Injection surjection
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f ainsi définie est-elle injective? surjective? 2. Montrer que l'application g: [-11]-[1
Université Aboubekr Belkaid!Tlemcen Module: Mathématiques 1
1Dre Année Sciences et technologies Le corrigé. Exercice 01: Soient f Exercice 03: Les applications suivantes sont elles injectives surjectives
MÉTHODES ET EXERCICES
Du mal à démarrer ? 282. Corrigés des exercices. 283 b) En déduire que pour tout θ ∈ R
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Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
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Corrigés. Corrigé 1.5.1. (1) (n = 2) ∧ (n pair) ⇒ n non premier. On suppose Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
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Applications linéaires matrices
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L'application exp : C ? Cz ?? ez est-elle injective ? surjective ? Correction ? Vidéo ? [000197] Exercice 7 On considère quatre ensembles A
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Corrigés des exercices Injectivité surjectivité ou bijectivité d'une application Théorème de la bijection pour les fonctions numériques
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Exercice 1 : [corrigé] Soit E F et G trois ensembles et f : E ?F et g : F ?G deux applications Démontrer que 1 Si g ? f est injective alors f est
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Exercice II 3 Ch2-Exercice3 Soit f : R+ ? R définie par f (x) = x Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que
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est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier
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Exercice 1 On considère les applications f et g définies par (e) Grâce à l'analyse réelle (théorème de la bijection) on voit que f ? g : R ? R est
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R3 est donc une fonction mais pas une application Elle n'est donc pas injective ou surjective Pour R4 : A chaque employé « e » on fait correspondre un et un
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Exercice 3 On consid`ere quatre ensembles ABC et D et des applications f : A ? B g : B ? C h : C ? D Montrer que : g ? f injective ? f injective
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1 fainsi définie est-elle injective ? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit : Corrigé Fiche de TD 2 fix) = 3x+ 5
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Corrigés des exercices cette application est injective car f et g le sont est une bijection puis s'inspirer de la question 1 (b) Exercice 6
Injection surjection bijection - e Math
Exercice 5 Soit f : R !C; t 7!eit Changer les ensembles de départ et d’arrivée a?n que (la restriction de) f devienne bijective Indication H Correction H Vidéo [000200] Exercice 6 Exponentielle complexe Si z=x+iy (x;y)2R2 on pose ez =ex eiy 1 Déterminer le module et l’argument de ez 2 Calculer ez+z0;ez;e z;(ez)n pour n2Z
Corrigé du TD no 6 - univ-toulousefr
Comme g est bijective elle admet une application réciproqueg?1: G ?Fquiestelleaussibijective Maisalorsl’application g?1 (g f) est bijective car elle est la composée de deux bijections D’autre part le produit de composition étantassociatifnousavons g?1 (g f) = (g?1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8
TD 9 Bijections et fonctions réciproques usuelles - heb3org
Exercice 19 : Une statue mesure 2m et est posée sur un socle de 25dm Prenons une observatrice de 153cm A quelle distance doit-elle se placer du socle a?n de voir la statue avec un angle maximal? Exercice 20 : Fonctions de Transfert Dans cet exercice la lettre j désigne le nombre complexe i 1
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Exercice 5 : Soient f: E !G et g: G !G deux applications montrer que : g f injective )f injective; g f surjective )g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g f est bijective et que (g f) 1 = f 1 g 1 Exercice 6 : Soit f: E !G une application Montrer que : f est injective si et seulement si pour tout A ˆE;f 1(f(A)) = A
Comment montrer que f est bijective ?
Soit f: E ? F. Montrer que f est bijective si et seulement si, pour tout A de P(E) , on a f(¯ A) = ¯ f(A) ( ¯ A désigne le complémentaire de A ). Exercice 28 - Fonction définie sur l'ensemble des parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soient E un ensemble, P(E) l'ensemble de ses parties, et A et B deux parties de E.
Comment montrer qu'un complémentaire est bijective ?
Exercice 27 - Bijectivité et passage au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f: E ? F. Montrer que f est bijective si et seulement si, pour tout A de P(E) , on a f(¯ A) = ¯ f(A) ( ¯ A désigne le complémentaire de A ).
Comment déduire une bijection ?
Exercice 14 - Une bijection de N2 dans N [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f: N2 ? N ?, (n, p) ? 2n(2p + 1). Démontrer que f est une bijection. En déduire une bijection de N2 sur N. Exercice 15 - Un exemple avec de l'arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Comment calculer la bijection réciproque ?
