69 - APPLICATIONS DES MATHÉMATIQUES `A DAUTRES
Tout ceci est exploitable aussi dans l'exposé 41 ? Suites arithmétiques Demi-vie : T = ln(2)/? durée durant laquelle la moitié des noyaux radioactifs ...
A quoi servent les suites numériques ?
On note (Un ) la suite numérique correspondant à l'évolution de son compte. Il existe une infinité de phénomènes de la vie de tous les jours qui peuvent ...
Les Suites Numériques
On notera cn = c(n) la valeur de c en n et on confondra généralement l'application c et l'ensemble de ses valeurs noté (cn)n?N. cn s'appelle le terme de rang n
Mathématiques pour la Physique - Traitement Numérique
Une suite numérique réelle notée (un)
Utilisation des applications dans la vie courante - I - Codage dun
Ainsi tout entier naturel plus petit que 2n ? 1 peut se coder par une suite de n 0 ou 1. Les informaticiens parlent de “bits”. Un champ de 8 bits constitue un
Application des mathématiques en économie
1-1- Définition : Une suite numérique est une application de N dans R et n? R fait Nombreux sont les phénomènes de la vie courante qui peuvent être ...
Transformation numérique et vie au travail
11 sept. 2015 multiplication du recours des entreprises à des travailleurs indépendants évitant ainsi l'application des règles étatiques
Suites numriques
Visualiser les situations exprimées à l'aide de suites non numériques Modélisation et étude de situations issues de la vie courante à l'aide de suites.
Mathématiques financières
nécessaires en mathématiques financières (suites numériques et probabilités). Dans certain cas une suite est une application d'une partie A de dans :.
Applications numériques vie quotidienne des Sourds et
9 oct. 2018 Applications numériques vie quotidienne des Sourds et apprentissages scolaires. La nouvelle revue de l'adaptation et de la scolarisation
Exo7 - Cours de mathématiques
L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels complexes ) Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10 Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n
Cours I : SUITES NUMERIQUES - univ-angersfr
Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels 1/ Définition Définition : Une suite un est une application de l’ensemble ? ou une partie de ? dans ? qui à chaque élément n de ? associe un unique élément noté un appelé terme d’indice n de la suite un 2/ Comment définir une suite a/ Définition explicite
Cours 5: Une introduction aux suites numériques
Une suite est la donnée d’une série de nombres dans un ordre précis En général on note u0 le premier terme de la suiteu1 le deuxième u2 le troisième etc En?n on note un le terme général et on note (un)n2N l’ensemble des termes de la suite En les choisissant les uns après les autres on peut construire
Quels sont les objectifs de l’étude des suites numériques?
L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes ...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne.
Quels sont les avantages des suites numériques pour les mathématiques ?
Bien entendu, au sein même des mathématiques, nous avons souvent besoin des suites numériques pour toute observation d’un phénomène discret.
Comment calculer la suite numérique ?
n ? Un = 150 + 20 + 20 + … + 20 = 150 + 20n. ( n termes tous égaux à 20) On note (Un ) la suite numérique correspondant à l’évolution de son compte. Le 1er mois( mois 1)il a 150 euros sur son compte et il en retire 20 par mois !
Quelle est la différence entre une suite et une fonction numérique ?
Restons sur cette idée: une suite est une fonction à variable entière. Généralement, les fonctions (à variable réelle) sont notées , où est justement la variable réelle. Pour indiquer le fait que la variable devient entière, on prend pour convention d’utiliser plutôt la lettre . Ainsi, désigne une suite numérique.
Enseignement de mathématiques
Classe de première STMG
Suites numériques
Contexte pédagogique
Objectifs
Visualiser les situations exprimées à l'aide de suites non numériques pour réaliser un travail sur les variables, inconnues, utilisation de symboles, égalités.Introduire le couple (
n ; unMettre en évidence, à partir de différentes situations, différents modèles possibles (suite
arithmétique puis géométrique) pour la description d'une même série de données.Utiliser l
e tableur (construction de nuages de points) ou la calculatrice (programmation d'algorithmes de calculs des termes successifs de suites arithmétiques et géométriques) pour comparer l'évolution de suit es arithmétiques et géométriques.Ém ettre des conjectures sur le modèle le plus adapté à la description d'un phénomène
observé pour des prévisions à plus ou moins long terme par à partir de différents outils.
Extrait du programme de l'enseignement de mathématiques du cycle terminal STMG Bulletin officiel n° 6 du 9 février 2012
Contenus
Capacités attendues Commentaires
Suites
Modes de génération
d' une suite numérique.Sens de variation.
Définition par
récurrence d es suites arithmétiques et des suites géométriques. Modéliser et étudier une situation si mple à l'aide de suites.Mettre en oeuvre un algorithme ou
utiliser un tableur pour obtenir une liste de termes d'une suite, calculer un terme de rang donné.Réaliser et ex ploiter une
représentation graphique des termes d'une suite.Déter
m iner le sens de variation des suites arithmétiques et des suitesgéométriques, à l'aide de la raison. Il est important de varier les outils et les approches.
