Injection surjection
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f ainsi définie est-elle injective? surjective? 2. Montrer que l'application g: [-11]-[1
Université Aboubekr Belkaid!Tlemcen Module: Mathématiques 1
1Dre Année Sciences et technologies Le corrigé. Exercice 01: Soient f Exercice 03: Les applications suivantes sont elles injectives surjectives
MÉTHODES ET EXERCICES
Du mal à démarrer ? 282. Corrigés des exercices. 283 b) En déduire que pour tout θ ∈ R
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Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu'elle devienne bijective ? Solution : Elle est injective car x1
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
Corrigés. Corrigé 1.5.1. (1) (n = 2) ∧ (n pair) ⇒ n non premier. On suppose Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
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Corrigé du TD no 6
Or ici n est un entier naturel donc ⌊n⌋ = n. Autrement dit
Applications linéaires matrices
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L'application exp : C ? Cz ?? ez est-elle injective ? surjective ? Correction ? Vidéo ? [000197] Exercice 7 On considère quatre ensembles A
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R3 est donc une fonction mais pas une application Elle n'est donc pas injective ou surjective Pour R4 : A chaque employé « e » on fait correspondre un et un
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1 fainsi définie est-elle injective ? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit : Corrigé Fiche de TD 2 fix) = 3x+ 5
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Corrigés des exercices cette application est injective car f et g le sont est une bijection puis s'inspirer de la question 1 (b) Exercice 6
Injection surjection bijection - e Math
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Corrigé du TD no 6 - univ-toulousefr
Comme g est bijective elle admet une application réciproqueg?1: G ?Fquiestelleaussibijective Maisalorsl’application g?1 (g f) est bijective car elle est la composée de deux bijections D’autre part le produit de composition étantassociatifnousavons g?1 (g f) = (g?1 g) f = id F f = f doncf estbijective Exercice 8
TD 9 Bijections et fonctions réciproques usuelles - heb3org
Exercice 19 : Une statue mesure 2m et est posée sur un socle de 25dm Prenons une observatrice de 153cm A quelle distance doit-elle se placer du socle a?n de voir la statue avec un angle maximal? Exercice 20 : Fonctions de Transfert Dans cet exercice la lettre j désigne le nombre complexe i 1
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Comment montrer que f est bijective ?
Soit f: E ? F. Montrer que f est bijective si et seulement si, pour tout A de P(E) , on a f(¯ A) = ¯ f(A) ( ¯ A désigne le complémentaire de A ). Exercice 28 - Fonction définie sur l'ensemble des parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soient E un ensemble, P(E) l'ensemble de ses parties, et A et B deux parties de E.
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Comment déduire une bijection ?
Exercice 14 - Une bijection de N2 dans N [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f: N2 ? N ?, (n, p) ? 2n(2p + 1). Démontrer que f est une bijection. En déduire une bijection de N2 sur N. Exercice 15 - Un exemple avec de l'arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Comment calculer la bijection réciproque ?
On définit f: P(E) ? P(A) × P(B) X ? (X ? A, X ? B). Montrer que f est injective si et seulement si A ? B = E . Montrer que f est surjective si et seulement si A ? B = ? . Donner une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit bijective. Donner dans ce cas la bijection réciproque.
Injection, surjection, bijection
Exercice 1
Soientf:R!Retg:R!Rtelles quef(x) =3x+1 etg(x) =x21. A-t-onfg=gf?Soitf:[0;1]![0;1]telle que
f(x) =( xsix2[0;1]\Q;1xsinon.
Démontrer queff=id.
Soitf:[1;+¥[![0;+¥[telle quef(x) =x21.fest-elle bijective ? Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?1.f:N!N;n7!n+1
2.g:Z!Z;n7!n+1
3.h:R2!R2;(x;y)7!(x+y;xy)
4.k:Rnf1g!R;x7!x+1x1
Soitf:R!C;t7!eit. Changer les ensembles de départ et d"arrivée afin que (la restriction de)fdevienne
bijective. 1.Déterminer le module et l"ar gumentde ez.
2.Calculer ez+z0;ez
;ez;(ez)npourn2Z. 3. L "applicatione xp: C!C;z7!ez, est-elle injective ?, surjective ? 1 On considère quatre ensemblesA;B;CetDet des applicationsf:A!B,g:B!C,h:C!D. Montrer que : gfinjective)finjective, gfsurjective)gsurjective.Montrer que :
gfethgsont bijectives,f;gethsont bijectives:Soitf:R!Rdéfinie parf(x) =2x=(1+x2).
1.fest-elle injective ? surjective ?
2.Montrer que f(R) = [1;1].
