[PDF] Baccalauréat 2014 - S Antilles-Guyane

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Baccalauréat 2014 - SAntilles-GuyaneSérie S Obli. et Spé.Jeudi 11 septembre 2014Correction

Ceci est la correction du sujet de la session de septembre duBac S d"Antilles-Guyane, session dite deremplacement.

Exercice 1. Probabilités6 points

Partie A

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

N

P(N) = 1-0,09 = 0,91

APN(A) = 0,96

APN?A?= 1-0,96 = 0,04

N

P?N?= 0,09A

PN(A) = 1-0,97 = 0,03

APN?A?= 0,97

2. Démontrer que la probabilité qu"une peluche soit acceptée à l"issue des tests est 0,8763.

La probabilité qu"une peluche soit acceptée estP(A). D"après la formule des probabilités totales :

P(A) =P(N∩A) +P(

N∩A)

Donc

P(A) =P(N)×PN(A) +P?

N?×PN(A)

P(A) = 0,91×0,96 + 0,09×0,03

P(A) = 0,8736+ 0,0027

P(A) = 0,8763

La probabilité qu"une peluche soit acceptée à l"issue des tests est de0,8763.

3. Calculer la probabilité qu"une peluche qui a été acceptéeà l"issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur.

Arrondir le résultat au dix-millième.

La probabilité qu"une peluche qui a été acceptée soit aux normes estPA(N): P

A(N) =P(N∩A)

P(A)=0,87360,8763≈0,9969

La probabilité qu"une peluche qui a été acceptée soit véritablement aux normes est de0,9969, arrondie aux dix-millième.

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Obli. et Spé. - Jeudi 11 septembre 2014

Partie B

On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années

d"une peluche, notéeD, suit une loi exponentielle de paramètreλ.

1. On sait queP(D?4) = 0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

L"égalitéP(D?4) = 0,5traduit le fait que la probabilité que la peluche soit conforme pendant 4 ans ou moins est de0,5.

Calculer la valeur exacte deλ.

SiDsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alors a

λe-λtdt= 1-e-λa

Donc 4 soit

λ=-ln0,5

4

2. On prendra iciλ= 0,1733. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide,

voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa s?ur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa

soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

La probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeurau moins cinq années supplémentaires est la probabilité condi-

tionnellePD?3(D?3 + 5).

On sait que la loi exponentielle est une loi à "durée de vie sans vieillissement» c"est à dire que :

SiXest une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifsteth:

P

X?t(X?t+h) =P(X?h)

Cette propriété traduit le fait que la loi exponentielle est" sans mémoire». Propriété 1(Durée de vie sans vieillissement)

Donc pourt= 3 ;h= 5:

P

D?3(D?3 + 5) =P(D?5)

= 1-P(D <5) = 1-?1-e-5λ? =e-5×0,173 3≈0,4204 P

D?3(D?3 + 5) =P(D?5)≈0,4204

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Partie C

Le nombre de jours, notéJ, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresμ= 358jours etσ.

1. SoitX=J-358

σ. Quelle est la loi suivie parX?

Par propriété :

Soitμun réel etσun réel strictement positif.

La variable aléatoireXsuit la loi normaleN?μ;σ2?si et seulement si, la variable aléatoireY=X-μ

σsuit la

loi normale centrée réduiteN(0 ; 1).

Propriété 2

Donc ici, puisqueJsuit la loi normaleN?358 ;σ2?, la variable aléatoireX=J-358

σsuit la loi normale centrée réduite,

c"est-à-dire laloi normale de moyenne 0 et d"écart type 1.

2. On sait queP(J?385) = 0,975. Déterminer la valeur deσarrondie à l"entier le plus proche.

On a puisqueσest un nombre strictement positif :

On cherche doncσpour que

P? Sachant queXsuit la loi normale centrée réduite.

La calculatrice donne27

σ≈1,96

Ce qui équivaut àσ≈13,77. On prendra donc arrondi à l"entier le plus proche

σ≈14

Remarque: Sur la TI Voyage 200

TIStat.invNorm(0.975)≈1,959963986

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Exercice 2. Fonctions6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0 ; +∞[par f(x) =xe-x.

1. Déterminer la limite de la fonctionfen+∞.

•(1) :limx→+∞e

xx= +∞ •(2) :limx→-∞xex= 0•(3) :limx→0e x-1x= 1 Propriété 3(Limites liées à la fonction exponentielle ) D"après le cours, le (1) de la propriété 3 lim x→+∞e x x= +∞ Donc limx→+∞x ex= limx→+∞xe-x= 0

D"où

limx→+∞f(x) = 0

La courbe représentative defprésente donc uneasymptote horizontale, en+∞, l"axe des abscisses d"équationy= 0.