L' utilisation du tableur et la mise en oeuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier et de représenter en particulier des suites définies par une relation de récurrence (calcul des termes, variations).L'expression du terme général d'une
suite arith métique ou géométrique est au programme de terminale afin de privilégier l'approche algorithmique en première.On se limite aux suites géométriques
à termes strictem
ent positifs.MEN/DGESCO-IGEN Juin 2013
Ressources pour le lycée technologique
éduSCOL
Les intentions
Introduction par des suites non numériques à motifs croissantsAnalyse de la relation entre le numéro d'une figure donnée dans une suite et une quantité qui lui
est associée ; représentation par un ensemble de couples, un tableau de valeurs, un nuage de points. Modélisation et étude de situations issues de la vie courante à l'aide de suites Recherche d'un modèle correspondant à une situation donnée dans le but de faire des prévisions, en variant les approches, graphique et numérique.Exemples d'activités
Activité 1 - Suites non numériques à motifs croissantsIntroduction
Les situations exprimées à l'aide de suites non numériques possèdent une dimension visuelle qui rend
les relations qu'elles représentent moins abstraites.Les élèves sont amenés à analyser la relation entre le numéro d'une figure dans une suite et une
quantité qui l ui est associée et à la représenter par un ensemble de couples, un tableau de valeurs, un nuage de points.Ils formulent alors la généralisation du procédé à l'aide de symboles rendus nécessaires pour désigner
les figures et les quantités qui y sont associées.Le couple (n ; u
n ) apparaît alors naturellement : à chaque figure numérotée, on associe la quantité correspondante. Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 2 sur 12 Mathématiques - Classe de première STMG - Suites numériques Quelques exemples pour mettre en évidence l'apport de l'étude de telles suitesExemple1
Il s'agit d'étudier différentes relations possibles entre quatre figures données Considérons, la suite non numérique suivante construite à partir d'allumettes1. Étudier la relation entre le numéro de la figure et le nombre d'allumettes qui la composent.
Compléter la table de valeurs qui correspond à cette relation.Numéro de la figure 1 2 3 4
Nombre d'allumettes qui la composent 4
2. Étudier la relation entre le numéro de la figure et son périmètre (chaque allumette a une
longueur de 1 unité). Compléter la table de valeur correspondant à cette nouvelle relation.Numéro de la figure 1 2 3 4
Périmètre 4
3. Étudier la relation entre le numéro de la figure et son aire (chaque allumette représente 1
unité d'aire). Compléter la table de valeurs correspondant à cette nouvelle relationNuméro de la figure 1 2 3 4
Aire 1
Exemple 2
Il s'agit d'émettre une conjecture sur l'expression du terme général d'une suite pour anticiper le
nombre de carrés qui composeront une figure de rang donné. 1. Co m bien y aura-t-il de carrés dans la figure 8 ? Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 3 sur 12 Mathématiques - Classe de première STMG - Suites numériques2. Compléter la table de valeurs suivant pour les 5 premières figures
Numéro de la figure Nombre de carrés qui la composent 1 2 3 4 5 8 n u nLe prolongement de la table à partir de la relation observée permet de prédire 22 carrés pour la figure 8.
Cette conjecture est validée par la construction de la figure 8.Modifier la suite de figure précédente pour qu'elle corresponde à la relation décrite par ce tableau de valeurs.
Numéro de la figure Nombre de carrés qui la composent 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 4 sur 12 Mathématiques - Classe de première STMG - Suites numériques Activité 2 - Modéliser et étudier une situation simple à l'aide de suitesExemple 1
Le tableau suivant donne le nombre d'utilisateurs d'Internet en France (en millions) pour les années
2004 à 2011.On souhaite étudier la croissance du nombre d'utilisateurs d'Internet en France.
Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Nombre d'utilisateurs en millions 22 24 27 28 31 33 35 38 On utilise un tableur pour analyser les données.1. Représenter le nuage de points correspondant à la série de données précédente.
2. Au vu d
u graphique, quel type de modèle pourrait-on proposer ?3. En observ
a nt le contenu de la colonne C, justifier le choix de modéliser l'évolution du nombre d'internautes par une suite arithmétique (u n ) de raison 2,3 et de premier terme u 0 = 22.4. Représenter dans le même graphique le nuage de points de la suite u
n Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 5 sur 12 Mathématiques - Classe de première STMG - Suites numériques5. Observer la feuille de calcul suivante.
Peut-on proposer un autre modèle pour l'évolution du nombre d'internautes en France ?À la lecture des résultats de la colonne C, on choisit d'introduire la suite géométrique (v
n ) de premier terme v 0 = 22 et de raison 1,08. 6. Co m pléter la colonne E de la feuille de calcul suivante puis représenter dans un même graphique, le nuage de points de la série de données et celui de la suite (v nÀ l'aide du tableur, on obtient :
7. Pour chacun des modèles, donner le nombre d'Internautes prévu pour l'année 2015 puis pour
l'année 2021. Quel modèle semble être le plus adapté à la description du phénomène ? Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 6 sur 12 Mathématiques - Classe de première STMG - Suites numériques Exemple 2 - Des suites en mathématiques financièresEmprunt à annuité constante
Un peu de théorie
Un emprunt est une somme mise à la disposition de l'emprunteur par une banque ou un organisme financier. Le capital emprunté peut être remboursé par une suite d'annuités constantes.Chaque annuité est constituée par le remboursement d'une partie du capital (amortissement) et des
intérêts calculés sur le capital restant dû.Notons C
n le capital restant dû le mois n ; m l'annuité payée le mois n, I n la part des intérêts dans cette annuité et A n la part correspondant à l'amortissement du capital. On admettra que le taux mensuel correspondant à un taux annuel t pour des petites valeurs de t, s'approxime par 12t1. Compléter le tableau suivant appelé tableau d'amortissement du crédit
Mois n Capital restant dû C nIntérêts I
nAmortissement A
nMensualité m
0 C 0 00 12CtI 00 ImA m 1 C 1 = C 0 A 0 k - 1 k C k = I k = A k = m k + 12. Comment obtient-on le coût total du crédit ?
Application
Pour acheter une voiture, un particulier sollicite un prêt auprès de sa banque d'un montant de 10 000 €.
Le conseillé financier lui propose un crédit au taux annuel de 7 %. Il est prêt à rembourser 500 € par mois.Quelle sera la durée de son crédit ?
1. Construire un tableau d'amortissement sur le tableur, pour répondre à la question posée.
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