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Université d"Aix-Marseille Portail Descartes

Semestre 12019-2020

Planche 5

Relations d"équivalenceSoitEun ensemble; une relationsurEest diterelation d"équivalencesi elle est :

réflexive :8x2E; xx symétrique :8x2E;8y2E;sixyalorsyx transitive :8x2E;8y2E;8z2E;sixyetyzalorsxz.

1 Exemples simples de relations d"équivalence

Précisez si les relations suivantes sont des relations d"équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle

(ou lesquelles) des trois propriétés de définition n"est pas remplie.

Exercice 1(Relations surE=R)

1.xyssijxyj<1.

2.xyssixy2Q.

3.xyssix+y2Q.

Exercice 2(Relations surE=Z.)

1.xyssixy2

2Zouxy3

2Z.

2.xyssix+y= 2.

3.xyssi9p2Z;9q2Zxp=yq.

Exercice 3(Relations sur l"ensembleEdes droites du plan )

1.d1d2ssid1jjd2.

2.d1d2ssid1?d2.

Exercice 4(Relations sur l"ensembleEdes applicationsf:R!R)

1.fgssi l"ensembleEf;g:=fx2R:f(x)6=g(x)gest fini.

2.fgssi l"ensembleEf;gest vide ou a un seul élément.

2 Construction de relations d"équivalence à partir des applications

ou d"autres relations

Il est parfois possible de construire une relation d"équivalence utile à partir d"une application ou à partir d"une

autre relation (d"équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type.

Exercice 5

SoitEetFdeux ensembles, etf:E!Fune application. On définit le relationfsurEcomme suit : xfyssif(x) =f(y):

Prouvez queest une relation d"équivalence.

Exercice 6

SoitE=fa; b; c; dget la relationsurEdont l"ensemble suivant donne la liste de tous les couples(x;y)tels

quexy: G

1. Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d"équivalence n"est pas respectée par?

2. Rajouter à l"ensembleGun couple(x;y)2EEde sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une

relation d"équivalence. Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 7

SoitEun ensemble, et1,2, deux relations d"équivalence surE. On définit la réunion des relations1et2

comme étant la relationUsurE: xUyssi(x1youx2y); et l"intersection des relations1et2comme la relationSsurE: xSyssi(x1yetx2y):

1. Est-ce queUest une relation d"équivalence?

2. Même question pourS.

3 Classe d"équivalence d"un élément

SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. Pour tout élémentx2E, le sous-ensemble [x] =fy2E:xyg deEs"appelle laclasse d"équivalencedexdansE. On a les propriétés : -8x2E;x2[x]; -8x2E;8y2E; xyssi[x] = [y]; -8x2E;8y2E;non(xy)ssi[x]\[y] =;:

Les exercices suivants (8-12) sont des cas particuliers de la construction d"une relation d"équivalence décrite à

l"exercice 5.

Exercice 8

Soit la relationsurR2définie par :

(x;y)(x0;y0)ssix=x0:

1. Trouvez une applicationf:R2!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[(x0;y0)], la classe d"équivalence d"un élément(x0; y0)deR2.

Exercice 9

Soit la relationsurC(l"ensemble des nombres complexes) définie par : zz0ssijzj=jz0j:

1. Trouvez une applicationf:C!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[z0], la classe d"équivalence d"un élémentz0deC.

Exercice 10

Soit la relationsurRdéfinie par :

xyssix2y2=xy:

1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[1], la classe d"équivalence du nombre réel1.

3. Trouvez tous lesa2Rdont la classe d"équivalence[a]est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.

Exercice 11

Soit la relationsurRdéfinie par :

xyssixey=yex:

1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[1], la classe d"équivalence de1, et[1], la classe d"équivalence de1.

3. Trouvez tous lesx2Rdont la classe d"équivalence est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.

2 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 12 SoitEl"ensemble des applicationsf:R!R, et la relationsurEdéfinie par : fgssi9a;b >0; af(x)g(x)bf(x)8x2R:

1. Prouvez queest une relation d"équivalence.

2. Trouver toutes les constantesstelles ques+ arctan2[1], la classe d"équivalence de l"application

1 :R!R1(x) = 18x2R:

4 Ensemble quotient et application induite

SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. L"ensemble

E==f[x] :x2Eg

s"appelle l"ensemble quotientdeEpar. SoitFun ensemble. Une applicationf:E!Fest ditecompatibleavecsi

8x2E;8y2E xy)f(x) =f(y):

Sif:E!Fest compatible avec, on définitf, l"application induiteparfsurE=comme étant l"application :

f:E= !F;f([x]) =f(x);8x2E:

Exercice 13

Soitf:E!Fune application, etfla relation d"équivalence définie à l"exercice 5.

1. L"applicationfest compatible avecf.

2. Le quotient defparfmet l"ensembleE=fen bijection avecIm(f) =ff(x) :x2Eg.

Exercice 14

Soit la relation d"équivalencesurRdéfinie par : xyssisin(x) = sin(y):

1. Prouvez que l"ensemble quotientR=est en bijection avec l"ensemble[1;1].

2. Parmi les applications suivantes, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) compatibles avec:

cos :R!R;sin2:R!R;exp :R!R?

Exercice 15

Soit la relation d"équivalencesurRdéfinie par : xyssixy2Z:

1. Prouvez que l"ensemble quotientR=est en bijection avec l"ensembleUde tous les nombres complexes de

module1.

2. Est-ce que l"applicationf:R!R,f(x) = sin(x)est compatible avec? Et l"applicationg:R!R,

g(x) = sin(2x)?

