Exercices 17 Arithmétique Corrigé
Montrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est un multiple de 3. Trois entiers naturels consécutifs s'écrivent : n n + 1 et n + 2 avec n ∈ N.
Arithmétique
Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1
MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Cours darithmétique
nombre N +2 est multiple de 3 et de même pour tout i compris entre 1 et k
Compilation dexercices darithmétique
Le but de l'exercice est de démontrer en utilisant trois méthodes différentes que pour tout entier naturel n
Eléments de base en arithmétique
Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6. Corrigé Il y a dans ces trois nombres consécutifs un multiple de 3
Corrigé de lenvoi 1
Puisque parmi trois entiers consécutifs il y a toujours un multiple de 3 on obtient que n3 − n est divisible 1)(q + 2)(r +3)=4pqr. Solution de l'exercice 4 ...
Les entiers naturels (c)
Donc pour tout n ∈ N
Notion darithmétique et lEnsemble des nombres entiers
(4+7+2+5) est un multiple de 3 et de 9 . - Le nombre 1628 est divisible par 2 + 1)(n + 2)(n + 3) ; 2n2 + 4n + 7 ; 20122n + 20092 ;. ( 2n + 5)( 2n + 6 ) n ...
Démontrer que pour tout entier naturel n
https://aidemaths.com/_exos/s4311.pdf
MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
SKOLIAD No. 131
Par exemple si vous croyez que la forme a 235 côtés
Les entiers naturels (c)
Exercice c.1 Si n est pair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k) de récurrence on ajoute 3(n2 +n) à n3 ?n qui est multiple de 3
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 16 ***. 2. Page 3. Montrer que n = 448...89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base 10) est un carré parfait. Correction ?.
GRANDES VALEURS DUNE FONCTION LIEE AU PRODUIT D
7 f(n) _ (x log logx)(l+o(1)) . n<x alors p divise n . Si p premier vérifie. Il est faux que w(n) < f(n) : f(210) = 3. THEOREME 2. L'ordre maximum de la
Word Pro - Arithmetique_TD_04_Correction.lwp
Dans trois entiers consécutifs il y a toujours un multiple de 2. c. Faux. Prendre n = 2. Exercice 12. 1. Montrer que le produit de quatre entiers positifs
Contributions à la théorie des corps et des
(2). On a de plus la formule. F.(~) 1-I01-I2H 1-L~Hs--.' (3) n ... Soit q un diviseur premier de net posons n = q~n x off n 1 n'est pas divisible par q.
FRANCOIS SIGRIST
(ii) n est un multiple de b. ATIYAH et TODD [2] oat donnd un diviseur Mde b ;ADAMS et WALKER. [1] ont ensuite ddmontrd que M b. En ddsignant par P(m) l'
Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012 1
1. Exercice pour les spécialistes ! n est un entier supérieur ou égal à 2. Montrer après factorisation
INF1130 SESSION H13 : SOLUTIONS du DEVOIR 2
Question 1 sur l'induction (30 points) a) Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entier n ? 0. (2n + 1)2 ? 1 est divisible par 8.
Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie II - AlloSchool
Tronc commun science biof Exercices corrigés d'arithmétique dans N 3 – 2Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2+ n + 6 m et n deux entiers naturels impairs m22+ n 2+ 6 = m2+ n 2 + 2 + 6 = m 1 + n2 1 + 8 m et n sont impairs donc m2 1 et n2 1 sont des multiples de 8
Suites - TD maths avec corrigé détaillé univ Lille 1
1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nXn+1 ?(n+ 1)Xn+ 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn(X+ 1)2 par (X+ 1)(X?2) 4 Déterminer pour quelles aleursv de nle polynôme (X?1)n?Xn+2X?1 est divisible par 2X3?3X2+X
TD : Numération – Arithmétique - univ-angersfr
Montrer que A est multiple de 3 c Trouver A sachant qu'il est multiple de 9 Exercice 9 Expliciter le système que nous utilisons pour compter les jours heures minutes secondes sous forme d'une formule Même question pour le système de mesure des angles : degré minute d'arc seconde d'arc Arithmétique Exercice 10 Crible d
TD : Exercices de logique - univ-angersfr
Exercice 21 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété P suivante pour n 2 n?? : P: Si l'entier ( n2 ? 1) n'est pas divisible par 8 alors l'entier n est pair 1 Définir la contraposé d'une implication A? B A et B représentant des assertions Démontrer l'équivalence à l'aide d'un tableau de
Feuille d'exercices o14 : Suites numériques
1 Montrer que l?R + ou l= +? 2 Montrer que si l1 alors (u n) tend vers +? 4 Montrer que si l= 1 on ne peut pas conclure ni sur la convergence de (u n) ni sur sa limite éventuelle Exercice 8[Critère de Cauchy] Soit (u n) une suite de réels strictement positifs On suppose que n ? u
Comment montrer que la suite est convergente ?
