Relation déquivalence relation dordre
Exo7. Relation d'équivalence relation d'ordre. 1 Relation d'équivalence. Exercice 1. Dans C on définit la relation R par : zRz ?
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la fois R et S et qu'il existe aussi une relation binaire sur E simultanément moins fine que R et S . [007196]. Exercice 154. Soit f : R ? U
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ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion d'application (ou Exo7. 1 Les nombres complexes. 2 Racines carrées équation du second degré.
RELATION BINAIRE
Relation binaire. Pascal Lainé. 3. Exercice 11 : Soient un ensemble fini non vide et un élément fixé de . Les relations définies ci-dessous sont-elles des.
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Exercice 2964 Composition de relations. Soit E un ensemble et F l'ensemble des relations binaires sur E. Pour R
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Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
• La relation sur P(E) «?» : A ? B si que A est inclus dans B • La relation sur les droites du plan «//» : d//d? si la droite d est parallèle à d? • La relation sur les droites du plan «?» : d ? d? si la droite d est perpendicu-laire à d? Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-
Qu'est-ce que la relation binaire ?
Soit la relation binaire définie sur E par l'équivalence () entre deux formules. est une relation d'équivalence sur E, compatible avec et . Alors l'ensemble quotient E/ possède une structure d'algèbre de Boole. Il existe plusieurs familles de systèmes de démonstration formelle, notamment:
Qu'est-ce que le projet Exo7 ?
Des cours et des exercices de maths... Le projet Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématiques avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. Vous trouverez plein d'autres exercices dans Exo7 pour les profs, mais ils ne sont pas tous corrigés.
Quelle est la différence entre une relation binaire et une relation d'équivalence ?
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est ré exive, symétrique et transitive. Exemples. Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites. Soit E et F deux ensembles, et f une application de E dans F. La relation sur E dé nie par aRb ,f(a) = f(b) est une relation d'équivalence.
Quels sont les différents types de relations binaires ?
Ainsi, nous voyons que les relations binaires forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre total et qu'il est très facile de voir quelles relations binaires sont des relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.
DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 15:44 Relations binaires. Relations
d"équivalence et d"ordreTable des matières
1 Généralités2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne. . . . . . . . . . . 2
1.3 Qualité d"une relation binaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Relation totale ou partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Relation d"équivalence4
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Relation d"ordre5
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre. . . . . . . . . . . . 6
4 Éléments fondamentaux d"un ensemble ordonné7
4.1 Majorant, minorant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Plus grand et plus petit élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Borne supérieure et borne inférieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1 Généralités
En mathématiques, on cherche souvent à comparer deux éléments d"un ensemble ou la propriété que deux éléments d"un ensemble sont susceptibles d"avoir.1.1 Définition
Définition 1 :Une relation binaireRdéfinie sur un ensembleEest au choix : une propriété qui relie ou non deux élémentsxetydeE. On notexRypour dire que l"élémentxest en relation avecyune partie deE×E. On notexRysi(x,y)?R
?Pour un couple(x,y)?= (y,x)donc on fera la différence entrexRyetyRx. Par exemple siRest la relation < surR: si l"on ax1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne
Définition 2 :SoientRune relation binaire surE. La relationRest compatible avec la loi de composition interne?surEsi : (aRbetcRd)?(a?c)R(b?d)Exemples :
La loi?surRest compatible avec l"addition mais pas avec la multiplication. La loi≡[n]surZest compatible avec l"addition et la multiplication.PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1.3 Qualité d"une relation binaire
Définition 3 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest réflexive si :?x?E,xRx
On dit queRest symétrique si :?x,y?E,xRy?yRx On dit queRest antisymétrique si :?x,y?E,(xRyetyRx)?x=y On dit queRest transitive si :?x,y,z?E,(xRyetyRz)?xRzExemples :
La relation d"égalité=surEest réflexive, symétrique, antisymétrique et tran- sitive. Les relations?et?surRsont réflexives, antisymétrique et transitives. Elles ne sont pas symétriques. Les relation1.4 Relation totale ou partielle
Définition 4 :SoitRune relation binaire surE.