Exercice 16

SoitEl"ensemble des droites du plan. On définit la relation d"équivalencesurEpar : d

1d2ssid1kd2:

1. Prouvez que l"ensemble quotientE=est en bijection avec l"ensemble des droites passant par l"origine.

2. Prouvez aussi que l"ensembleE=est en bijection avec l"ensembleR[ f1g.

3 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalence5 Partition d"un ensemble

SoitEun ensemble non-vide. Une partition deEest un sous-ensemblePdeP(E), avec les propriétés suivantes :

i.;=2P ii.8A;B2P; A=BouA\B=; iii.S

A2PA=E:

En d"autres mots, une partition deEest un ensemble de sous-ensembles deEde telle sorte qu"aucun de ces

sous-ensembles ne soit vide, qu"ils soient deux à deux disjointes, et que leur réunion soit égale àE.

La propriété suivante fait le lien entre partitions d"un ensemble et relations d"équivalence.

Exercice 17

SoitPune partition deE.

Alors la relationxyssi(9A2P; x;y2A)est une relation d"équivalence, dontPest l"ensemble quotient.

Exercice 18

SoitE=f1;2;3g. Combien de partitions deEexiste-t-il?

Exercice 19

Soita;b;ctrois nombre réels. À quelles conditions sura;b;c, les trois ensembles]1;b],]0;a[et[c;+1[forment

ils une partition deR?.

Exercice 20

SoitEun ensemble non-vide. Peut-on trouverA;BEtels queA,A\BetBsoit une partition deE?

6 Un cas particulier :Z=nZ

Dans les exercices qui suivent,nest un nombre naturel plus grand ou égal à 2, fixé une fois pour toutes.

Exercice 21

Soit la relationsurZdéfinie comme :

xyssixyn 2Z:

1. Prouvez quexysi et seulement sixetyont le même reste à la division euclidienne parn(on dit aussi

quexetysont égaux modulon).

2. Démontrez queest une relation d"équivalence, et que l"addition et la multiplication surZsont compatibles

avec.

Exercice 22

NotonsZ=nZl"ensemble quotient deZpar.

Combien d"éléments possède l"ensembleZ=nZ?

Exercice 23

Dans cet exercice (et dans cet exercice seulement) on posen= 12.

1. Donner la liste de tous les couples(;)2 f0;1;2;3; :::;11g2tels que

[][] = [0]:

2. Résoudre l"équation

[x]2[5][x] + [6] = [0] dansx2 f0;1;2;3; :::;11g.

7 Exercices complémentaires

Exercice 24(Relations sur l"ensembleE=P(S)des parties d"un ensemble non-videS)

1. On fixeKS,K6=;.ABssiA\K=B\K.

2.ABssi9KS;K6=;A\K=B\K.

4 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 25 SoitE,FetGtrois ensembles,une relation d"équivalence surE,f:F!Eune application deFdansE, etg:E!Gune application deEdansG.

On définit la relationSdeFdansF:

xSyssif(x)f(y); et la relationUdeGdansG: xUyssi(9u;v2E uv; x=g(u); y=g(v)):

1. Est-ce queSest une relation d"équivalence?

2. Même question pourU.

Exercice 26

Soit la relationsurRdéfinie par :

xyssisin2(x) + cos2(y) = 1:

1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[0], la classe d"équivalence du nombre réel0.

Exercice 27

SoitE=P(R), l"ensemble des parties deR. On définit une relationsurP(R)par :

ABssiA[[0;1] =B[[0;1]:

1. Trouvez une applicationf:E!Etelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[f0g], la classe d"équivalence de l"élémentf0gdeP(R).

Exercice 28

Soit les relations d"équivalence des exercices 8-12.

1. Déterminer un ensemble qui peut être identifié avec le quotient de la relation.

Les deux exercices suivants donnent les constructions deZà partir deN(exercice (29)) et deQà partir deZ

(exercice (30)).

Exercice 29

SoitE=NN, on définit surEdeux opérations : une addition (a; b)(c; d) = (a+c; b+d)8(a; b);(c; d)2E; et une multiplication (a; b) (c; d) = (ac+bd; ad+bc)8(a; b);(c; d)2E:

On considère la relationdeEdansEpar :

(a; b)(c; d)ssia+d=b+c:

1. Prouvez queest une relation d"équivalence, et que l"ensemble quotientE=est en bijection avec l"ensemble

Zdes nombres entiers.

2. Prouvez que les opérationset

sont compatibles avec, et que leur quotients sont les opérations d"addition et multiplication (classiques) surZ.

Exercice 30

SoitE=ZZ, on définit surEdeux opérations : une addition (a; b)(c; d) = (ad+bc; bd)8(a; b);(c; d)2E; et une multiplication (a; b) (c; d) = (ac; bd)8(a; b);(c; d)2E: On considère la relation d"équivalencedeEdansEpar : (a; b)(c; d)ssiadbc= 0:

1. Prouvez que la relationest une relation d"équivalence, et que l"ensemble quotientE=est en bijection

avec l"ensembleQdes nombres rationnels.

2. Prouvez que les opérationset

sont compatibles avec, et que leurs quotients sont les opérations d"addition et de multiplication (classiques) surQ. 5 Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 31

Soitnun nombre naturel.

1. Combien de solutionsx2 f0;1;2;3; :::; n1ga l"équation

[2][x] = [0] ?

2. Même question pour l"équation

[2][x] = [1]: (les réponses dépendent de la parité den).

Exercice 32

(Théorème de Bézout). Soit l"équation [a][x] = [1]; aveca2 f0;1;2;3; :::; n1g.

Prouvez que cette équation admet une solutionx2 f0;1;2;3; :::; n1gsi et seulement siaetnsont premiers

entre eux. 6quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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