Exercices de mathématiques

Exercices 17 Arithmétique Corrigé

Montrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est un multiple de 3. Trois entiers naturels consécutifs s'écrivent : n n + 1 et n + 2 avec n ∈ N.

Arithmétique

Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1

MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf

Cours darithmétique

nombre N +2 est multiple de 3 et de même pour tout i compris entre 1 et k

Compilation dexercices darithmétique

Le but de l'exercice est de démontrer en utilisant trois méthodes différentes que pour tout entier naturel n

Eléments de base en arithmétique

Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6. Corrigé Il y a dans ces trois nombres consécutifs un multiple de 3

Corrigé de lenvoi 1

Puisque parmi trois entiers consécutifs il y a toujours un multiple de 3 on obtient que n3 − n est divisible 1)(q + 2)(r +3)=4pqr. Solution de l'exercice 4 ...

Notion darithmétique et lEnsemble des nombres entiers

(4+7+2+5) est un multiple de 3 et de 9 . - Le nombre 1628 est divisible par 2 + 1)(n + 2)(n + 3) ; 2n2 + 4n + 7 ; 20122n + 20092 ;. ( 2n + 5)( 2n + 6 ) n ...

Démontrer que pour tout entier naturel n

https://aidemaths.com/_exos/s4311.pdf

MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf

SKOLIAD No. 131

Par exemple si vous croyez que la forme a 235 côtés

Les entiers naturels (c)

Exercice c.1 Si n est pair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k) de récurrence on ajoute 3(n2 +n) à n3 ?n qui est multiple de 3

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 16 ***. 2. Page 3. Montrer que n = 448...89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base 10) est un carré parfait. Correction ?.

GRANDES VALEURS DUNE FONCTION LIEE AU PRODUIT D

7 f(n) _ (x log logx)(l+o(1)) . n<x alors p divise n . Si p premier vérifie. Il est faux que w(n) < f(n) : f(210) = 3. THEOREME 2. L'ordre maximum de la

Word Pro - Arithmetique_TD_04_Correction.lwp

Dans trois entiers consécutifs il y a toujours un multiple de 2. c. Faux. Prendre n = 2. Exercice 12. 1. Montrer que le produit de quatre entiers positifs

Contributions à la théorie des corps et des

(2). On a de plus la formule. F.(~) 1-I01-I2H 1-L~Hs--.' (3) n ... Soit q un diviseur premier de net posons n = q~n x off n 1 n'est pas divisible par q.

FRANCOIS SIGRIST

(ii) n est un multiple de b. ATIYAH et TODD [2] oat donnd un diviseur Mde b ;ADAMS et WALKER. [1] ont ensuite ddmontrd que M b. En ddsignant par P(m) l'

Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012 1

1. Exercice pour les spécialistes ! n est un entier supérieur ou égal à 2. Montrer après factorisation

INF1130 SESSION H13 : SOLUTIONS du DEVOIR 2

Question 1 sur l'induction (30 points) a) Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entier n ? 0. (2n + 1)2 ? 1 est divisible par 8.

Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie II - AlloSchool

Tronc commun science biof Exercices corrigés d'arithmétique dans N 3 – 2Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2+ n + 6 m et n deux entiers naturels impairs m22+ n 2+ 6 = m2+ n 2 + 2 + 6 = m 1 + n2 1 + 8 m et n sont impairs donc m2 1 et n2 1 sont des multiples de 8

Suites - TD maths avec corrigé détaillé univ Lille 1

1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nXn+1 ?(n+ 1)Xn+ 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn(X+ 1)2 par (X+ 1)(X?2) 4 Déterminer pour quelles aleursv de nle polynôme (X?1)n?Xn+2X?1 est divisible par 2X3?3X2+X

TD : Numération – Arithmétique - univ-angersfr

Montrer que A est multiple de 3 c Trouver A sachant qu'il est multiple de 9 Exercice 9 Expliciter le système que nous utilisons pour compter les jours heures minutes secondes sous forme d'une formule Même question pour le système de mesure des angles : degré minute d'arc seconde d'arc Arithmétique Exercice 10 Crible d

