Relation déquivalence relation dordre
Exo7. Relation d'équivalence relation d'ordre. 1 Relation d'équivalence. Exercice 1. Dans C on définit la relation R par : zRz ?
Exercices de mathématiques - Exo7
la fois R et S et qu'il existe aussi une relation binaire sur E simultanément moins fine que R et S . [007196]. Exercice 154. Soit f : R ? U
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ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion d'application (ou Exo7. 1 Les nombres complexes. 2 Racines carrées équation du second degré.
RELATION BINAIRE
Relation binaire. Pascal Lainé. 3. Exercice 11 : Soient un ensemble fini non vide et un élément fixé de . Les relations définies ci-dessous sont-elles des.
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Exercice 2964 Composition de relations. Soit E un ensemble et F l'ensemble des relations binaires sur E. Pour R
Cours de mathématiques - Exo7
Vous vous apercevrez assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion d'
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7. Tous les exercices. Table des matières. 1 100.01 Logique Soit R une relation binaire sur un ensemble E symétrique et transitive.
Exo7 - Cours de math�matiques
Soit R une relation binaire définie sur l'ensemble des nombres premiers P comme suit : ?pq ? P
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Voyons comment l'écriture binaire des nombres peut nous aider. La relation de récurrence qui exprime la complexité de cet algorithme est C(n) ...
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Exo7. Logique ensembles et applications. Exercices de Jean-Louis Rouget. Déterminer une relation de récurrence permettant de calculer les Sp de proche.
Calcul des propositions : définition et explications
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Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
• La relation sur P(E) «?» : A ? B si que A est inclus dans B • La relation sur les droites du plan «//» : d//d? si la droite d est parallèle à d? • La relation sur les droites du plan «?» : d ? d? si la droite d est perpendicu-laire à d? Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-
Qu'est-ce que la relation binaire ?
Soit la relation binaire définie sur E par l'équivalence () entre deux formules. est une relation d'équivalence sur E, compatible avec et . Alors l'ensemble quotient E/ possède une structure d'algèbre de Boole. Il existe plusieurs familles de systèmes de démonstration formelle, notamment:
Qu'est-ce que le projet Exo7 ?
Des cours et des exercices de maths... Le projet Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématiques avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. Vous trouverez plein d'autres exercices dans Exo7 pour les profs, mais ils ne sont pas tous corrigés.
Quelle est la différence entre une relation binaire et une relation d'équivalence ?
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réexive, symétrique et transitive. Exemples. Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites. Soit E et F deux ensembles, et f une application de E dans F. La relation sur E dénie par aRb ,f(a) = f(b) est une relation d'équivalence.
Quels sont les différents types de relations binaires ?
Ainsi, nous voyons que les relations binaires forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre total et qu'il est très facile de voir quelles relations binaires sont des relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.
Cours de mathématiques
Première annéeExo7
2SommaireExo7
1Logique et raisonnements. ........................................9
1L ogique
9 2R aisonnements
142Ensembles et applications. ......................................19
1Ensembles
20 2Applications
233
Injection, surjection, bijection
254
Ensembles finis
295
R elationd"équivalence
363Nombres complexes. ............................................41
1L esnombres comple xes
412 R acinescar rées,équation du second degr é 45
3
Ar gumentet trigonométrie
484
Nombres comple xeset géométrie
524Arithmétique. ...................................................55
1Division euclidienne et pgcd
552
Théor èmede Bézout
593
Nombres premiers
634
Congruences
665Polynômes. ......................................................73
1Définitions
732
Arithmétique des polynômes
763
R acined"un polynôme, factorisation
804
F ractionsrationnelles
856Groupes. ........................................................89
1Gr oupe
892
Sous-gr oupes
943
Morphismes de gr oupes
964
L egr oupeZ/nZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5L egr oupedes per mutationsSn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7Les nombres réels. .............................................107
1L "ensembledes nombres rationnels Q.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2P ropriétésde R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3Densité de QdansR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4Bor nesupérieure
116 34SOMMAIRE
8Les suites. ......................................................121
1Définitions
1212
Limites
1243
Ex emplesremar quables
1304
Théor èmede conver gence
1355
Suites r écurrentes
1409Limites et fonctions continues. .................................147
1Notions de fonction
1482
Limites
1523
Continuité en un point
1584
Continuité sur un inter valle
1635
F onctionsmonotones et bijections
16610Fonctions usuelles. .............................................173
1L ogarithmeet e xponentielle
1732
F onctionscirculaires inverses
1773
F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses
18011Dérivée d"une fonction. .........................................185
1Dérivée
1862
Calcul des dérivées
1893
Extremum local, théor èmede R olle
1934
Théor èmedes accr oissementsfinis
19712Zéros des fonctions. ............................................203
1La dichotomie
2032
La méthode de la sécante
2083
La méthode de Newton
21213Intégrales. .....................................................217
1L "intégralede Riemann
2192
P ropriétésde l"intégrale
2253
P rimitived"une fonction
2284 Intégration par par ties- Changement de variable 234
5
Intégration des fractions rationnelles
23814Développements limités. .......................................243
1F ormulesde T aylor
2442 Développements limités au voisinage d"un point 250
3 Opérations sur les développements limités 253
4
Applications des développements limités
25715Courbes paramétrées. ..........................................263
1Notions de base
2642
T angenteà une courbe paramétr ée
