RELATION BINAIRE
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
Corrigé du TD no 7
Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique
Relation déquivalence relation dordre
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . L'équivalence est le connecteur logique qui à tout couple de ... Corrigé 1.5.1.
relations-binaires.pdf
(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f ? F(EE). Exercice 4 [ 02984 ] [Correction]. Soit R une relation binaire réflexive et transitive.
Relations déquivalence Exercice 1. ? “) Exercice 2. ? “) Exercice 3. ?
25 sept. 2018 ? f(x) = f(y). 1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. 2. Thierry Sageaux ...
Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence
1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est
1 Exemples simples de relations déquivalence 2 Construction de
autre relation (d'équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type. Exercice 5. Soit E et F deux ensembles
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Exercice 118. Montrer que la relation R définie sur R par : xRy ?? xey = yex est une relation d'équivalence. Préciser pour x fixé dans R
Exercices de Michel Quercia
Exercice 2919 Nombre de relations d'équivalence. Soit Rn le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments. 1. Trouver une relation de
1 Exemples simples de relations d’équivalence - univ-amufr
2 Construction de relations d’équivalence à partir des applications ou d’autres relations Ilestparfoispossibledeconstruireunerelationd’équivalenceutileàpartird’uneapplicationouàpartird’une autrerelation(d’équivalenceounon) Lesexercicesdecettesectionproposentplusieurssituationsdecetype Exercice 5
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ? Z On veut prouver xRx c’est à dire x? est un multiple de 5 On a x ? x = 0 = 5 ×0
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Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb? a?best un multiple de 5 est une relation d’équivalence (b) Soit x? Z Déterminer cl(x) Exercice 2: (a) Prouver que la relation sur Z aRb? a+best pair est une relation d’équivalence (b) Soit x? Z Déterminer cl(x)
Comment calculer les relations d’ordre et d’équivalence ?
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation surZ aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0.
Comment calculer la relation d’équivalence?
La notion de relation d’équivalence interviendra de nombreuses fois dans le cours de ma- thématiques et y jouera un rôle fondamental. L’année prochaine encore plus que cette année. Contentons-nouspourl’instantd’en donnerdes exemples: Exemple0.3.22 Soit E unensemble nonvide. Onconsidère la relation d’égalité sur E, enposant : ?x,y?ExRy??x=y
Comment calculer la classe d’équivalence ?
La classe d’équivalence de (a,b)est donc ˆ x,xb a x ?R? Exercice 4: (a) Prouver que la relation surR aRb ? |a| =|b| est une relation d’équivalence. Solution: — Ré?exivité : Soit x ?R. Prouvons que xRx.
Comment savoir si un multiple de 5 est une relation d’équivalence ?
aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0. Par conséquent, x ? x est un multiple de 5, donc xRx. — Symétrie : Soit x,y ?Z. On suppose xRy (ie. x ?y est un multiple de 5).
Past day
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Université d"Aix-Marseille Portail Descartes
Semestre 12019-2020
Planche 5
Relations d"équivalenceSoitEun ensemble; une relationsurEest diterelation d"équivalencesi elle est :
réflexive :8x2E; xx symétrique :8x2E;8y2E;sixyalorsyx transitive :8x2E;8y2E;8z2E;sixyetyzalorsxz.1 Exemples simples de relations d"équivalence
Précisez si les relations suivantes sont des relations d"équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle
(ou lesquelles) des trois propriétés de définition n"est pas remplie.Exercice 1(Relations surE=R)
1.xyssijxyj<1.
2.xyssixy2Q.
3.xyssix+y2Q.
Exercice 2(Relations surE=Z.)
1.xyssixy2
2Zouxy3
2Z.2.xyssix+y= 2.
3.xyssi9p2Z;9q2Zxp=yq.
Exercice 3(Relations sur l"ensembleEdes droites du plan )1.d1d2ssid1jjd2.
2.d1d2ssid1?d2.
Exercice 4(Relations sur l"ensembleEdes applicationsf:R!R)1.fgssi l"ensembleEf;g:=fx2R:f(x)6=g(x)gest fini.
2.fgssi l"ensembleEf;gest vide ou a un seul élément.
2 Construction de relations d"équivalence à partir des applications
ou d"autres relationsIl est parfois possible de construire une relation d"équivalence utile à partir d"une application ou à partir d"une
autre relation (d"équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type.
Exercice 5
SoitEetFdeux ensembles, etf:E!Fune application. On définit le relationfsurEcomme suit : xfyssif(x) =f(y):Prouvez queest une relation d"équivalence.
Exercice 6
SoitE=fa; b; c; dget la relationsurEdont l"ensemble suivant donne la liste de tous les couples(x;y)tels
quexy: G1. Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d"équivalence n"est pas respectée par?