2. Déterminer la dérivéef?de la fonctionfsur??0 ; +∞??et en déduire le tableau de variations defsur??0 ; +∞??.

La fonctionfest dérivable surRdonc à fortiori sur??0 ; +∞??et par dérivation d"un produit de fonctions dérivables :

(uv)?=u?v+uv? soit ?x? ??0 ; +∞??;f?(x) = 1×e-x+x?-1×e-x?=e-x-xe-x ?x? ??0 ; +∞??;f?(x) = (1-x)e-x Pour tout réelx, e-x>0doncf?(x)est du signe de(1-x), soit nulle en 1 et positive avant 1. De plus f(0) = 0etf(1) =e-1≈0,37 D"où le tableau de variation de la fonctionfsur??0 ; +∞??: x0 1 +∞ f?(x)+++0--- e-1 f 00

On donne la courbeCfreprésentative de la fonctionfdans un repère du plan ainsi que la droiteΔd"équationy=x.

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Partie B

Soit la suite(un)définie paru0= 1et, pour tout entier natureln, un+1=f(un).

1. Placer sur le graphique, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les pointsA0, A1etA2d"ordonnées nulles et d"abs-

cisses respectivesu0, u1etu2. Laisser les tracés explicatifs apparents. 0,5

1 2Δ

C f

A0A1A2u

1 u 2

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, un>0.

Soit pournentier naturel,Pnla propriétéun>0.

•Initialisation.

u

0= 1>0donc la propriété est vraie au rang 0.

•Hérédité.

On suppose la propriété vraie au rangp?0, c"est-à-dire queup>0pourpentier naturel fixé. Pour tout réelx, e-x>0donc pour tout réelx >0,xe-x>0donc ?x?]0 ; +∞[ ;f(x)>0 Or u p+1=f(up)etup>0(hypothèse de récurrence) donc f(up) =up+1>0

La propriété est vraie au rangp+ 1.

•Conclusion.

La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour tout entierp?0; elle est donc vraie pour tout entiern?0.

On a donc démontré que :

?n?N;un>0

3. Montrer que la suite(un)est décroissante.

Pour tout réelx >0:

-x <0??e-x0d"après la question précédente donc ?n?N;f(un) =un+1< un

La suite(un)est donc décroissante.

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4. 4. a. Montrer que la suite(un)est convergente.

La suite(un)est décroissante, minorée par 0, donc, d"après lethéorème de la convergence monotone,la suite(un)est

convergente.

4. b. On admet que la limite de la suite(un)est solution de l"équationxe-x=x. Résoudre cette équation pour

déterminer la valeur de cette limite. On résout l"équationxe-x=xsurR+= [0 ; +∞[: xe-x=x??x(e-x-1) = 0??x= 0ou e-x-1 = 0 ??x= 0ou e-x= 1??x= 0ou-x= 0

Doncla limite de la suite(un)est égale à 0.

Partie C

On considère la suite(Sn)définie pour tout entier naturelnparSn=k=n?k=0u k=u0+u1+...+un Compléter l"algorithme donné en annexe afin qu"il calculeS100 Déclaration des variables :Setusont des nombres réels kest un nombre entier

Initialisation :uprend la valeur1

Sprend la valeuru

Traitement : Pourkvariant de 1 à100

uprend la valeuru×e-u

Sprend la valeurS+u

Fin Pour

AfficherS

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Exercice 3. Équations3 points

Commun à tous les candidats

On considère l"équation(E1), oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.

(E1) :ex-xn= 0

1. Montrer que l"équation(E1)est équivalente à l"équation(E2):ln(x)-x

n= 0. (E1) :ex-xn= 0??ex=xn ??ln(ex) = ln(xn) ??x=nln(x) (E1) :ex-xn= 0??x n= ln(x) Soit (E1) :ex-xn= 0??(E2) : ln(x)-x n= 0

Les équations(E1)et(E2)sont équivalentes.

2. Pour quelles valeurs denl"équation(E1)admet-elle deux solutions?

D"après la question précédente, l"équation(E1)admet deux solutions si et seulement si l"équation(E2)admet deux solutions.

•Introduction d"une fonction auxiliairef.

Soitfla fonction définie surI=??0; +∞??, avecnentier naturel non nul, par ?x?I;f(x) = ln(x)-x n Résoudre l"équation(E2)revient donc à résoudre l"équationf(x) = 0.