TD : Exercices de logique - univ-angersfr

Exercice 21 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété P suivante pour n 2 n?? : P: Si l'entier ( n2 ? 1) n'est pas divisible par 8 alors l'entier n est pair 1 Définir la contraposé d'une implication A? B A et B représentant des assertions Démontrer l'équivalence à l'aide d'un tableau de

Feuille d'exercices o14 : Suites numériques

1 Montrer que l?R + ou l= +? 2 Montrer que si l1 alors (u n) tend vers +? 4 Montrer que si l= 1 on ne peut pas conclure ni sur la convergence de (u n) ni sur sa limite éventuelle Exercice 8[Critère de Cauchy] Soit (u n) une suite de réels strictement positifs On suppose que n ? u

Comment montrer que la suite est convergente ?

Montrer par un exemple que la suite (un)n??n??st pas n??cessairement croissante ni m??me croissante ?? partir d??n certain rang. Montrer que si la suite (un)n??est major??e, alors elle est convergente. Montrer que si la (un)n??n??st pas major??e, alors elle tend vers +?? ??Exercice3. ??udier la convergence des suites suivantes :

Qu'est-ce que la suite des nombres a1 a2 ?

3. La suite des nombres a1; a2; …; an est formée d'entiers positifs appelés les quotients partiels associés à la fraction continue. Vérifier sur les exemples et expliquer pourquoi le dernier quotient partiel an (obtenu par l'algorithme d'Euclide) est toujours supérieur ou égal à 2.

Comment montrer que deux suites r??elles convergent vers 0 ?

??Exercice3. Soient (un)n??et (vn)n??deux suites r??elles. Montrer que, si (u 2 n+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent vers 0. Montrer que, si (u 2 n+unvn+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent et donner leur limite. ??Exercice3.

Comment calculer les équivalences d'un polynôme ?

kXk, on a les équivalences : Ppair ??k?N, a 2k+1= 0 ??k?N, P(2k+1)(0) = 0. 2.Donner une équivalence analogue pour les polynômes impairs. 3.Montrer que Pest pair (resp. impair) si, et seulement si : ?k?N,P(k) = P(?k). La même condition est-elle alablev pour une fonction quelconque?

Exo7

Arithmétique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de 1, est un carré parfait.

Montrer que 8n2N;7j42n+22n+1.

B. (Commencer par majorer la somme des chiffres den=a0+10a1:::+10pap.) 2.

Montrer que 8n2N;(n+1)jCn2n.

1)x+y=56

x_y=1052)x^y=xy x_y=723)x_yx^y=243: premiers entre eux. 1. Montrer que 8n2N;un+1un1u2n= (1)net en déduire que8n2N;un^un+1=1. 2. Montrer que 8n2N;8m2N;um+n=umun+1+um1unet en déduire queum^un=um^npourmetn non nuls. comme par exemple(3;4;5)). 1. Montrer que l"on peut se ramener au cas où x^y^z=1. Montrer alors que dans ce cas,x,yetzsont de plus deux à deux premiers entre eux. 2. On suppose que x,yetzsont deux à deux premiers entre eux. Montrer que deux des trois nombresx,yet zsont impairs le troisième étant pair puis quezest impair. On suppose dorénavant quexetzsont impairs etyest pair. On posey=2y0,X=z+x2 etZ=zx2 3. Montrer que X^Z=1 et queXetZsont des carrés parfaits. 4. En déduire que l"ensemble des triplets p ythagoriciensest l"ensemble des triplets de la forme (d(u2v2);2duv;d(u2+v2)) oùd2N,(u;v)2Z2, à une permutation près des deux premières composantes. 2 Exercice 15***Résoudre dans(N)2l"équation d"inconnue(x;y):åxk=1k!=y2.

1 (par exemple, 37:1=37, 37:2=74, 37:3=111).

1.u2n,

2.u3n,

3.u3nu2n+un.