Montrer par un exemple que la suite (un)n??n??st pas n??cessairement croissante ni m??me croissante ?? partir d??n certain rang. Montrer que si la suite (un)n??est major??e, alors elle est convergente. Montrer que si la (un)n??n??st pas major??e, alors elle tend vers +?? ??Exercice3. ??udier la convergence des suites suivantes :
Qu'est-ce que la suite des nombres a1 a2 ?
3. La suite des nombres a1; a2; …; an est formée d'entiers positifs appelés les quotients partiels associés à la fraction continue. Vérifier sur les exemples et expliquer pourquoi le dernier quotient partiel an (obtenu par l'algorithme d'Euclide) est toujours supérieur ou égal à 2.
Comment montrer que deux suites r??elles convergent vers 0 ?
??Exercice3. Soient (un)n??et (vn)n??deux suites r??elles. Montrer que, si (u 2 n+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent vers 0. Montrer que, si (u 2 n+unvn+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent et donner leur limite. ??Exercice3.
Comment calculer les équivalences d'un polynôme ?
kXk, on a les équivalences : Ppair ??k?N, a 2k+1= 0 ??k?N, P(2k+1)(0) = 0. 2.Donner une équivalence analogue pour les polynômes impairs. 3.Montrer que Pest pair (resp. impair) si, et seulement si : ?k?N,P(k) = P(?k). La même condition est-elle alablev pour une fonction quelconque?
INF1130 SESSION H13 : SOLUTIONS du DEVOIR 2
Question 1 sur l'induction (30points)
a)Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entiern>0 (2n+ 1)21 est divisible par 8. Cas de base : sin= 0, alors (2n+1)21 = 0, et est divisible par 8 puisque0 est divisible par 8.
Hypothese d'induction : supposons que (2n+ 1)21 est divisible par 8. Il faut montrer que l'hypothese d'induction entra^ne que (2(n+ 1) + 1)21 est divisible par 8.On developpe d'abord l'expression :
(2(n+ 1) + 1)21 = (2n+ 3)21 = 4n2+ 12n+ 91 = ((4n2+ 4n+ 1)1) + 8n+ 8 = ((2n+ 1)21) + 8(n+ 1): La derniere expression est divisibe par 8, puisque ((2n+ 1)21) est divisible par 8, par hypothese d'induction, et 8(n+ 1) est un multiple de 8. b)Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entiern>1 13+ 23+:::+n3=n2(n+1)24
Cas de base : sin= 1, on a bien 13= 12(1 + 1)2=4:
Hypothese d'induction : supposons que 1
3+ 23+:::+n3=n2(n+ 1)2=4:Il
faut montrer que l'hypothese d'induction entra^ne que 13+23+:::+n3+(n+1)3=
(n+ 1)2(n+ 2)2=4: On applique l'hypothese d'induction a la partie gauche de l'egalite a mon- trer : 13+ 23+:::+n3+ (n+ 1)3=n2(n+ 1)2=4 + (n+ 1)3
= (n+ 1)2(n2=4 +n+ 1) = (n+ 1)2(n2+ 4n+ 4)=4 = (n+ 1)2(n+ 2)2=4: c)Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entiern>11:1! + 2:2! +:::+n:n! = (n+ 1)!1:
Cas de base : sin= 1, on a bien 1:1! = (1 + 1)!1:
Hypothese d'induction : supposons que 1:1!+2:2!+:::+n:n! = (n+1)!1: Il faut montrer que l'hypothese d'induction entra^ne que 1:1!+2:2!+:::+n:n!+ (n+ 1)(n+ 1)! = (n+ 2)!1: 1 On applique l'hypothese d'induction a la partie gauche de l'egalite a mon- trer :1:1! + 2:2! +:::+n:n! + (n+ 1)(n+ 1)! = (n+ 1)!1 + (n+ 1)(n+ 1)!