3. Montrer que la restriction g:[1;1]![1;1]g(x) =f(x)est une bijection. 4. Retrouv erce résultat en étudiant les v ariationsde f. Indication pourl"exer cice1 NProuver que l"égalité est fausse.Indication pour
l"exer cice2 Nidest l"application identité définie parid(x) =xpour toutx2[0;1]. Doncff=idsignifieff(c) =xpour
toutx2[0;1].Indication pourl"exer cice3 NMontrer quefest injective et surjective.Indication pourl"exer cice4 N1.fest injective mais pas surjective.
2.gest bijective.
3.haussi.
4.kest injective mais par surjective.Indication pourl"exer cice5 NMontrer que la restriction defdéfinie par :[0;2p[!U,t7!eitest une bijection. IciUest le cercle unité de
C, c"est-à-dire l"ensemble des nombres complexes de module égal à 1.Indication pourl"exer cice7 NPour la première assertion le début du raisonnement est : "supposons quegfest injective, soienta;a02Atels
quef(a) =f(a0)",... à vous de travailler, cela se termine par "...donca=a0, doncfest injective."Indication pourl"exer cice8 N1.fn"est ni injective, ni surjective.
2.Pour y2R, résoudre l"équationf(x) =y.
3.On pourra e xhiberl"in verse.3
Correction del"exer cice1 NSifg=gfalors
8x2Rfg(x) =gf(x):
Nous allons montrer que c"est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenonsx=0. Alorsfg(0) =f(1) =2, etgf(0) =g(1) =0 doncfg(0)6=gf(0). Ainsifg6=gf.Correction del"exer cice2 NSoitx2[0;1]\Qalorsf(x)=xdoncff(x)=f(x)=x. Soitx=2[0;1]\Qalorsf(x)=1xdoncff(x)=
f(1x), mais 1x=2[0;1]\Q(vérifiez-le !) doncff(x) =f(1x) =1(1x) =x. Donc pour toutx2[0;1]on aff(x) =x. Et doncff=id.Correction del"exer cice3 Nfest injective : soientx;y2[1;+¥[tels quef(x) =f(y):
f(x) =f(y))x21=y21 )x=yorx;y2[1;+¥[doncx;ysont de même signe )x=y: fest surjective : soity2[0;+¥[. Nous cherchons un élémentx2[1;+¥[tel quey=f(x) =x21 . Leréelx=py+1 convient !Correction del"exer cice4 N1.fn"est pas surjective car 0 n"a pas d"antécédent : en effet il n"existe pas den2Ntel quef(n) =0 (si
cenexistait ce seraitn=1 qui n"est pas un élément deN). Par contrefest injective : soientn;n02N
tels quef(n) =f(n0)alorsn+1=n0+1 doncn=n0. Bilanfest injective, non surjective et donc non bijective. 2.Pour montrer que gest bijective deux méthodes sont possibles. Première méthode : montrer queg
est à la fois injective et surjective. En effet soientn;n02Ztels queg(n) =g(n0)alorsn+1=n0+1 doncn=n0, alorsgest injective. Etgest surjective car chaquem2Zadmet un antécédent parg: en posantn=m12Zon trouve bieng(n) =m. Deuxième méthode : expliciter directement la bijection réciproque. Soit la fonctiong0:Z!Zdéfinie parg0(m) =m1 alorsg0g(n) =n(pour toutn2Z) et gg0(m) =m(pour toutm2Z). Alorsg0est la bijection réciproque deget doncgest bijective. 3. Montrons que hest injective. Soient(x;y);(x0;y0)2R2tels queh(x;y) =h(x0;y0). Alors(x+y;xy) = (x0+y0;x0y0)donc( x+y=x0+y0 xy=x0y0 En faisant la somme des lignes de ce système on trouve 2x=2x0doncx=x0et avec la différence on obtienty=y0. Donc les couples(x;y)et(x0;y0)sont égaux. Donchest injective. Montrons quehest surjective. Soit(X;Y)2R2, cherchons lui un antécédent(x;y)parh. Un tel antécédent vérifieh(x;y) = (X;Y), donc(x+y;xy) = (X;Y)ou encore : x+y=X xy=Y Encore une fois on faisant la somme des lignes on obtientx=X+Y2 et avec la différencey=XY2 , donc (x;y) = (X+Y2 ;XY2 ). La partie "analyse" de notre raisonnement en finie passons à la "synthèse" : il suffit 4de juste de vérifier que le couple(x;y)que l"on a obtenu est bien solution (on a tout fait pour !). Bilan
pour(X;Y)donné, son antécédent parhexiste et est(X+Y2 ;XY2 ). Donchest surjective.En fait on pourrait montrer directement quehest bijective en exhibant sa bijection réciproque(X;Y)7!