Soit s(n)la somme des chiffres denen base 10.

(a)

Montrer que la suite

s(n+1)s(n) n>1est bornée. Cette suite converge-t-elle ? (b) Montrer que pour tout naturel non nul n, 16s(n)69(1+logn). (c) Montrer que la suite (nps(n))n>1converge et préciser sa limite. que l"exposant depdans la décomposition den! en facteurs premiers est E(np )+E(np

2)+E(np

3)+:::

2. P arcombien de 0 se termine l"écriture en base 10 de 1000! ? 1. Montrer que, pour tout entier ktel que 16k6p1,pdiviseCkp. 3

2.Montrer que 8a2N,apa(p)(par récurrence sura).

phrases sont équivalentes mais en Sup, on sait trop peu de choses en arithmétique pour pouvoir fournir une

démonstration raisonnablement courte de la réciproque). Correction del"exer cice1 NSoitnun entier naturel. n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n4+6n3+11n2+6n+1= (n2+3n+1)2; avecn2+3n+1 entier naturel.Correction del"exer cice2 N1.Soit nun entier relatif. Sinest pair,net 5n3sont pairs de même que 5n3+net 2 divise 5n3+n. Sinest impair,net 5n3sont impairs et de nouveau 5n3+nest pair. Finalement :8n2Z;2j(5n3+n). Sinest multiple de 3,net 5n3sont multiples de 3 de même que 5n3+n.

Sinest de la forme 3p+1, alors

5n2+1=5(3p+1)2+1=45p2+30p+6=3(9p2+10p+2)

et 5n2+1 est divisible par 3. Il en est de même de 5n3+n=n(5n2+1). Sinest de la forme 3p+2, 5n2+1=5(3p+2)2+1=45p2+60p+21=3(9p2+20p+7)et 5n2+1 est divisible par 3. Il en est de même de 5n3+n=n(5n2+1).

Finalement,8n2Z;3j(5n3+n).

Enfin, 5n3+nest divisible par 2 et 3 et donc par 23=6. On a montré que :8n2Z;6j(5n3+n). (Tout ceci s"exprime beaucoup mieux à l"aide de congruences. Par exemple : sin1(3), 5n2+15:12+1=

60(3))

2. 4

2nsignifie(:::((42)2)2:::)2. Etudions la suite de ces élévations au carré successives modulo 7. 420=4

est dans 4+7Z. 421=16 est dans 2+7Z. 422=162= (7k+2)2=4+7k0est dans 4+7Z... Montrons par récurrence surpentier naturel que :8p2N, 422pest dans 4+7Zet 422p+1est dans 2+7Z.

C"est vrai pourp=0.

Soitp>0. Si il existe deux entiers relatifsk2petk2p+1tels que 422p=4+7k2pet 422p+1=2+7k2p+1, alors : 4

22p+2= (422p+1)2= (2+7k2p+1)2=4+7(4k2p+1+7k22p+1)24+7Z;

puis 4

22p+3= (422p+2)2= (4+7k2p+2)2=16+28k2p+2+49k22p+2=2+7(2+4k2p+2+7k22p+2)22+7Z:

On a montré par récurrence que sinest pair, 42nest dans 4+7Zet sinest impair, 42nest dans 2+7Z.

Ensuite 2

20=2 est dans 2+7Zpuis, pourn>1, 22n=22:2n1=42n1est dans 4+7Zsin1 est pair

ou encore sinest impair et est dans 2+7Zsinest pair. Ainsi, quensoit pair ou impair, 42n+22n+1 est dans(4+2)+1+7Z=7+7Z=7Zet on a montré que :

8n2N;7j42n+22n+1:Correction del"exer cice3 NSoientm,netptrois entiers naturels etr1,r2etr3les restes des divisions euclidiennes dem,netppar 8. Alors,

5 m

2+n2+p2= (8q1+r1)2+(8q2+r2)2+(8q3+r3)22r21+r22+r23+8Z:

Doncm2+n2+p2est dans 7+8Zsi et seulement sir21+r22+r23est dans 7+8Z.