= (n+ 1)!(n+ 2)1 = (n+ 2)!1: Question 2 sur les codes correcteurs d'erreurs (20points) On s'interesse aux cha^nes de bits de longueurn1. Pour une taillendonnee, on divise les cha^nes en deux sous-ensembles :Bn, lesbonnescha^nes, contiennent un nombre pair de bits a `1'; etMn, lesmauvaises, contiennent un nombre im- pair de bits a `1'. par exemple, 000101002B8et 0111002M6. a)Donnez une denition recursive des ensemblesBnetMn, sachant queB1= f0getM1=f1g.Pourn2, on a les 4 regles suivantes :
Six2Mn1alorsx12Bn:
Six2Bn1alorsx02Bn:
Six2Mn1alorsx02Mn:
Six2Bn1alorsx12Mn:
b)Ladistance de Hammingd(x;y) entre deux cha^nes de bitsxetyde lon- gueurnest le nombre de positions ou les cha^nes sont dierentes. Par exemple d(0101;1100) = 2 etd(0111;1100) = 3. L'enonce suivant est-il vrai ou faux?Justiez.
Six;y2B4etx6=y;alorsd(x;y) = 2:
Les elements deB4sont les suivants :
B Il est vrai que pourd(x;y) = 2 pour presque chaque pairex;y, sauf pour x= 0000 ety= 1111. Donc l'enonce est faux.Question 3 sur la suite deFibonacci(25points)
On s'interesse a la suite deFibonaccidenie recursivement comme suit : f0= 1;f1= 1;fn=fn1+fn2;8n>2:
a)Donnez les 10 premiers termes de cette suite.1;1;2;3;5;8;13;21;34;55
2 b)Montrez que le nombre1+p5 2 satisfait l'equationx2=x+ 1. [(1 + p5)=2]2= (1 + 2p5 + 5)=4 = (2 + 2p5)=4 + 4=4 = (1 +p5)=2 + 1 c)Utilisez le principe d'induction pour montrer quefn>(1+p5 2 )n2;8n>3:Cas de base : sin= 3, on a l'inequation 3>(1+p5
2 ) qui est certainement vraie carp5<5. Sin= 4, comme (1+p5 2 )2= (1+p5)=2+1>3+1, on a bien5>(1+p5
2 )2. Hypothese d'induction generalisee : supposons quefi>(1+p5 2 )i2pour tous les entiers 3in. Il faut montrer que l'hypothese d'induction entra^ne que f n+1>(1+p5 2 )n1. Les calculs suivants seront plus clairs si on remplace l'expression ( 1+p5 2 ) par un symbole,apar exemple. On a alors : f n+1=fn+fn1 > a n2+an3par hypothese d'induction, =an3(a+ 1) =an3(a2) par la partie b), =an1: d)Ordonnez, selon leur taux de croissance, les fonctions :fn,n2, 2net (3=2)n.Justiez.
