2. Divisant 2n+1 et n-2, d divise (2n+1) ± 2(n-2)=5. Donc d=1 ou d=5. Or, 2n+1 = 5k nécessite k impair, k=2p+1, d'où n = 5p+2.Exercice 6
Soit la fraction
1n17 2n
, où n est un nombre entier. Quelle doit être la forme générale de l'entier n pour que les deux termes de la fraction soient: a) divisibles par 3 ? b) divisibles par 5 ? c) divisibles par 15 ? Quelles doivent être les valeurs de l'entier n pour que la fraction soit un nombre entier? Etude de la diversité des 2 termes de la fraction. Pour faciliter le raisonnement, il est bon d'écrire la fraction sous la forme : 1n15 2 1n
15 1) 2(nFĄ
où apparaît la seule quantité (n + 1). Le nombre 15 est divisible par 3, 5 et 15. Par conséquent les deux termes de la fraction seront divisibles par 3, 5 et 15 si : a) n + 1 = 3k soit n = 3k - 1 (k > 0) b) n + 1 = 5k soit n = 5k - 1 (k > 0) c) n + 1 = 15k soit n = 15k - 1 (k > 0) Valeurs de n pour lesquelles la fraction est égale à un nombre entier. http://www.accesmad.org Date de version : septembre 2017 Auteur : Ivo Siansa 3/4Sur la forme donnée précédemment à la fraction, il apparaît que les nombres n répondant à
la question sont tels que (n + 1) divise 15. Les valeurs possibles pour n sont donc : n+l = 1 n = 0 et F= 17 n+l = 3 n = 2 et F= 7 n+l = 5 n = 4 et F= 5 n+1 = 15 n = 14 et F= 3Exercice 7
Les nombres a, b, c sont des nombres entiers appartenant à l'ensemble {0, 1,2,3, 4}. On représente par abc le nombre 52a + 5b + c.1° Montrer que
abc est divisible par 4 si, et seulement si, a + b + c est divisible par 4.2° Montrer que
abc est divisible par 6 si, et seulement si, a - b + c est divisible par 6. Remarque. Pour résoudre ces deux questions, le lecteur pourra s'inspirer de la méthode de démonstration des critères de divisibilité par 9 et par 11 dans le système décimal.1° Divisibilité par 4.
Le nombre abc peut s'écrire :
abc = 25a + 5b + c ou abc = (24a + 4b) + (a + b + c) or 24a + 4b est toujours divisible par 4. abc est donc divisible par 4 si, et seulement si, (a + b + c) est divisible par 4.2° Divisibilité par 6.
D'une façon analogue, écrivons :
abc = (24a + 6b)+ (a - b + c)24a + 6b est congru à zéro modulo 6, et par conséquent
abc est divisible par 6 si, et seulement si, (a - b + c) est divisible par 6.Exercice 8
Soit le nombre
34x5y, dont x est le chiffre des centaines et y le chiffre des unités. Indiquer toutes les façons possibles de choisir les chiffres x et y pour que ce nombre soit divisible par 36.
Pour qu'un nombre soit divisible par 36, il faut et il suffit qu'il soit divisible par 4 et par 9.
La divisibilité par 4 du nombre
34x5yexige que le nombre 5y soit lui-même divisible par 4, c'est-à-dire que y = 2 ou y = 6. Les nombres cherchés sont donc soit de la forme 34x52
, soit de la forme 34x56
- Nombre de la forme 34x52
Un tel nombre est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par
9, c'est-à-dire si : x + 14 = 9k k > 0, entier.
La seule valeur possible de k est k=2, qui conduit à x=4. Le nombre 34452 est donc divisible par 36.- Nombre de la forme 34x56. De la même façon, 34x56 est divisible par 9 si x + 18 = 9k k = 2 conduit à x = 0, donc au nombre 34056. k = 3 conduit à x = 9, donc au nombre 34956. Il existe donc trois nombres répondant à la question : 34 452, 34 056 et 34 956. http://www.accesmad.org Date de version : septembre 2017 Auteur : Ivo Siansa 4/4
Exercice 9
On suppose que n prend ses valeurs dans l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 3.Trouver les valeurs de n telles que la fraction
2-n4n 3n F
2Ą soit égale à un entier naturel.Il suffit de décomposer F en éléments simples, de façon à faire apparaître une partie entière
et une partie fractionnaire, plus simple que F. La fin du raisonnement s'effectue sur cette partie fractionnaire.Dans ce cas, la fraction F peut s'écrire :
2-n02103n 2-n
4n 3n F
2 La fraction F, écrite sous cette dernière forme, est égale à un nombre entier si 2n 20 est un nombre entier, c'est-à-dire si (n±2) divise 20. On peut donc avoir: n - 2 = 1 n = 3 et F = 39 n - 2 = 2 n = 4 et F = 32 n ± 2 = 4 n = 6 et F = 33 n ± 2 = 5 n = 7 et F = 35 n ± 2 = 10 n = 12 et F = 48 n - 2 = 20 n = 22 et F = 77 Il y a donc 6 valeurs de n qui répondent à la question.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] montrer que n(n+1)(n+2) est multiple de 3
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