Commer1,r2etr3sont des entiers entre 0 et 7, il suffit de vérifier que les sommes de trois carrés d"entiers

compris au sens large entre 0 et 7 ne sont pas dans 7+8Z. Or, 0

2=028Z, 12=121+8Z, 22=424+8Z, 32=921+8Z, 42=1628Z, 52=2521+8Z,

2=3624+8Zet 72=4921+8Z. Donc, les carrés des entiers de 0 à 7 sont dans 8Zou 1+8Zou 4+8Z.

Enfin,

1+4+4=921+8Z;4+4+4=1224+8Z:

Aucune de ces sommes n"est dans 7+8Zet on a montré qu"un entier de la forme 8n+7 n"est pas la somme de

trois carrés.Correction del"exer cice4 NSoitn2N. En développant(1+p2)npar la formule du binôme de NEWTONet en séparant les termes oùp2

apparaît à un exposant pair des termes oùp2 apparaît à un exposant impair, on écrit(1+p2)nsous la forme

a n+bnp2 oùanetbnsont des entiers naturels non nuls.

Mais alors(1p2)n=anbnp2 et donc

(1)n= (1+p2)n(1p2)n= (an+bnp2)(anbnp2) =a2n2b2n ou finalement, ((1)nan)an+(2(1)n+1bn)bn=1

où(1)nan=uet 2(1)n+1bn=vsont des entiers relatifs. Le théorème de BEZOUTpermet d"affirmer quean

etbnsont premiers entre eux.Correction del"exer cice5 NPosons(1+p3)n=an+bnp3 oùanetbnsont des entiers naturels. On a alors(1p3)n=anbnp3 et donc

(1+p3)2n+1+(1p3)2n+1=2a2n+12N: Mais de plus,1<1p3<0 et donc, puisque 2n+1 est impair,1<(1p3)2n+1<0. Par suite,

2a2n+1<(1+p3)2n+1<2a2n+1+1;

ce qui montre queE((1+p3)2n+1) =2a2n+1= (1+p3)2n+1+(1p3)2n+1et montre déjà queE((1+p3)2n+1)est un entier pair. Mais on en veut plus :

(1+p3)2n+1+(1p3)2n+1= (1+p3)((1+p3)2)n+(1p3)((1p3)2)n = (1+p3)(4+2p3)n+(1p3)(42p3)n =2n((1+p3)(2+p3)n+(1p3)(2p3)n) Montrons enfin que(1+p3)(2+p3)n+(1p3)(2p3)nest un entier, pair. Mais,(1+p3)(2+p3)nest de la formeA+Bp3 oùAetBsont des entiers naturels et donc, puisque(1p3)(2p3)n=ABp3, on a finalement(1+p3)(2+p3)n+(1p3)(2p3)n=2AoùAest un entier. Donc,(1+p3)(2+p3)n+(1p3)(2p3)nest un entier pair, ou encore(1+p3)2n+1+(1p3)2n+1=

E((1+p3)2n+1)est un entier divisible par 2n+1.

Correction del"exer cice6 NSoitnun entier naturel non nul. On notes(n)la somme de ses chiffres en base 10 (voir l"exercice19 ). Si

n=a0+10a1+:::+10kakoùk2N, 06ai69 pour 06i6ketak6=0, alors s(n) =a0+:::+ak69(k+1)69(E(logn)+1)69(logn+1): Donc, A=s(44444444)69(log(44444444)+1)69(4444log(105)+1) =9(4444:5+1) =9:22221=199989: Puis,B=s(A)61+5:9=46, puiss(B)6s(39) =12. Donc, 16s(B)612. D"autre part, on sait que modulo 9 :s(B)BA=44444444. Enfin, 44444444= (9:443+7)444474444(9). De plus, 7 2(9)puis 724(9)puis 73281(9)et donc 74444= (73)1481:7(13)1481:77(9).