n2;(3=2)n;fn;2n
Ceci provient du fait que
32<1+p5 2 <2 et quefn< an, qui se demontre de faon analogue a la preuve donnee dans la partie c). Question 4 sur les suites denies recursivement (20points) Considerons la suite numerique denie recursivement, comme suit : f n=(
2;sinest impair
(f(n2 ))2;sinest pair a)Donnez les 10 premiers termes de cette suite.2;4;2;16;2;4;2;64;2;4
3 b)Utilisez le principe d'induction pour montrer quefn62n;8n>1: Cas de base : sin= 1, on afn= 2 et 2n= 2, doncf121est verie . Hypothese d'induction generalisee : supposons quefi2ipour tous les entiers 1in. Il faut montrer que l'hypothese d'induction entra^ne que f n+12n+1. Sin+ 1 est impair, alorsfn+1= 2 et puisquen1, on a bienfn+1= 2 2 n+1. Sin+ 1 est pair, alors (f(n+12 ))2(2(n+1)=2)2= 2n+1, par hypothese d'induction. Question 5 sur les relations d'equivalence (25points)Sur l'ensembleA=f1;13
;127 ;14 ;3;136 ;2;29 ;94 ;5g, on considere la relation binaire suivante :8x;y2A:xRy() 9z2Z;xy
= 3z a)Tracez le graphe de la relationR. [Aide pour la correction : disposez vospoints autour d'un cercle imaginaire.]!"!#$%"!#&"&"!#'"(#'"!#&)"$"$#("*"b)Montrez queRest une relation d'equivalence surA.
Re exivite :xRxest toujours vrai carx=x= 1 = 30. Symetrie : SupposonsxRy, alors il existeztel quex=y= 3z, doncy=x= 3z. Commezest entier,zest aussi un entier, ce qui entra^ne queyRx. Transitivite : SupposonsxRyetyRz. On a doncx=y= 3zety=z= 3z0ou zetz0sont des entiers. Calculonsx=z: x=z= (x=y)(y=z) = (3z)(3z0) = 3z+z0: Commezetz0sont des entiers, leur somme est aussi un entier, doncxRz. 4 c)Donnez les classes d'equivalence deAdenies parR. f1;13 ;127 ;3g f 14 ;136 ;94 g f2;29 g f5gQuestion 6 sur les graphes (30points)
a)Pour chacune des listes suivantes, determinez s'il existe un graphe simple ayant cette liste comme liste de degres. Donnez la reponse pour chaque liste avec oui ou non. 1. (2 ;3;3;3;4;4);Non. Le nombre de sommets de degre impair doit ^etre pair. 2. (1 ;2;3;4);Non. Le degre d'un sommet ne peut pas ^etre superieur ou egal au nombre de sommets. 3. (1 ;1;1;3);Oui. 4. (1 ;3;3;3);Non. Chacun des sommets de degre 3 devrait ^etre adjacent a tout autre sommet y compris le sommet de degre 1. 5. (1 ;2;2;3;4;4);Oui. 6. (1 ;3;3;4;5;5);Non. Chacun des sommets de degre 5 devrait ^etre relie a tout autre sommet y compris le sommet de degre 1. 7. (2 ;2;2);Oui. 8. (2 ;2;4;4):Non. Le degre d'un sommet ne peut pas ^etre superieur ou egal au nombre de sommets. b)Combien d'ar^etes un graphe contient-il si sa liste de degres est (2;2;2;4;4)?Tracez un tel graphe.
Le graphe contient 7 ar^etes. Voici un exemple d'un tel graphe :c)Utilisez le principe d'induction pour montrer que le nombre d'ar^etes dansKn
(le graphe complet d'ordren) est egal an(n1)2 pour toutn>1. Cas de base : sin= 1, alors le graphe n'a pas d'ar^ete etn(n1)=2 = 0. Hypothese d'induction : supposons que le nombre d'ar^etes dansKnest n(n1)=2. Il faut montrer que le nombre d'ar^etes dansKn+1est (n+ 1)(n)=2. 5 Considerons le grapheKn+1. Commen1, le graphe a au moins 2 sommets, et le degre de chaque sommet estn. Eacons un sommet, ainsi que lesnar^etes qui lui sont rattachees. Le graphe resultant estKnqui comporte, par hypothese d'induction,n(n1)=2 ar^etes. Donc le nombre d'ar^etes deKn+1est : n(n1)=2 +n= (n2n+ 2n)=2 = (n2+n)=2 = (n+ 1)(n)=2: 6quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] montrer que n(n 1)(n 2)(n 3) est divisible par 24
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