X+Y2 ;XY2). Mais vous devriez vous convaincre qu"il s"agit là d"une différence de rédaction, mais pas
vraiment d"un raisonnement différent. 4. Montrons d"abord que kest injective : soientx;x02Rnf1gtels quek(x) =k(x0)alorsx+1x1=x0+1x01donc
(x+1)(x01) = (x1)(x0+1). En développant nous obtenonsxx0+x0x=xx0x0+x, soit 2x=2x0 doncx=x0. Au brouillon essayons de montrer quekest surjective : soity2Ret cherchonsx2Rnf1gtel que f(x) =y. Si un telxexiste alors il vérifiex+1x1=ydoncx+1=y(x1), autrement ditx(y1) =y+1. Si l"on veut exprimerxen fonction deycela se fait par la formulex=y+1y1. Mais attention, il y a unpiège ! Poury=1 on ne peut pas trouver d"antécédentx(cela revient à diviser par 0 dans la fraction
précédente). Donckn"est pas surjective cary=1 n"a pas d"antécédent.Par contre on vient de montrer que s"il l"on considérait la restrictionkj:Rnf1g!Rnf1gqui est définie
aussi parkj(x) =x+1x1(seul l"espace d"arrivée change par rapport àk) alors cette fonctionkjest injective
et surjective, donc bijective (en fait sa bijection réciproque est elle même).Correction del"exer cice5 NConsidérons la restriction suivante def:fj:[0;2p[!U,t7!eit. Montrons que cette nouvelle applicationfj
est bijective. IciUest le cercle unité deCdonné par l"équation(jzj=1).fjest surjective car tout nombre complexe deUs"écrit sous la forme polaireeiq, et l"on peut choisir
q2[0;2p[. fjest injective : f j(t) =fj(t0),eit=eit0 ,t=t0+2kpaveck2Z ,t=t0cart;t02[0;2p[et donck=0:En conclusionfjest injective et surjective donc bijective.Correction del"exer cice6 N1.Pour z=x+iy, le module deez=ex+iy=exeiyestexet son argument esty.
2.Les résultats : ez+z0=ezez0,ez
=e z,ez= (ez)1,(ez)n=enz. 3. La fonction e xpn"est pas surjecti vecar jezj=ex>0 et doncezne vaut jamais 0. La fonction exp n"estpas non plus injective car pourz2C,ez=ez+2ip.Correction del"exer cice7 N1.Supposons gfinjective, et montrons quefest injective : soienta;a02Aavecf(a) =f(a0)donc
gf(a) =gf(a0)orgfest injective donca=a0. Conclusion on a montré :8a;a02A f(a) =f(a0))a=a0
c"est la définition definjective. 52.Supposons gfsurjective, et montrons quegest surjective : soitc2Ccommegfest surjective il
existea2Atel quegf(a) =c; posonsb=f(a), alorsg(b) =c, ce raisonnement est valide quelque soitc2Cdoncgest surjective. 3. Un sens est simple (()sifetgsont bijectives alorsgfl"est également. De même avechg.Pour l"implication directe()): sigfest bijective alors en particulier elle est surjective et donc d"après
la question 2.gest surjective.Sihgest bijective, elle est en particulier injective, doncgest injective (c"est le 1.). Par conséquentg
est à la fois injective et surjective donc bijective.Pour finirf=g1(gf)est bijective comme composée d"applications bijectives, de même pourh.Correction del"exer cice8 N1.fn"est pas injective carf(2) =45
=f(12 ).fn"est pas surjective cary=2 n"a pas d"antécédent: en effet l"équationf(x) =2 devient 2x=2(1+x2)soitx2x+1=0 qui n"a pas de solutions réelles.2.f(x) =yest équivalent à l"équationyx22x+y=0. Cette équation a des solutionsxsi et seulement
siD=44y2>0 donc il y a des solutions si et seulement siy2[1;1]. Nous venons de montrer que f(R)est exactement[1;1]. 3. Soit y2[1;1]nf0galors les solutionsxpossibles de l"équationg(x) =ysontx=1p1y2y oux=1+p1y2y
. La seule solutionx2[1;1]estx=1p1y2y en effetx=1p1y2y =y1+p1y22[1;1]. Pour y=0, la seule solution de l"équationg(x) =0 estx=0. Donc pourg:[1;1]![1;1]nous avons trouvé un inverseh:[1;1]![1;1]défini parh(y) =1p1y2y siy6=0 eth(0) =0. Doncgest une bijection.4.f0(x) =22x21+x2, doncf0est strictement positive sur]1;1[doncfest strictement croissante sur[1;1]
avecf(1) =1 etf(1) =1. Donc la restriction def, appeléeg:[1;1]![1;1], est une bijection.6quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] rapport projet android pdf
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