Finalement, 16s(B)612 etC7(9)ce qui imposeC=7.Correction del"exer cice7 NOn a trois possibilités :p23Z,p23Z+1 oup23Z1.

Dans les deux derniers cas,p221+3Zet 8p2+129+3Z=3Z. Mais alors, 8p2+1 est premier et multiple de 3 ce qui impose 8p2+1=3. Cette dernière égalité est impossible.

Il ne reste donc que le cas oùpest premier et multiple de 3, c"est-à-direp=3 (en résumé,pet 8p2+1 premiers

impliquentp=3). Dans ce cas, 8p2+1=73 et 8p21=71 sont effectivement premiers.Correction del"exer cice8 N1.Pour 1 6k6n,kCkn=nCk1n1. Donc, siketnsont premiers entre eux, puisquendivisekCkn, le théorème

de GAUSSpermet d"affirmer quendiviseCkn. 2. De même, (n+1)Cn12n=nCn2nmontre que(n+1)divisenCn2net, puisquenet(n+1)sont premiers entre

eux (d"après BEZOUTpuisque(n+1)n=1),(n+1)diviseCn2nd"après le théorème de GAUSS.Correction del"exer cice9 N1.Posons d=x^yetm=x_y.ddivisem=105=3:5:7 mais, puisqueddivisexety,ddivise aussi

x+y=56=23:7. Donc,ddivise 105^56=7 et nécessairementd=1 oud=7.

1er cas.d=1 fournit, puisquem=105,xy=md=105.xetysont donc les solutions de l"équation

256X+105=0 qui n"admet pas de solutions entières.

2ème cas.d=7 fournitxy=7:105=735.xetysont donc les solutions de l"équationX256X+735=0

qui admet les solutions 21 et 35. Réciproquement, 21+35=56 et 21_35=3:5:7=105.S=f(21;35);(35;21)g. 2. On pose x=dx0ety=dy0avecx0ety0premiers entre eux etd=x^y. Le système s"écritx0y0=1 dx

0y0=72

ou encorex0=y0+1 d(y0+1)y0=72. En particulier,y0ety0+1 sont deux diviseurs consécutifs de 72. 72= 2

3:32admet 4:3=12 diviseurs à savoir 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Doncy0est élément de

f1;2;3;8g.

1er cas.y0=1 fournitd=721:2=36 puisy=36:1=36 etx=y+d=72. Réciproquement, 7236=36=

36^72 et 36_72=72.

2ème cas.y0=2 fournitd=12,y=24,x=36 qui réciproquement conviennent.

3ème cas.y0=3 fournitd=6,y=18,x=24 qui réciproquement conviennent.

4ème cas.y0=8 fournitd=1,y=8,x=9 qui réciproquement conviennent.

S=f(9;8);(24;18);(36;24);(72;36)g:

3.ddivisemet doncddivise 243=35etd2 f1;3;9;27;81;243g. On pose alorsx=dx0,y=dy0avecx0et

0premiers entre eux.

1er cas.

Si d=1 on ax0y01=243 ou encorex0y0=244 ce qui fournit les possibilités (en n"oubliant pas quex0ety0sont premiers entre eux) : x

0=1,y0=244 puisx=1 ety=244,

0=4,y0=61 puisx=4 ety=61,

0=61,y0=4 puisx=61 ety=4,

0=244,y0=1 puisx=244 ety=1 qui réciproquement conviennent.

2ème cas.

Si d=3, on ax0y0=81+1=82 ce qui fournit les possibilités : x

0=1,y0=82 puisx=3 ety=246,

0=2,y0=41 puisx=6 ety=123,

0=41,y0=2 puisx=123 ety=6,

0=82,y0=1 puisx=246 ety=3 qui réciproquement conviennent.

3ème cas.

Si d=9 on ax0y0=27+1=28 ce qui fournit les possibilités : x

0=1,y0=28 puisx=9 ety=252,

0=4,y0=7 puisx=36 ety=63,

xquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Comment montrer que la suite est convergente ?

Qu'est-ce que la suite des nombres a1 a2 ?