2713
P ointssinguliers - Branches infinies
2774
Plan d"étude d"une courbe paramétr ée
2845
Courbes en polaires : théorie
2916
Courbes en polaires : e xemples
298SOMMAIRE5
16Systèmes linéaires. .............................................303
1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 3032
Théorie des systèmes linéaires
3073
R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss
31017L"espace vectorielRn............................................317
1V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2Ex emplesd"applications linéaires
3203
P ropriétésdes applications linéaires
32618Matrices. .......................................................333
1Définition
3332
Multiplication de matrices
3363
Inverse d"une matrice : définition
3414
Inverse d"une matrice : calcul
3435 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 346
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 353
19Espaces vectoriels. .............................................361
1Espace vectoriel (début)
3612
Espace vectoriel (fin)
3653
Sous-espace vectoriel (début)
3694
Sous-espace vectoriel (milieu)
3735
Sous-espace vectoriel (fin)
3766
Application linéaire (début)
3837
Application linéaire (milieu)
3858
Application linéaire (fin)
38820Dimension finie. ................................................395
1F amillelibre
3952
F amillegénératrice
4003 Base 402
4
Dimension d"un espace vectoriel
4085
Dimension des sous-espaces vectoriels
41321Matrices et applications linéaires. ...............................419
1R angd"une famille de vecteurs
4192
Applications linéaires en dimension finie
4253
Matrice d"une application linéaire
4324
Changement de bases
43822Déterminants. ..................................................447
1Déter minanten dimension 2et3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
2Définition du déter minant
4513
P ropriétésdu déter minant
4574
Calculs de déter minants
4625
Applications des déter minants
4666SOMMAIRE
Cours et exercices de maths
Logique &
Raisonnements
Ensembles &
Applications
Arithmétique
Nombres
complexesPolynômesEspaces vectorielsGroupes
Systèmes
linéairesDimension finie
Matrices
Applications
linéairesDéterminants
Droites et plans
Courbes pa-
ramétrésGéométrie affine
et euclidienneNombres réels
Suites I
Fonctions
continuesZéros de
fonctionsDérivées
Trigonométrie
Fonctions
usuellesDéveloppements limitésIntégrales I
Intégrales II
Suites II
Équations
différentiellesLicence Creative Commons - BY-NC-SA - 3.0 FR8SOMMAIRE
1 Logique et raisonnementsExo7
Quelques motivations
-Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou lescoeurs» alors il ne faut pas exclure l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question
"As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de 15 euros?Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction
est souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une
définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonction
f:I!Ren un pointx02I:8"È09±È08x2I(jx¡x0jDZAE) jf(x)¡f(x0)jÇ").
C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique. Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Parexemple "Est-ce qu"une augmentation de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vouspouvez penser "oui» ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique
qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour
les autres. On parle deraisonnement. Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une hypothèse et de l"expliquer à autrui. 1.Logique
1.1.Asser tions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
-"Il pleut.» -"Je suis plus grand que toi.» -" 2Å2AE4 »10Logique et raisonnements
-" 2£3AE7 » -"Pour toutx2R, on ax2Ê0.»-"Pour toutz2C, on ajzjAE1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions
construites à partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "PetQ» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
P\QVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "PetQ»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors
l"assertion "PetQ» est vraie si la carte est l"as de coeur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "PouQ» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
P\QVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "PouQ»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion
"PouQ» est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de
coeur).RemarquePour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les
motsou,et! Les tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non» L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie. PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "nonP»
Logique et raisonnements11
L"implicationAE)
La définition mathématique est la suivante : L"assertion "(nonP) ouQ» est notée "PAE)Q».Sa table de vérité est donc la suivante : P\QVF VVF FVVFIGURE1.4 - Table de vérité de "PAE)Q»
L"assertion "PAE)Q» se lit en français "PimpliqueQ». Elle se lit souvent aussi "siPest vraie alorsQest vraie» ou "siPalorsQ».Par exemple :
-" 0ÉxÉ25AE)pxÉ5 » est vraie (prendre la racine carrée). -"x2]¡1,¡4[AE)x2Å3x¡4È0 » est vraie (étudier le binôme). -" sin(µ)AE0AE)µAE0 » est fausse (regarder pourµAE2¼par exemple). -" 2Å2AE5AE)p2AE2 » est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "PAE)Q» est toujours vraie.L"équivalence()
L"équivalenceest définie par :
"P()Q» est l"assertion "(PAE)Q) et (QAE)P)».On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion
est vraie lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : P\QVF VVF FFVFIGURE1.5 - Table de vérité de "P()Q»
Exemples :
-Pourx,x02R, l"équivalence "x¢x0AE0()(xAE0oux0AE0) » est vraie. -Voici une équivalencetoujours fausse(quelque soit l"assertionP) : "P()non(P) ».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors
de ce chapitre on écrira "P()Q» ou "PAE)Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l"on écrit "P()Q» cela sous-entend "P()Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQsoient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.12Logique et raisonnements
Proposition 1
SoientP,Q,Rtrois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes :1.P()non(non(P))
2. ( PetQ)()(QetP) 3. ( PouQ)()(QouP)4.non(PetQ)()(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)()(nonP)et(nonQ)
6.¡Pet(QouR)¢()(PetQ)ou(PetR)
7.¡Pou(QetR)¢()(PouQ)et(PouR)
8.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] liste des verbes d'état cm2
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