2. Rajouter à l"ensembleGun couple(x;y)2EEde sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une
relation d"équivalence. Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 7SoitEun ensemble, et1,2, deux relations d"équivalence surE. On définit la réunion des relations1et2
comme étant la relationUsurE: xUyssi(x1youx2y); et l"intersection des relations1et2comme la relationSsurE: xSyssi(x1yetx2y):1. Est-ce queUest une relation d"équivalence?
2. Même question pourS.
3 Classe d"équivalence d"un élément
SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. Pour tout élémentx2E, le sous-ensemble [x] =fy2E:xyg deEs"appelle laclasse d"équivalencedexdansE. On a les propriétés : -8x2E;x2[x]; -8x2E;8y2E; xyssi[x] = [y]; -8x2E;8y2E;non(xy)ssi[x]\[y] =;:Les exercices suivants (8-12) sont des cas particuliers de la construction d"une relation d"équivalence décrite à
l"exercice 5.Exercice 8
Soit la relationsurR2définie par :
(x;y)(x0;y0)ssix=x0:1. Trouvez une applicationf:R2!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[(x0;y0)], la classe d"équivalence d"un élément(x0; y0)deR2.
Exercice 9
Soit la relationsurC(l"ensemble des nombres complexes) définie par : zz0ssijzj=jz0j:1. Trouvez une applicationf:C!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[z0], la classe d"équivalence d"un élémentz0deC.
Exercice 10
Soit la relationsurRdéfinie par :
xyssix2y2=xy:1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[1], la classe d"équivalence du nombre réel1.
3. Trouvez tous lesa2Rdont la classe d"équivalence[a]est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.
Exercice 11
Soit la relationsurRdéfinie par :
xyssixey=yex:1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[1], la classe d"équivalence de1, et[1], la classe d"équivalence de1.
3. Trouvez tous lesx2Rdont la classe d"équivalence est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.
2 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 12 SoitEl"ensemble des applicationsf:R!R, et la relationsurEdéfinie par : fgssi9a;b >0; af(x)g(x)bf(x)8x2R:1. Prouvez queest une relation d"équivalence.
2. Trouver toutes les constantesstelles ques+ arctan2[1], la classe d"équivalence de l"application
1 :R!R1(x) = 18x2R:
4 Ensemble quotient et application induite
SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. L"ensembleE==f[x] :x2Eg
s"appelle l"ensemble quotientdeEpar. SoitFun ensemble. Une applicationf:E!Fest ditecompatibleavecsi8x2E;8y2E xy)f(x) =f(y):
Sif:E!Fest compatible avec, on définitf, l"application induiteparfsurE=comme étant l"application :
f:E= !F;f([x]) =f(x);8x2E:Exercice 13
Soitf:E!Fune application, etfla relation d"équivalence définie à l"exercice 5.1. L"applicationfest compatible avecf.
2. Le quotient defparfmet l"ensembleE=fen bijection avecIm(f) =ff(x) :x2Eg.
Exercice 14
Soit la relation d"équivalencesurRdéfinie par : xyssisin(x) = sin(y):1. Prouvez que l"ensemble quotientR=est en bijection avec l"ensemble[1;1].
2. Parmi les applications suivantes, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) compatibles avec:
cos :R!R;sin2:R!R;exp :R!R?Exercice 15
Soit la relation d"équivalencesurRdéfinie par : xyssixy2Z:1. Prouvez que l"ensemble quotientR=est en bijection avec l"ensembleUde tous les nombres complexes de
module1.2. Est-ce que l"applicationf:R!R,f(x) = sin(x)est compatible avec? Et l"applicationg:R!R,
g(x) = sin(2x)?Exercice 16
SoitEl"ensemble des droites du plan. On définit la relation d"équivalencesurEpar : d1d2ssid1kd2:
1. Prouvez que l"ensemble quotientE=est en bijection avec l"ensemble des droites passant par l"origine.
2. Prouvez aussi que l"ensembleE=est en bijection avec l"ensembleR[ f1g.
3 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalence5 Partition d"un ensembleSoitEun ensemble non-vide. Une partition deEest un sous-ensemblePdeP(E), avec les propriétés suivantes :
i.;=2P ii.8A;B2P; A=BouA\B=; iii.SA2PA=E:
En d"autres mots, une partition deEest un ensemble de sous-ensembles deEde telle sorte qu"aucun de ces
sous-ensembles ne soit vide, qu"ils soient deux à deux disjointes, et que leur réunion soit égale àE.
La propriété suivante fait le lien entre partitions d"un ensemble et relations d"équivalence.
Exercice 17
SoitPune partition deE.