On définit f: P(E) ? P(A) × P(B) X ? (X ? A, X ? B). Montrer que f est injective si et seulement si A ? B = E . Montrer que f est surjective si et seulement si A ? B = ? . Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit bijective. Donner dans ce cas la bijection réciproque.
CPP - 2013/2014 Algèbre générale I
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o6Exercice 1 On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2-→Rg:R-→R2 (x,y)?-→xy x?-→(x,x2)1. Les applicationsf◦getg◦fsont données par
f◦g:R-→Rg◦f:R2-→R2 x?-→f(g(x)) =f(x,x2) =x3(x,y)?-→g(f(x,y)) =g(xy) = (xy,x2y2)2. (a) L"applicationfest-elle injective? En d"autres termes, est-il possible de retrouver un couple
(x,y)à partir de la donnée de son image parf, à savoir le produitxy? La réponse est évidemment non, mais pour préciser cela il convient de fournir un exemple. On peut prendre celui-ci : f(1,1) =f(2,1/2) = 1 ce qui montre quefn"est pas injective.(b) L"applicationfest-elle surjective? Autrement dit, est-il vrai que tout élémentt?Rest l"image
parfd"un certain couple? Pour répondre positivement à cette question il suffit de remarquer que f(1,t) =t doncfest surjective. (c) L"applicationgest-elle injective? Oui, car la donnée du couple(x,x2)permet de retrouverx.Pour répondre à la question en se servant de la définition, on se donne deux réelsxetx?tels
queg(x) =g(x?), c"est-à-dire tels que (x,x2) = (x?,x?2) Alorsx=x?par identification. Ainsi la relationg(x) =g(x?)implique quex=x?, ce qui est la définition de l"injectivité deg.(d) L"applicationgest-elle surjective? Non, car(1,0)n"admet pas d"antécédent parg: en effet, si
c"était le cas, alors on aurait trouvé un réelxtel que(x,x2) = (1,0), c"est-à-dire tel quex= 1
etx2= 0, ce qui est impossible.(e) Grâce à l"analyse réelle (théorème de la bijection), on voit quef◦g:R→Rest bijective, en
particulier elle est injective et surjective.(f) Commefn"est pas injective,g◦fn"est pas injective. En effet, il suffit de récupérer le même
exemple que pourf: g(f(1,1)) =g(f(2,1/2)) = (1,1)(g) Commegn"est pas surjective,g◦fn"est pas surjective. En effet,(1,0)n"admet pas d"antécédent
parg, donc n"admet pas non plus d"antécédent parg◦f. 1Exercice 2
On considère l"applicationfdéfinie par
f:R-→R x?-→x(1-x)1. Soityun réel fixé. On souhaite déterminerf-1({y}), c"est-à-dire l"ensemble des antécédents dey
par la fonctionf, ou encore l"ensemble des solutionsxde l"équationf(x) =y. Or cette équation s"écrit x(1-x) =y c"est-à-dire x2-x+y= 0
Il s"agit d"une équation de degré2enx, dans laquelleyest vu comme une constante. Le discriminant
estΔ = 1-4y. On distingue alors trois cas possibles : (a)Δ>0, c"est-à-direy <1/4. Alors l"équation a deux solutions qui sont 1 + ⎷1-4y2 et1-⎷1-4y2 (b)Δ = 0, c"est-à-direy= 1/4. Alors l"équation a une solution unique :x= 1/2. (c)Δ<0, c"est-à-direy >1/4. Alors l"équation n"admet pas de solution.La fonctionfn"est pas injective, car les réels strictement inférieurs à1/4admettent deux antécé-
dents : par exemplef(0) =f(1) = 0. La fonctionfn"est pas surjective, car les réels strictementsupérieurs à1/4n"admettent aucun antécédent. La valeury= 1/4est particulière car c"est le seul
réel qui admet un unique antécédent parf.2. On peut prendreI=]- ∞,1/2]etJ=]- ∞,1/4]. Alors le théorème de la bijection montre que la
fonction]- ∞,1/2]→]- ∞,1/4]donnée par la même formule quefest une bijection.Exercice 3
Soientfetgles applications deNdansNdéfinies par : f(n) = 2n, g(n) =?n21. (a) L"applicationfn"est pas surjective. En effet,1n"admet pas d"antécédent parf, car il n"existe
pas d"entier naturelntel que2n= 1. Commefn"est pas surjective, elle n"est pas bijective. (b) L"applicationgn"est pas injective. En effet,g(0) =g(1) = 0.2. (a) L"applicationf◦gn"est pas injective, cargn"est pas injective. En effet,f(g(0)) =f(g(1)) = 0.