Comment montrer que deux suites r??elles convergent vers 0 ?

Comment calculer les équivalences d'un polynôme ?

Arithmétique

Montrer que 8n2N;7j42n+22n+1.

Montrer que 8n2N;(n+1)jCn2n.

1)x+y=56

1 (par exemple, 37:1=37, 37:2=74, 37:3=111).

1.u2n,

2.u3n,

3.u3nu2n+un.

Soit s(n)la somme des chiffres denen base 10.

Montrer que la suite

2)+E(np

3)+:::

2.Montrer que 8a2N,apa(p)(par récurrence sura).

Sinest de la forme 3p+1, alors

5n2+1=5(3p+1)2+1=45p2+30p+6=3(9p2+10p+2)

Finalement,8n2Z;3j(5n3+n).

60(3))

2nsignifie(:::((42)2)2:::)2. Etudions la suite de ces élévations au carré successives modulo 7. 420=4

C"est vrai pourp=0.

22p+2= (422p+1)2= (2+7k2p+1)2=4+7(4k2p+1+7k22p+1)24+7Z;

22p+3= (422p+2)2= (4+7k2p+2)2=16+28k2p+2+49k22p+2=2+7(2+4k2p+2+7k22p+2)22+7Z:

Ensuite 2

20=2 est dans 2+7Zpuis, pourn>1, 22n=22:2n1=42n1est dans 4+7Zsin1 est pair

8n2N;7j42n+22n+1:Correction del"exer cice3 NSoientm,netptrois entiers naturels etr1,r2etr3les restes des divisions euclidiennes dem,netppar 8. Alors,

2+n2+p2= (8q1+r1)2+(8q2+r2)2+(8q3+r3)22r21+r22+r23+8Z:

2=028Z, 12=121+8Z, 22=424+8Z, 32=921+8Z, 42=1628Z, 52=2521+8Z,

2=3624+8Zet 72=4921+8Z. Donc, les carrés des entiers de 0 à 7 sont dans 8Zou 1+8Zou 4+8Z.

Enfin,

1+4+4=921+8Z;4+4+4=1224+8Z:

Mais alors(1p2)n=anbnp2 et donc

2a2n+1<(1+p3)2n+1<2a2n+1+1;

E((1+p3)2n+1)est un entier divisible par 2n+1.

1er cas.d=1 fournit, puisquem=105,xy=md=105.xetysont donc les solutions de l"équation

256X+105=0 qui n"admet pas de solutions entières.

2ème cas.d=7 fournitxy=7:105=735.xetysont donc les solutions de l"équationX256X+735=0

0y0=72

3:32admet 4:3=12 diviseurs à savoir 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Doncy0est élément de

1er cas.y0=1 fournitd=721:2=36 puisy=36:1=36 etx=y+d=72. Réciproquement, 7236=36=

36^72 et 36_72=72.

2ème cas.y0=2 fournitd=12,y=24,x=36 qui réciproquement conviennent.

3ème cas.y0=3 fournitd=6,y=18,x=24 qui réciproquement conviennent.

4ème cas.y0=8 fournitd=1,y=8,x=9 qui réciproquement conviennent.

S=f(9;8);(24;18);(36;24);(72;36)g:

3.ddivisemet doncddivise 243=35etd2 f1;3;9;27;81;243g. On pose alorsx=dx0,y=dy0avecx0et

0premiers entre eux.

1er cas.

0=1,y0=244 puisx=1 ety=244,

0=4,y0=61 puisx=4 ety=61,

0=61,y0=4 puisx=61 ety=4,

0=244,y0=1 puisx=244 ety=1 qui réciproquement conviennent.

2ème cas.

0=1,y0=82 puisx=3 ety=246,

0=2,y0=41 puisx=6 ety=123,

0=41,y0=2 puisx=123 ety=6,

0=82,y0=1 puisx=246 ety=3 qui réciproquement conviennent.

3ème cas.

0=1,y0=28 puisx=9 ety=252,

0=4,y0=7 puisx=36 ety=63,