Alors la relationxyssi(9A2P; x;y2A)est une relation d"équivalence, dontPest l"ensemble quotient.Exercice 18
SoitE=f1;2;3g. Combien de partitions deEexiste-t-il?Exercice 19
Soita;b;ctrois nombre réels. À quelles conditions sura;b;c, les trois ensembles]1;b],]0;a[et[c;+1[forment
ils une partition deR?.Exercice 20
SoitEun ensemble non-vide. Peut-on trouverA;BEtels queA,A\BetBsoit une partition deE?6 Un cas particulier :Z=nZ
Dans les exercices qui suivent,nest un nombre naturel plus grand ou égal à 2, fixé une fois pour toutes.
Exercice 21
Soit la relationsurZdéfinie comme :
xyssixyn 2Z:1. Prouvez quexysi et seulement sixetyont le même reste à la division euclidienne parn(on dit aussi
quexetysont égaux modulon).2. Démontrez queest une relation d"équivalence, et que l"addition et la multiplication surZsont compatibles
avec.Exercice 22
NotonsZ=nZl"ensemble quotient deZpar.
Combien d"éléments possède l"ensembleZ=nZ?Exercice 23
Dans cet exercice (et dans cet exercice seulement) on posen= 12.1. Donner la liste de tous les couples(;)2 f0;1;2;3; :::;11g2tels que
[][] = [0]:2. Résoudre l"équation
[x]2[5][x] + [6] = [0] dansx2 f0;1;2;3; :::;11g.7 Exercices complémentaires
Exercice 24(Relations sur l"ensembleE=P(S)des parties d"un ensemble non-videS)1. On fixeKS,K6=;.ABssiA\K=B\K.
2.ABssi9KS;K6=;A\K=B\K.
4 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 25 SoitE,FetGtrois ensembles,une relation d"équivalence surE,f:F!Eune application deFdansE, etg:E!Gune application deEdansG.On définit la relationSdeFdansF:
xSyssif(x)f(y); et la relationUdeGdansG: xUyssi(9u;v2E uv; x=g(u); y=g(v)):1. Est-ce queSest une relation d"équivalence?
2. Même question pourU.
Exercice 26
Soit la relationsurRdéfinie par :
xyssisin2(x) + cos2(y) = 1:1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[0], la classe d"équivalence du nombre réel0.
Exercice 27
SoitE=P(R), l"ensemble des parties deR. On définit une relationsurP(R)par :ABssiA[[0;1] =B[[0;1]:
1. Trouvez une applicationf:E!Etelle que la relationsoit de la formef.
2. Déterminer[f0g], la classe d"équivalence de l"élémentf0gdeP(R).
Exercice 28
Soit les relations d"équivalence des exercices 8-12.1. Déterminer un ensemble qui peut être identifié avec le quotient de la relation.
Les deux exercices suivants donnent les constructions deZà partir deN(exercice (29)) et deQà partir deZ
(exercice (30)).Exercice 29
SoitE=NN, on définit surEdeux opérations : une addition (a; b)(c; d) = (a+c; b+d)8(a; b);(c; d)2E; et une multiplication (a; b) (c; d) = (ac+bd; ad+bc)8(a; b);(c; d)2E:On considère la relationdeEdansEpar :
(a; b)(c; d)ssia+d=b+c:1. Prouvez queest une relation d"équivalence, et que l"ensemble quotientE=est en bijection avec l"ensemble
Zdes nombres entiers.
2. Prouvez que les opérationset
sont compatibles avec, et que leur quotients sont les opérations d"addition et multiplication (classiques) surZ.Exercice 30
SoitE=ZZ, on définit surEdeux opérations : une addition (a; b)(c; d) = (ad+bc; bd)8(a; b);(c; d)2E; et une multiplication (a; b) (c; d) = (ac; bd)8(a; b);(c; d)2E: On considère la relation d"équivalencedeEdansEpar : (a; b)(c; d)ssiadbc= 0:1. Prouvez que la relationest une relation d"équivalence, et que l"ensemble quotientE=est en bijection
avec l"ensembleQdes nombres rationnels.2. Prouvez que les opérationset
sont compatibles avec, et que leurs quotients sont les opérations d"addition et de multiplication (classiques) surQ. 5 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 31Soitnun nombre naturel.
1. Combien de solutionsx2 f0;1;2;3; :::; n1ga l"équation
[2][x] = [0] ?2. Même question pour l"équation
[2][x] = [1]: (les réponses dépendent de la parité den).Exercice 32
(Théorème de Bézout). Soit l"équation [a][x] = [1]; aveca2 f0;1;2;3; :::; n1g.Prouvez que cette équation admet une solutionx2 f0;1;2;3; :::; n1gsi et seulement siaetnsont premiers
entre eux. 6quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] montrer que r est une relation d'équivalence
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