Par conséquent,f◦gn"est pas bijective. On notera par ailleurs quef◦gn"est pas surjective,
carfn"est pas surjective. (b) L"applicationg◦f:N→Nest donnée par g(f(n)) =g(2n) =?2n2 =?n? Or icinest un entier naturel, donc?n?=n. Autrement dit,g◦fest l"application identité deNdansN. Elle est donc bijective.
Exercice 4
Soit l"applicationh:N2→Ndéfinie par
h:N2-→N (p,q)?-→2p3q 21. On se demande sihest injective. Soient(p,q)et(a,b)deux éléments deN2tels queh(p,q) =h(a,b),
alors nous avons 2 p3q= 2a3bPar unicité de la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, on en déduit que
p=aetq=b.2. On se demande sihest surjective. Par unicité de la décomposition d"un nombre en produit de
facteurs premiers, il est clair que5ne peut pas s"écrire sous la forme2p3qavecpetqentiers naturels. Donc5n"appartient pas à l"image deh, c"est-à-dire quehn"est pas surjective.Exercice 5
Soitf:R→Rl"application définie par :
f(x) =?2x?2?x? -11. Pour vérifier que l"applicationfest bien définie, il faut vérifier que le dénominateur2?x? -1ne
s"annule jamais. Or?x?est un entier relatif, donc2?x?est un entier relatif pair. Il n"est donc jamais
égal à1, d"où le résultat.
(a) Soitxun réel quelconque. Alors?2x?et2?x? -1sont des entiers relatifs. Donc leur quotient est un nombre rationnel, autrement ditf(x)appartient àQ. Or il existe des nombres réels qui sont irrationnels (par exemple⎷2), doncfn"est pas surjective. (b) L"applicationfn"est pas injective : en effetf(0) =f(1/3) = 0.2. Soitkun entier relatif. Alors?k?=ket?2k?= 2k, donc
f(k) =2k2k-1.On en déduit que :
f(Z) =?2k2k-1|k?Z?Exercice 6
L"applicationk:R2→R2définie par :
k:R2-→R2 (x,y)?-→(x+y,xy)1. L"applicationkn"est pas injective. En effet,k(0,1) =k(1,0).
2. L"applicationkn"est pas surjective, car(0,1)n"admet pas d"antécédent parf. En effet, si(0,1)
avait un antécédent, alors on aurait trouvé un couple(x,y)?Rtel quex+y= 0etxy= 1, c"est-à-dire tel quey=-xetxy= 1. En particulier on aurait-x2= 1, ce qui est impossible carx est un réel.Exercice 7
Soitf:E→Fetg:F→Gdeux applications.
1. On suppose queg◦fest injective. Nous allons montrer quefest injective. Soientxetx?deux
éléments deEtels que
f(x) =f(x?) alors g(f(x)) =g(f(x?)) doncx=x?par injectivité deg◦f. 32. On suppose queg◦fest surjective. Nous allons montrer quegest surjective. Soity?G, on veut
montrer queyadmet un antécédent parg. On sait, par surjectivité deg◦f, qu"il existex?Etel
que g(f(x)) =y Mais alors,f(x)est un antécédent deyparg, ce qu"on voulait.3. On suppose queg◦fetgsont bijectives. Commegest bijective, elle admet une application
réciproqueg-1:G→F, qui est elle aussi bijective. Mais alors, l"application g -1◦(g◦f)est bijective, car elle est la composée de deux bijections. D"autre part, le produit de composition
étant associatif, nous avons
g -1◦(g◦f) = (g-1◦g)◦f= idF◦f=f doncfest bijective.Exercice 8
Siaetbsont deux réels, on notefa,bl"application f a,b:R-→R x?-→ax+b1. Déterminer pour quelles valeurs de(a,b)la fonctionfa,best injective, pour quelles valeurs elle est
surjective.2. Lorsquefa,best bijective, déterminer son application réciproque.
3. Montrer que sifa,b=fc,dalors(a,b) = (c,d).
4. Interpréter le résultat précédent en termes d"injectivité d"une certaine application.
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