On dit quexetydeEsont comparable parRsi :xRyouyRx. On dit que la relationRest totale si deux éléments quelconques deEsont comparable :?x,y?E,xRyouyRx On dit que la relationRest partielle dans le cas contraire.Exemple :
Les relations?et?surRsont totales maisPAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE
2. RELATION D"ÉQUIVALENCE
2 Relation d"équivalence
2.1 Définition
Définition 5 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest une relation d"équivalence surEsiRest réflexive, symétrique et transitive. Remarque :Une relation d"équivalence est notée parfois≂ Une relation d"équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété.Exemples :
La relation≡[n]surZest une relation d"équivalence. On vérifie facilement qu"elle est réflexive, symétrique et transitive. Soitα?R. Une autre relation≡[α]surRest une relation d"équivalence : x≡y[α]? ?k?Z,x=y+kα. - Réflexivité :a=a+0×αdonca≡a[α] - Symétrie :a≡b[α]?a=b+kα?b=a+ (-k)α?b≡a[α] - Transitivité : (a≡b[α]etb≡c[α])?(a=b+kαetb=c+k?α)? a=k?α+kα= (k?+k)α?a≡c[α]2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient
Théorème 1 :SoitRune loi d"équivalence surE. On appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeE, l"ensembleC(x)des élé- ments deEen relation avecxparR:C(x) ={y?E,yRx}
L"ensemble des classes d"équivalence pourRforment une partition deE: leur réunion formeEet sont deux à deux disjointes. L"ensemble des classes d"équivalence deEpourRest appelé l"ensemble quo- tient deEparRnotéE/R Remarque :Toute classe d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme "avoir le même [... ]». Par exemple "avoir le même reste dans la division parn» dansZ. Notation usuelle pour la classe d"équivalence dex: xouxPour la relation≡[3]
Troisclassesd"équivalence:?
0 ,1 ,2?
correspondant aux trois restes dans la division par 3Son ensemble quotient se note :Z/3Z0
reste 01 reste 12 reste 2
ZPAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE
3. RELATION D"ORDRE
L"ensemble quotientE/Rest donc un ensemble d"ensembles inclus dansP(E) Démonstration :Montrons queE/Rforme une partition deE.Notons
xla classe d"équivalence dexpourR. ?x?E,x?xcar réflexivitéxRxon en déduit queE=? x?Ex.Montrons que six∩y?=∅alorsx=y.
z? x∩y??zRx zRy??Par symétrie et transitivité xRy?x=yExemple :
Un bipoint (A,B) est un couple de
points du plan.On définit la relationR(équipollence)
telle que : (A,B)R(C,D) si les segments [AD] et [BC] ont même milieu. AB CD IRest une relation d"équivalence car :
[AB] et [BA] ont même milieu donc (A,B)R(A,B). (A,B)R(C,D)?m[AD] =m[BC]?m[CB] =m[DA]?(C,D)R(A,B) ?(A,B)R(C,D) (C,D)R(E,F)??m[AD] =m[BC] m[CF] =m[DE]??ABDC et CDFEparallélogrammes? ?(AB)//(CD)//(EF)AB=CD=CF??ABFE parallélogramme
m[AF] =m[BE]?(A,B)R(E,F) La classe d"équivalence du bipoint (A,B) est le vecteur -→AB . C"est une façon de définir proprement un vecteur dans le plan.3 Relation d"ordre
3.1 Définition
Définition 6 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest une relation d"ordre siRest réflexive, antisymétrique et transitive. Remarque :On note généralement une relation d"ordre :?,?,?, ... La réflexivité est imposé dans la définition des relations d"ordre. On privilégie les relations d"ordre "large» du type "inférieur ou égal ». La transitivité et l"antisymétrie permettent de hiérarchiser les éléments d"un en- semble.PAUL MILAN5CPGE L1 -ALGÈBRE
3. RELATION D"ORDRE
Exemples :
Les relations?,?surRsont des relations d"ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réflexivité. La relation de divisibilité|est une relation d"ordre surN?(mais pas surZ?) : -?n?N?,n|ndonc|est réflexive. k,k??N??k=k?=1?n=n?donc|est antisymétrique. donc|est transitive. Visualisation d"une relation d"ordre : idée d"orientation. Lorsque la relation d"ordre est totale comme?dansR. On peut représenterR sur une droite -∞-7-2.5301π203+∞| | | | | ||e|⎷17 Ce n"est plus le cas lorsque la relation d"ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité|dans[[1,10]]. Dans ce graphe, on se préoccupe uni- quement de l"orientation des entiers de 1 à 10. 12 3 5746 9 108
3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre
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