•Résolution de l"équationf(x) = 0.

On va déterminer les variations defpuis chercher à appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

- Étude des variations de la fonctionf.

La fonctionfest dérivable surIavec

?x?I;f?(x) =1 x-1n=n-xnx

Orxetnsont positifs strictement surI, doncf?(x)est du signe de(n-x)et s"annule et change de signe pour

x=n. On a f(n) = ln(n)-n n= ln(n)-1

D"où le tableau de variation de la fonctionf:

x0n+∞ n-x+++0--- f?(x)+++0--- ln(n)-1 f - Étude des limites de la fonctionfaux bornes deI.

Limite en 0

lim x→0 x>0ln(x) =-∞ lim x→0x n= 0????? par somme lim x→0 x>0f(x) =-∞ www.math93.com /www.mathexams.fr7/14

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Limite en+∞

La fonctionfpeut s"écrire sous la forme

?x?I;f(x) =x?ln(x) x-1n?

Donc pournentier strictement positif :

lim x→+∞ln(x) x= 0 =?limx→+∞ln(x)x-1n=-1n<0 lim x→+∞x= +∞????? par produit lim x→+∞x?ln(x) x-1n? soit limx→+∞f(x) =-∞ - Application du TVI.

D"après le tableau de variation, l"équationf(x) = 0admet deux solutions dans??0; +∞??si et seulement si le

maximum de la fonctionfest strictement positif, c"est-à-dire quandln(n)-1>0: ln(n)-1>0??ln(n)>1??n >e??n?3 On peut alors compléter le tableau de variations defsurI. x f

0n+∞

lnn-1>0lnn-1>0 0 0

En effet dans ce cas :

Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle[a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =kadmet une unique solution dans[a;b]. Théorème 1(Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires)

Sur l"intervalle]0 ;n]:

?La fonctionfestcontinueetstrictement croissantesur l"intervalle]0 ;n]; ?L"image parfde l"intervalle]0 ;n]est]-∞; lnn-1]d"après le tableau de variations. ?Le réelk= 0appartient à l"intervalle image carlnn-1>0

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x) =k= 0admet

une solution uniqueβsur l"intervalle]0 ;n].

De même sur l"intervalle[n; +∞[:

?La fonctionfestcontinueetstrictement décroissantesur l"intervalle[0 ;x1]; ?L"image parfde l"intervalle[n; +∞[est[lnn-1 ;-∞[d"après le tableau de variations. ?Le réelk= 0appartient à l"intervalle image carlnn-1>0

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x) =k= 0admet

une solution uniqueαsur l"intervalle[n; +∞[. Pour conclure : l"équationf(x) = 0admet exactement deux solutions dansI

Donc on peut dire quel"équation(E1)admet deux solutions si et seulement sinest un entier naturel supérieur ou égal à

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Exercice 4. Non Spécialité : Complexes5 points Réservé aux candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z) =z2+ 2z+ 9.

1. Calculer l"image de-1 +i⎷

3par la fonctionf.

f -1 +i⎷ 3? -1 +i⎷3? 2+ 2? -1 +i⎷3? + 9 f -1 +i⎷ 3? = 1-2i⎷3-3-2 + 2i⎷3 + 9 f -1 +i⎷ 3? = 5

Donc l"image de-1 +i⎷

3par la fonctionfest 5.

f -1 +i⎷ 3? = 5

2. Résoudre dansCl"équationf(z) = 5. Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire

alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A etB dont l"affixe est solution de l"équation.

•Résolution de l"équation :

f(z) = 5??z2+ 2z+ 9 = 5??z2+ 2z+ 4 = 0 L"équation est ramené est une équation polynôme du second degré de la forme ax

2+bx+c= 0, avec :a= 1 ;b= 2 ;c= 4.

Le discriminentΔ =-12 =?2i⎷

3?2donc l"équation admet deux solutions imaginaires conjuguées.

z

1=-2 + 2i⎷

3

2etz2=z1=?S=?

-1 +i⎷3 ;-1-i⎷3? •Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

On appelleAle point d"affixezA=-1 +i⎷

3etBcelui d"affixezB=-1-i⎷3

|zA|=⎷

1 + 3 = 2

2 sinθA=⎷ 3

2???????

=?θA=2π

3+k2πoùk?Z

Donc z

A= 2e2iπ

3

Les nombres complexeszAetzBsont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés d"où

z

B= 2e-2iπ

3quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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